Tập hợp Q các số hữu tỉ

Lý thuyết

Bài 5 (Sách bài tập - tập 1 - trang 5)

Cho hai số hữu tỉ \(\dfrac{a}{b}\) và \(\dfrac{c}{d}\) (\(b>0,d>0\)). Chứng tỏ rằng :

a) Nếu \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\) thì \(ad< bc\)

b) Nếu \(ad< bc\) thì \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\dfrac{a}{b}\) và \(\dfrac{c}{d}\)(b > 0, d > 0)

Nếu \(\dfrac{a}{b}\) = \(\dfrac{c}{d}\) (b > 0, d > 0) thì ad = bc.

=> Nếu \(\dfrac{a}{b}\) < \(\dfrac{c}{d}\) thì ad < bc.

Vậy nếu \(\dfrac{a}{b}\) < \(\dfrac{c}{d}\) thì ad < bc.

Bài 1 (Sách bài tập - tập 1 - trang 5)

Điền kí hiệu \(\left(\in,\notin,\subset\right)\) thích hợp vào chỗ trống :

\(-5......\mathbb{N}\)                                       \(-5.......\mathbb{Z}\)                              \(-\dfrac{3}{7}.......\mathbb{Z}\)

\(-5.........\mathbb{Q}\)                                   \(-\dfrac{3}{7}........\mathbb{Q}\)                    \(\mathbb{N}.........\mathbb{Q}\)

Hướng dẫn giải

\(-5\notin N\)

\(-5\in Q\)

\(-5\in Z\)

\(-\dfrac{3}{7}\in Q\)

\(-\dfrac{3}{7}\notin Z\)

\(N\subset Q\)

Bài 1.8 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 1 - trang 7)

Tìm phân số có tử bằng 7, lớn hơn \(\dfrac{10}{13}\) và nhỏ hơn \(\dfrac{10}{11}\) ?

Hướng dẫn giải

gọi phân số đó là \(\dfrac{7}{a}\)

ta có:

\(\dfrac{10}{13}\) <\(\dfrac{7}{a}\) <\(\dfrac{10}{11}\)

qui đồng tử, ta có:

\(\dfrac{70}{91}>\dfrac{70}{10a}>\dfrac{70}{77}\) (ta đổi dấu vì phân số có tử bằng nhau, mẫu số lớn hơn thì phân số đó bé hơn)

=> 91 > 10a > 77

=> 10a = 90

=> a = 9

Vậy phân số cần tìm là: \(\dfrac{7}{9}\)

Bài 9 (Sách bài tập - tập 1 - trang 6)

Cho \(a,b\in\mathbb{Z},b>0\). So sánh hai số hữu tỉ \(\dfrac{a}{b}\) và \(\dfrac{a+2001}{b+2001}\) ?

Hướng dẫn giải

Xét tích \(a\left(b+2001\right)=ab+2001a\).
\(b\left(a+2001\right)=ab+2001b\). Vì \(b>0\) nên \(b+2001>0\).
a) Nếu \(a>b\) thì \(ab+2001a>ab+2001b\)
\(a\left(b+2001\right)>b\left(a+2001\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{b}>\dfrac{a+2001}{b+2001}\) (theo bài 5).
b) Tương tự (theo bài 5) nếu \(a< b\) thì \(\Rightarrow\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+2001}{b+2001}\).
c) Nếu \(a=b\) thì rõ ràng \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a+2001}{b+2001}\).

Bài 7 (Sách bài tập - tập 1 - trang 6)

Tìm \(x\in\mathbb{Q}\), biết rằng x là số âm lớn nhất  được viết bằng ba chữ số 1 ?

Hướng dẫn giải

Có 2 phân số âm được viết bởi ba chữ số 1 là: \(\dfrac{-1}{11};\dfrac{-11}{1}\).
Vậy \(x=\dfrac{-1}{11}\).

Bài 3 (Sách bài tập - tập 1 - trang 5)

Điền số hữu tỉ thích hợp vào ô trống :

 

Hướng dẫn giải

Bài 1.2 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 1 - trang 6)

Nối mỗi dòng ở cột bên trái với một dòng ở cột bên phải để được khẳng định đúng :

 

Hướng dẫn giải

A) 3 B) 1 C)2 D)4

Bài 2 (Sách bài tập - tập 1 - trang 5)

Biểu diễn các số hữu tỉ : \(\dfrac{3}{-4},\dfrac{5}{3}\) trên trục số ?

