Ôn tập chương IV

Lý thuyết

Mục lục

* * * * *

Bài 1 (SGK trang 106)

Sử dụng dấu bất đẳng thức để viết các mệnh đề sau :

a) x là số dương

b) y là số không âm

c) Với mọi số thực $\alpha,\left|\alpha\right|$ là số không âm

d) Trung bình cộng của hai số dương a và b không nhỏ hơn trung bình nhân của chúng

Hướng dẫn giải

Giải bài 1 trang 106 SGK Đại Số 10 | Giải toán lớp 10

Bài 2 (SGK trang 106)

Có thể rút ra kết luận gì về dấu của hai số a và b nếu biết :

a) $ab>0$

b) $\dfrac{a}{b}>0$

c) $ab< 0$

d) $\dfrac{a}{b}< 0$

Hướng dẫn giải

a) Hai số a và b cùng dấu.

b) Hai số a và b cùng dấu.

c) Hai số a và b trái dấu nhau.

d) Hai số a và b trái dấu nhau.

Bài 3 (SGK trang 106)

Trong các suy luận sau, suy luận nào đúng ?

(A) $\left\{{}\begin{matrix}x< 1\\y< 1\end{matrix}\right.$$\Rightarrow xy< 1$ (B) $\left\{{}\begin{matrix}x< 1\\y< 1\end{matrix}\right.$$\Rightarrow\dfrac{x}{y}< 1$

(C) $\left\{{}\begin{matrix}0< x< 1\\y< 1\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow xy< 1$ (D)$\left\{{}\begin{matrix}x< 1\\y< 1\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow x-y< 0$

Hướng dẫn giải

Suy luận D là chính xác

Bài 4 (SGK trang 106)

Khi cân một vật với độ chính xác đến 0,05kg, người ta cho biết kết quả là 26,4kg. Hãy chỉ ra khối lượng thực của vật đó nằm trong khoảng nào ?

Hướng dẫn giải

Khối lượng thực của vật nằm trong khoảng:

(26,4 - 0,05; 26,4 - 0,05) kg

hay (26,35; 26,35) kg

Bài 5 (SGK trang 106)

Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, hãy vé đồ thị hai hàm số $y=f\left(x\right)=x+1$ và $y=g\left(x\right)=3-x$ và chỉ ra các giá trị nào của x thỏa mãn :

a. $f\left(x\right)=g\left(x\right)$

b. $f\left(x\right)>g\left(x\right)$

c. $f\left(x\right)< g\left(x\right)$

Kiểm tra lại kết quả bằng cách giải phương trình, bất phương trình

Hướng dẫn giải

Vẽ đồ thị:

Giải bài 5 trang 106 SGK Đại Số 10 | Giải toán lớp 10

Bài 6 (SGK trang 106)

Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng :

$\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}\ge6$

Hướng dẫn giải

Ta có a,b,c > 0

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si : $a+b\ge2\sqrt{ab}$

và $a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}$

Ta được: Vế trái $\ge\dfrac{2\sqrt{ab}}{c}+\dfrac{2\sqrt{bc}}{a}+2\dfrac{\sqrt{ac}}{b}$

$\ge3\sqrt[3]{\dfrac{2\sqrt{ab}\times2\sqrt{bc}\times2\sqrt{ac}}{abc}}$

$\ge3\sqrt[3]{\dfrac{8\sqrt{a^2b^2c^2}}{abc}\ge6}$ (Đpcm)

Vậy: $\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}\ge6$

Bài 7 (SGK trang 107)

Điều kiện của một bất phương trình là gì ? Thế nào là hai bất phương trình tương đương ?

Hướng dẫn giải

Ta gọi các điều kiện của ẩn sốx để các biểu thức f(x) và g(x) có nghĩa là điều kiện xác định của bất phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của bất phương trình).

- Hai bất phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm

Bài 8 (SGK trang 107)

Nêu quy tắc biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình $ax+by\le c$

Hướng dẫn giải

+ Ta vẽ đường thẳng (d): ax+by=c

+ Chọn điểm M(x₀,y₀) ∉ (d) (thường là điểm (0,0)) và tính giá trị ax_{0 +}by₀

+ Nếu ax_{0 +}by₀>c thì nửa mặt phẳng bờ (d) chứa M(x₀,y₀) là tập hợp các điểm mà tọa độ của nó là nghiệm của bất phương trình.

+ Nếu ax_{0 +}by₀0,y₀) là tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình.

Bài 9 (SGK trang 107)

Phát biểu định lí về dấu của tam thức bậc hai

Hướng dẫn giải

Định lí. Cho tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0)

có biệt thức ∆ = b² – 4ac.

- Nếu ∆ < 0 thì với mọi x, f(x) có cùng dấu với hệ số a.

- Nếu ∆ = 0 thì f(x) có nghiệm kép x = $-\frac{b}{2a}$ , với mọi x ≠ $-\frac{b}{2a}$ , f(x) có cùng dấu với hệ số a.

