Bài 4 (SGK trang 79)

Gửi bởi: Sách Giáo Khoa Vào 26 tháng 12 2018 lúc 11:13:29

Chứng minh rằng :

\(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2,\forall\ge0,\forall y\ge0\)

\(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\forall x,y\ge0\left(1\right)\)

*) Xét \(x=y=0\) thì \(\left(1\right)\) luôn đúng

*) Xét \(x,y>0\) ta có: \(VT=x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow x^2-xy+y^2\ge2xy-xy=xy\)

\(\Rightarrow VT=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge xy\left(x+y\right)\left(2\right)\)

Lại có: \(VP=x^2y+xy^2=xy\left(x+y\right)\left(3\right)\)

Từ \(\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\) suy ra BĐT được chứng minh

Vậy \(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\forall x,y\ge0\)