Hướng dẫn giải

Ta có \(\dfrac{3}{-4}=\dfrac{-3}{4}=\dfrac{-9}{12}\)

\(\dfrac{5}{3}=\dfrac{20}{12}=1\dfrac{8}{12}\)

Hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa

Bài 1.7 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 1 - trang 7)

Tìm phân số có mẫu bằng 7, lớn hơn \(-\dfrac{5}{9}\) và nhỏ hơn \(-\dfrac{2}{9}\) ?

Hướng dẫn giải

Gọi phân số phải tìm là x sao cho \(\dfrac{-5}{9}< \dfrac{x}{7}< \dfrac{-2}{9}\).
Quy đồng mẫu ta được: \(\dfrac{-35}{63}< \dfrac{9x}{63}< \dfrac{-14}{63}\)
Suy ra: \(-35< 9x< -14\) vì \(x\in Z\) nên \(x\in\left\{-2;-3\right\}\).
Vậy ta có: \(\dfrac{-5}{9}< \dfrac{-2}{7}< \dfrac{-2}{9};\dfrac{-5}{9}< \dfrac{-3}{7}< \dfrac{-2}{9}\).

Bài 8 (Sách bài tập - tập 1 - trang 6)

So sánh các số hữu tỉ sau bằng cách nhanh nhất :

a) \(-\dfrac{1}{5}\) và \(\dfrac{1}{1000}\)

b) \(\dfrac{267}{-268}\) và \(-\dfrac{1347}{1343}\)

c) \(-\dfrac{13}{38}\) và \(\dfrac{29}{-88}\)

d) \(-\dfrac{18}{31}\) và \(-\dfrac{181818}{313131}\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có : \(\dfrac{-1}{5}< 0< \dfrac{1}{1000}\)

\(\Rightarrow\dfrac{-1}{5}< \dfrac{1}{1000}\)

b) Ta có : \(\dfrac{267}{268}< 1< \dfrac{1347}{1343}\)

=> \(\dfrac{267}{-268}< -\dfrac{1347}{1343}\)

c) \(\dfrac{13}{38}>\dfrac{13}{39}=\dfrac{1}{3}=\dfrac{19}{87}>\dfrac{29}{88}\)

=> \(-\dfrac{13}{38}< \dfrac{29}{-88}\)

d) \(\dfrac{181818}{313131}=\dfrac{18}{31}\)

=> \(-\dfrac{18}{31}=-\dfrac{181818}{313131}\)

Bài 1.4 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 1 - trang 7)

Cho số hữu tỉ \(\dfrac{a}{b}\) khác 0. Chứng minh rằng :

a) \(\dfrac{a}{b}\) là số hữu tỉ dương nếu a và b cùng dấu

b) \(\dfrac{a}{b}\) là số hữu tỉ âm nếu a và b khác dấu

Hướng dẫn giải

Xét số hữu tỉ \(\dfrac{a}{b}\) , có thể coi b > 0

a) Nếu a , b cùng dấu thì a > 0 và b > 0

Suy ra\(\dfrac{a}{b}>\dfrac{0}{b}=0\) tức là \(\dfrac{a}{b}\) dương

b) Nếu a,b khác dấu thì a < 0 và b > 0

Suy ra \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{0}{b}=0\) tức là \(\dfrac{a}{b}\) âm

Bài 1.6 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 1 - trang 7)

So sánh các số hữu tỉ sau :

a) \(\dfrac{4}{9}\) và \(\dfrac{13}{18}\)                                   b) \(-\dfrac{15}{7}\) và \(-\dfrac{6}{5}\)

c) \(\dfrac{278}{37}\) và \(\dfrac{287}{46}\)                             d) \(-\dfrac{157}{623}\) và \(-\dfrac{47}{213}\)

Hướng dẫn giải

Áp dụng 1.5 ta có:
a) \(\dfrac{4}{9}< 1\Rightarrow\dfrac{4}{9}< \dfrac{4+9}{9+9}=\dfrac{13}{18}\).
b) \(\dfrac{-15}{7}< 1\Rightarrow\dfrac{-15}{7}< \dfrac{-15+3}{7+3}=\dfrac{-12}{10}=\dfrac{-6}{5}\).
c) \(\dfrac{278}{37}>1\Rightarrow\dfrac{278}{37}>\dfrac{278+9}{37+9}=\dfrac{278}{46}\).
d) \(\dfrac{-157}{623}< 1\Rightarrow\dfrac{-157}{623}< \dfrac{-157+16}{623+16}=\dfrac{-141}{639}=\dfrac{-47}{213}\);

Bài 1.5 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 1 - trang 7)

So sánh \(\dfrac{a}{b},\left(b>0\right)\) và \(\dfrac{a+n}{b+n},\left(n\in\mathbb{N}^{\circledast}\right)\) ?