- Nếu ∆ > 0, f(x) có 2 nghiệm x₁, x₂(x₁< x₂) và luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ngoài đoạn [x₁; x₂] và luôn trái dấu với hệ số a với mọi x trong đoạn (x₁; x₂).

Bài 10 (SGK trang 107)

Cho $a>0,b>0$. Chứng minh rằng :

$\dfrac{a}{\sqrt{b}}+\dfrac{b}{\sqrt{a}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}$

Hướng dẫn giải

Đặt $x=\sqrt{a};y=\sqrt{b}\left(x,y>0\right)$ ta có:

$\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x}\ge x+y\left(1\right)$, vậy ta cần chứng minh $\left(1\right)$ đúng

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

$\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x+y}=x+y$

Bài 11 (SGK trang 107)

a. Bằng cách sử dụng hằng đẳng thức $a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)$ hãy xét dấu

$f\left(x\right)=x^4-x^2+6x-9$

và

$g\left(x\right)=x^2-2x-\dfrac{4}{x^2-2x}$

b. Hãy tìm nghiệm nguyên của bất phương trình sau :

$x\left(x^3-x+6\right)>9$

Hướng dẫn giải

Giải bài 11 trang 107 SGK Đại Số 10 | Giải toán lớp 10

Bài 12 (SGK trang 107)

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, chứng minh rằng :

$b^2x^2-\left(b^2+c^2-a^2\right)x+c^2>0,\forall x$

Hướng dẫn giải

Do b là cạnh của tam giác nên b > 0

Đặt $f\left(x\right)=b^2x^2-\left(b^2+c^2-a^2\right)x+c^2>0,\forall x$

Theo định lý của dấu về tam thức bậc 2

$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2>0\left(đúng\right)\\\Delta< 0\end{matrix}\right.$$\Rightarrow\Delta< 0$

$\Leftrightarrow\Delta=\left(b^2+c^2-a^2\right)^2-4b^2c^2< 0$

Chứng minh rằng $\Delta=\left(b^2+c^2-a^2\right)^2-4b^2c^2< 0$

$\Leftrightarrow\left(b^2+c^2-a^2\right)^2< 4b^2c^2$

$\Leftrightarrow b^2+c^2-a^2< 2bc$

$\Leftrightarrow b^2-2bc+c^2< a^2$

$\Leftrightarrow\left(b-c\right)^2< a^2$

$\Leftrightarrow b-c< a$

$\Leftrightarrow b< c+a$

Theo bất đẳng thức tam giác thì $b< c+a$

$\Rightarrow$$\Delta=\left(b^2+c^2-a^2\right)^2-4b^2c^2< 0$ ( đpcm )

Vậy $f\left(x\right)=b^2x^2-\left(b^2+c^2-a^2\right)x+c^2>0,\forall x$

Bài 13 (SGK trang 107)

Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn :

$\left\{{}\begin{matrix}3x+y\ge9\\x\ge y-3\\2y\ge8-x\\y\le6\end{matrix}\right.$

Hướng dẫn giải

Giải bài 13 trang 107 SGK Đại Số 10 | Giải toán lớp 10

Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ các đường thẳng

Δ : 3x + y = 9

Δ₁ : x - y + 3 = 0

Δ₂ : x + 2y = 8

Δ₃ : y = 6

Bài 59 (SBT trang 124)

Chứng minh rằng :

$\left(x^2-y^2\right)^2\ge4xy\left(x-y\right)^2;\forall x,y$

Hướng dẫn giải

Xét vế trái: $\left(x^2-y^2\right)^2=\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)^2$
Giả sử $\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)^2\ge4xy\left(x-y\right)^2$
$\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left[\left(x+y\right)^2-4xy\right]\ge0$
$\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x-y\right)^2\ge0$
$\Leftrightarrow\left(x-y\right)^4\ge0$ (luôn đúng với mọi x, y).
Suy ra điều phải chứng minh.

Bài 60 (SBT trang 124)

Chứng minh rằng :

$x^2+2y^2+2xy+y+1>0;\forall x,y$

Hướng dẫn giải

Ta có : $x^2+2y^2+2xy+y+1$

$=\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(y^2+y+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{3}{4}$

$=\left(x+y\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\forall x,y$

Bài 61 (SBT trang 124)

Chứng minh rằng :

$\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\ge16abc$

với $a,b,c$ là những số dương tùy ý

Hướng dẫn giải

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương ta có:
$a+1\ge2\sqrt{a}$
$b+1\ge2\sqrt{b}$
$a+c\ge2\sqrt{ac}$
$b+c\ge2\sqrt{bc}$
Nhân vế theo vế các BĐT cùng chiều trên ta được:
$\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\ge16\sqrt{a^2b^2c^2}=16abc$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=1\\c=a\\b=c\end{matrix}\right.$
<=> a = b = c = 1
Vậy $\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\ge16abc$ với a,b,c dương.
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

Bài 62 (SBT trang 124)

Chứng minh rằng :

