Tính chất chia hết của một tổng. Luyện tập

Lý thuyết

Bài 10.3* - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 1 - trang 21)

Chứng tỏ rừng số có dạng \(\overline{aaa}\) bao giờ cũng chia hết cho 37 ?

Hướng dẫn giải

Ta có \(\overline{aaa}=a.111=a.3.37\)

\(=>a.3.37⋮37\)

Vậy \(\overline{aaa}⋮37\left(dpcm\right)\)

Bài 120* (Sách bài tập - tập 1 - trang 21)

Chứng tỏ rằng số có dạng \(\overline{aaaaaa}\) bao giờ cũng chia hết cho 7 (chẳng hạn : \(333333⋮7\)) ?

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\overline{aaaaaa}=\overline{aaa}\cdot1001=\overline{aaa}\cdot7\cdot11\cdot13⋮7\)

Vậy \(\overline{aaaaaa}⋮7\)

Bài 114 (Sách bài tập - tập 1 - trang 20)

Áp dụng tính chất chia hết, xét xem mỗi tổng (hiệu) sau có chia hết cho 6 không ?

a) \(42+54\)

b) \(600-14\)

c) \(120+48+20\)

d) \(60+15+3\)

Hướng dẫn giải

a)

\(42⋮6\\ 54⋮6\\ \Rightarrow\left(42+54\right)⋮6\)

b)

\(600⋮6\\ 14⋮̸6\\ \Rightarrow\left(600-14\right)⋮̸6\)

c)

\(120⋮6\\ 48⋮6\\ 20⋮̸6\\ \Rightarrow\left(120+48+20\right)⋮̸6\)

d)

\(60+15+3\\ =60+\left(15+3\right)\\ =60+18\)

\(60⋮6\\ 18⋮6\\ \Rightarrow\left(60+18\right)⋮6\\ \Leftrightarrow\left(60+15+3\right)⋮6\)

Bài 10.1 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 1 - trang 21)

Điền các từ thích hợp (chia hết , không chia hết) vào chỗ trống :

a) Nếu \(a⋮m,b⋮m,c⋮m\) thì tổng \(a+b+c\).............cho \(m\)

b) Nếu \(a⋮5,b⋮5,c⋮̸5\) thì tích \(a+b+c\).............cho \(5\)

c) Nế \(a⋮3\) và \(b⋮̸\)3 thì tích a.b.........cho 3

Hướng dẫn giải

a)Chia hết

b)Chia hết

c)Chia hết

Bài 115 (Sách bài tập - tập 1 - trang 20)

Cho tổng \(A=12+15+21+x\) với \(\left(x\in\mathbb{N}\right)\). Tìm điều kiện của \(x\) để A chia hết cho 3, để A không chia hết cho 3 ?

Hướng dẫn giải

Ta thấy

\(12⋮3\\ 15⋮3\\ 21⋮3\)

Để \(A⋮3\) thì \(x⋮3\)

Để \(A⋮̸3\) thì \(x⋮̸3\)

Bài 119* (Sách bài tập - tập 1 - trang 21)

Chứng tỏ rằng :

a) Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3

b) Tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho 4

Hướng dẫn giải

a, Ba số tự nhiên liên tiếp là a; a+1; a+2

Tổng 3 số tự nhiên liên tiếp ấy: a+a+1+a+2= 3a+3= 3(a+1)\(⋮3\)

b, Bốn số tự nhiên liên tiếp lần lượt là b;b+1;b+2;b+3

Tổng chúng bằng: b+b+1+b+2+b+3= 4b+6 = 4(b+1) (dư 2)

=> Ko chia hết.

Bài 117 (Sách bài tập - tập 1 - trang 20)

Điền dấu "X" vào ô thích hợp :

Hướng dẫn giải

Bài 118 (Sách bài tập - tập 1 - trang 20)

Chứng tỏ rằng :

a) Trong hai số tự nhiên liên tiếp, có một số chia hết cho 2

b) Trong ba số tự nhiên liên tiếp, có một số chia hết cho 3

Hướng dẫn giải

a, Vì dãy số tự nhiên theo quy luật: chẵn, lẻ, chẵn, lẽ

=> trong 2 số tự nhiên liên tiếp có 1 số chẵn và 1 số lẻ

Số chẵn luôn chia hết cho 2

=> Có 1 số luôn chia hết cho hai.

b, Trong ba số tự nhiên liên tiếp mình cho là a; a+1; a+2

Nếu a \(⋮\) 3 ta có điều phải chứng minh.
Nếu a: 3 (dư 1)

=> a+1: 3( dư 2)

=> a+2\(⋮\)3

=> Có 1 số chia hết cho 3.
Nếu a: 3 ( dư 2) thì a + 1 \(⋮\)3.
 