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+n}{b+n}\Leftrightarrow a\left(b+n\right)< b\left(a+n\right)\)\(\Leftrightarrow ab+an< ab+bn\)\(\Leftrightarrow a< b\) (vì \(n>0\)).
Vậy \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+n}{b+n}\Leftrightarrow a< b.\)
Tương tự
\(\dfrac{a}{b}>\dfrac{a+n}{b+n}\Leftrightarrow a>b\) ;
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a+n}{b+n}\Leftrightarrow a=b\).

Bài 1.1 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 1 - trang 6)

Tập hợp các phân số bằng phân số \(-\dfrac{25}{35}\) là :

(A) {\(-\dfrac{25}{35}\)| \(k\in\mathbb{Z},k\ne0\)}

(B) {\(-\dfrac{2k}{3k}\)| \(k\in\mathbb{Z},k\ne0\)}

(C) {\(-\dfrac{50}{70}\)| \(k\in\mathbb{Z},k\ne0\)}

(D) {\(-\dfrac{5k}{7k}\)| \(k\in\mathbb{Z},k\ne0\)}

Hãy chọn đáp án đúng

Hướng dẫn giải

chọn D

Bài 4 (Sách bài tập - tập 1 - trang 5)

Trong các câu sau, câu nào đúng, câu nào sai :

a) Số hữu tỉ âm nhỏ hơn số hữu tỉ dương

b) Số hữu tỉ âm nhỏ hơn số tự nhiên 

c) Số 0 là số hữu tỉ dương

d) Số nguyên âm không phải là số hữu tỉ âm

e) Tập hợp Q gồm các số hữu tỉ dương và các số hữu tỉ âm 

Hướng dẫn giải

Trong các câu sau, câu nào đúng, câu nào sai :

a) Số hữu tỉ âm nhỏ hơn số hữu tỉ dương. Đúng

b) Số hữu tỉ âm nhỏ hơn số tự nhiên. Đúng

c) Số 0 là số hữu tỉ dương. Sai

d) Số nguyên âm không phải là số hữu tỉ âm. Sai

e) Tập hợp Q gồm các số hữu tỉ dương và các số hữu tỉ âm. Sai

Bài 1.3 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 1 - trang 7)

Viết dạng chung của các số hữu tỉ bằng \(-\dfrac{628628}{942942}\) ?

Hướng dẫn giải

\(-\dfrac{628628}{942942}=-\dfrac{2.\left(314314\right)}{3.\left(314314\right)}=-\dfrac{2}{3}\).
Vậy dạng chung của các số hữu tỉ bằng \(-\dfrac{628628}{942942}\) là \(-\dfrac{2}{3}k\left(k\in Z,k\ne0\right)\).

Bài 6 (Sách bài tập - tập 1 - trang 6)

a) Chứng tỏ rằng nếu \(\dfrac{a}{c}< \dfrac{c}{d}\left(b>0,d>0\right)\) thì \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+d}< \dfrac{c}{d}\)

b) Hãy viết ba số hữu tỉ xen giữa \(-\dfrac{1}{3}\) và \(-\dfrac{1}{4}\)

Hướng dẫn giải

Ta có : \(\dfrac{a}{b}\) < \(\dfrac{c}{d}\) => ad < bc (1)

Thêm ab và cả hai vế của (1) :

ad + ab < bc + ab

a(b+d) < b(a+c)

=> \(\dfrac{a}{b}\) < \(\dfrac{a+c}{b+d}\) (2)

Thêm cd vào hai vế của (1) :

ad + cd < bc + cd

d( a+c) < c( b+d )

=> \(\dfrac{a+c}{b+d}\) < \(\dfrac{c}{d}\) (3)

Từ (2) và (3) ta có : \(\dfrac{a}{b}\) < \(\dfrac{a+c}{b+d}\) < \(\dfrac{c}{d}\)