$a+b+c\le\dfrac{1}{2}\left(a^2b+b^2c+c^2a+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)$

với a, b, c là những số dương tùy ý

Hướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2b+\dfrac{1}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{a^2b}{b}}=2a\\b^2c+\dfrac{1}{c}\ge2\sqrt{\dfrac{b^2c}{c}}=2b\\c^2a+\dfrac{1}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{c^2a}{a}}=2c\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge2\left(a+b+c\right)$

$\Rightarrow\dfrac{1}{2}\left(a^2b+b^2c+c^2a+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge a+b+c$ ( đpcm )

Dấu " = " xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài 63 (SBT trang 124)

Cho a, b, c là 3 số thực thỏa mãn điều kiện $a^3>36$ và $abc=1$

Xét tam thức bậc hai : $f\left(x\right)=x^2-ax-3bc+\dfrac{a^2}{3}$

a) Chứng minh rằng $f\left(x\right)>0;\forall x$

b) Từ câu a) suy ra $\dfrac{a^2}{3}+b^2+c^2>ab+bc+ca$

Hướng dẫn giải

Lời giải

a) c/m $f\left(x\right)=x^2-ax-3bc+\dfrac{a^2}{3}>0\forall x$

$\Delta_{x_{a,b,c}}=a^2+12bc-\dfrac{4}{3}a^2=\dfrac{-a^2+36bc}{3}$

$\Delta=\dfrac{-a^3+36}{3a}$

$a^3>36\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a>0\\-a^3+36< 0\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow\dfrac{-36a^3+36}{3a}< 0$

$\Rightarrow$ F(x) vô nghiệm => f(x)>0 với x => dpcm

$\dfrac{a^2}{3}+b^2+c^2>ab+bc+ca$$\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{3}+b^2+c^2-ab-bc-ac>0$

$\Leftrightarrow\left(b+c\right)^2-a\left(b+c\right)-3bc+\dfrac{a^2}{3}>0$

Từ (a) =>$f\left(b+c\right)=\left(b+c\right)^2-a\left(b+c\right)-3bc+\dfrac{a^2}{3}>0$ => dccm

Bài 64 (SBT trang 124)

Giải và biện luận bất phương trình sau theo tham số m

$\left(m-1\right)\sqrt{x}\le0$

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định $x\ge0$.
Do $\sqrt{x}\ge0$ với mọi $x\ge0$ nên BPT có nghiệm khi:
$m-1\le0\Leftrightarrow m\le1$.
vậy ta có các trường hợp sau:
- Nếu $m\le1$ bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x\ge0$.
- Nếu $m>1$ bất phương trình vô nghiệm.

Bài 65 (SBT trang 125)

Tìm a và b để bất phương trình :

$\left(x-2a+b-1\right)\left(x+a-2b+1\right)\le0$

có tập nghiệm là đoạn $\left[0;2\right]$

Hướng dẫn giải

Vì phương trình $\left(x-2a+b-1\right)\left(x+a-2b+1\right)=0$ có hai nghiệm là: $x=2a-b+1;x=-a+2b-1$.
Ta xét hai trường hợp:
TH1: $\left\{{}\begin{matrix}2a-b+1=0\\-a+2b-1=2\end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{3}\\b=\dfrac{5}{3}\end{matrix}\right.$.
TH2: $\left\{{}\begin{matrix}2a-b+1=2\\-a+2b-1=0\end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=1\end{matrix}\right.$
Vậy $\left(a,b\right)=\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{5}{3}\right)$ hoặc $\left(a,b\right)=\left(1;1\right)$ thì BPT có tập nghiệm là đoạn [0;2].

Bài 66 (SBT trang 125)

Tìm a và b (b > -1) để hai bất phương trình sau tương đương :

$\left(x-a+b\right)\left(x+2a-b-1\right)\le0$

và

$\left|x+a-2\right|\le b+1$

Hướng dẫn giải

$x-a+b=0\Leftrightarrow x=a-b$
$x+2a-b-1=0\Leftrightarrow x=-2a+b+1$
Nếu $a-b< -2a+b+1\Leftrightarrow3a-2b< 1$thì bất phương trình:
$\left(x-a+b\right)\left(x+2a-b-1\right)\le0$ có tập nghiệm là:
$a-b\le x\le-2a+b+1$.
Nếu $a-b>-2a+b+1\Leftrightarrow3a-2b>1$ thì bất phương trình:

$\left(x-a+b\right)\left(x+2a-b-1\right)\le0$ có nghiệm là:
$-2a+b+1< x< a-b$.
- Do b > -1 nên BPT $\left|x+a-2\right|\le b+1$ có nghiệm là:
$-a-b+1\le x\le b-a+3$
- Ta xét hai trường hợp:
TH1: $3a-2b< 1$
Hai BPT tương đương khi $\left\{{}\begin{matrix}a-b=-a-b-1\\-2a+b+1=b-a+3\end{matrix}\right.$ (vô nghiệm).
TH2: $3a-2b>1$(*)
Hai BPT tương đương khi: $\left\{{}\begin{matrix}-2a+b+1=-a-b+1\\a-b=b-a+3\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.$ (thỏa mãn * )
Vậy $\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.$ thì hai BPT tương đương.