Bài 116 (Sách bài tập - tập 1 - trang 20)

Khi chia số tự  nhiên a cho 24, ta được số dư là 10. Hỏi số a có chia hết cho 2 không ? có chia hết cho 4 không ?

Hướng dẫn giải

Theo đề bài ta có:

\(a=24k+10\left(k\in N\right)\)

\(\Rightarrow a=2\cdot12k+2\cdot5\\ \Leftrightarrow a=2\cdot\left(12k+5\right)⋮2\)

Mặt khác

\(24k⋮4\\ 10⋮̸4\\ \Rightarrow a⋮̸4\)

Vậy a chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4

Bài 122* (Sách bài tập - tập 1 - trang 21)

Chứng tỏ rằng lấy một số có hai chữ số, cộng với số gồm 2 chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại, ta luôn được một số chia hết cho 11 (chẳng hạn \(37+73=110\), chia hết cho 11) ?

Hướng dẫn giải

Gọi số có hai chữ số đó là \(\overline{ab}\left(0\le b\le a;a\ne0\right)\)

Ta có : \(\overline{ab}+\overline{ba}=\left(10a+b\right)+\left(10b+a\right)\)

\(=10a+10b+a+b=10\left(a+b\right)+\left(a+b\right)\)

\(=\left(a+b\right)\left(10+1\right)=\left(a+b\right).11⋮11\)

\(\Rightarrow\overline{ab}+\overline{ba}⋮11\)

Vậy \(\overline{ab}+\overline{ba}⋮11\)

Bài 10.4* - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 1 - trang 21)

Chứng tỏ rằng hiệu \(\overline{ab}-\overline{ba}\) (với \(a\ge b\) ) bao giờ cũng chia hết cho 9 ?

Hướng dẫn giải

Ta có : \(\overline{ab}-\overline{ba}=\left(10a+b\right)-\left(10b+a\right)\)

\(=10a+b-10b-a=10a-10b+b-a\)

\(=10\left(a-b\right)-\left(a-b\right)=\left(10-1\right)\left(a-b\right)=9\left(a-b\right)⋮9\)

( Vì \(9⋮9\) ; \(a\ge b\) ) \(\Rightarrow\overline{ab}-\overline{ba}⋮9\)

Vậy \(\overline{ab}-\overline{ba}⋮9\)

Bài 10.2 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 1 - trang 21)

Chứng tỏ rằng nếu hai số có cùng số dư khi chia cho 7 thì hiệu của chúng chia hết cho 7 ?

Hướng dẫn giải

Gọi hai số đó là a và b \(\left(a,b\in N;a\ge b\right)\)

Ta có : \(a=7k+r\left(k\in N\right)\)

\(b=7q+r\left(q\in N\right)\)

( trong đó : \(r\in\left\{0;1;2;...\right\};k\ge q\) )

\(\Rightarrow a-b=\left(7k+r\right)-\left(7q+r\right)\)

\(=7k+r-7q-r=7k-7q+r-r\)

\(=7\left(k-q\right)+0=7\left(k-q\right)⋮7\)

Vì \(7⋮7\) ; \(k,q\in N,k\ge q\)

\(\Rightarrow\left(7k+r\right)-\left(7q+r\right)⋮7\Rightarrow a-b⋮7\)

Vậy \(a-b⋮7\)

Bài 121* (Sách bài tập - tập 1 - trang 21)

Chứng tỏ rằng số có dạng \(\overline{abcabc}\) bao giờ cũng chia hết cho 11 (chẳng hạn  \(328328⋮11\)) ?

Hướng dẫn giải

Ta có : \(\overline{abcabc}=\overline{abc}.1001=\overline{abc}.11.91⋮11\)

\(\Rightarrow\overline{abcabc}⋮11\)