Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

Bài 6: Ôn tập chương Vecơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian.

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Đề kiểm tra số 2 - Câu 2 (Sách bài tập - trang 167)

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Đường thẳng d vuông góc với mp (ABC) tại A và \(M\in\left(d\right)\). Gọi H, O lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và tam giác MBC. Gọi N là giao điểm của HO và d. Chứng minh tứ diện BCMN có các cặp cạnh đối vuông góc với nhau từng đôi một ?

 

Hướng dẫn giải

Do \(d\perp\left(ABC\right)\) nên \(MN\perp BC\)

\(\left\{{}\begin{matrix}MC\perp\left(BOH\right)\\BN\subset\left(BOH\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow MC\perp BN\)

\(\left\{{}\begin{matrix}MB\perp\left(CHO\right)\\CN\subset\left(CHO\right)\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow MB\perp CN\)

Bài 3.47 (Sách bài tập - trang 164)

Cho hai tia Ax và By vuông góc với nhau nhận AB làm đoạn vuông góc chung. Gọi M và N là hai điểm di động lần lượt trên Ax và By sao cho AM + BN = MN

Đặt AB = 2a, gọi O là trung điểm của AB và H là hình chiếu vuông góc của điểm O trên đường thẳng MN

a) Chứng minh rằng OH = a, HM = AM, HN = BN

b) Gọi Bx' là tia song song và cùng chiều với tia Ax và K là hình chiếu vuông góc của H trên mặt phẳng (Bx',By). Chứng minh BK là phân giác của góc x'By ?

c) Chứng minh điểm H nằm trên một đường tròn cố định ?

Hướng dẫn giải

Vectơ trong không gian, Quan hệ vuông góc

Vectơ trong không gian, Quan hệ vuông góc

Bài 3.49 - Đề toán tổng hợp (Sách bài tập - trang 165)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SC

a) Chứng minh \(AC\perp SD\)

b) Chứng minh \(MN\perp\left(SBD\right)\)

c) Cho AB = SA = a. Tính côsin của góc giữa (SBC) và (ABCD)

Hướng dẫn giải

Vectơ trong không gian, Quan hệ vuông góc

Đề kiểm tra số 1 - Câu 2 (Sách bài tập - trang 166)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và có \(SA\perp\left(ABCD\right);SA=a\sqrt{2}\). Tính góc giữa SC và mp (SAB) ?

Hướng dẫn giải

Vectơ trong không gian, Quan hệ vuông góc

- Xác định góc \(\alpha\) giữa SC và mặt phẳng (SAB)

\(\left\{{}\begin{matrix}S\in\left(SAB\right)\\CB\perp\left(SAB\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[\widehat{SC,\left(SAB\right)}\right]=\widehat{CSB}=\alpha\)

- Tính góc \(\alpha\) :

Trong tam giác vuông \(SBC\), ta có :

\(\tan\alpha=\dfrac{BC}{SB}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow\alpha=30^0\)

Bài 3.45 (Sách bài tập - trang 164)

Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng AB vuông góc với CD khi và chỉ khi :

                  \(AC^2+BD^2=AD^2+BC^2\)

Hướng dẫn giải

Vectơ trong không gian, Quan hệ vuông góc

Bài 3.41 (Sách bài tập - trang 163)

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ? Mệnh đề nào sai ?

a) Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Nếu có một đường thẳng d vuông góc với a thì d vuông góc với b

b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau

c) Một mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) và một đường thẳng a cùng vuông góc với đường thẳng b thì a // \(\left(\alpha\right)\)

d) Hai mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) và \(\left(\beta\right)\) phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng \(\left(\gamma\right)\) thì  \(\left(\alpha\right)\) // \(\left(\beta\right)\)

e) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau

f) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song

Hướng dẫn giải

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

e) Sai

Đề kiểm tra số 1 - Câu 3 (Sách bài tập - trang 166)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và có \(SA\perp\left(ABCD\right);SA=a\sqrt{2}\).. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) ?

Hướng dẫn giải

Vectơ trong không gian, Quan hệ vuông góc

- Xác định góc \(\beta\) giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) :

\(\left\{{}\begin{matrix}BD\perp AO\\BD\perp SO\left(BD\perp\left(SAC\right)\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[\overline{\left(SBD\right),\left(ABCD\right)}\right]=\widehat{SOA}=\beta\)

- Tính góc \(\beta\) :

Trong tam giác vuông SOA, ta có :

\(\tan\beta=\dfrac{SA}{OA}=2\Rightarrow\beta=arc\tan2\)

Bài 3.51 - Đề toán tổng hợp (Sách bài tập - trang 165)

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, \(\widehat{BAD}=60^0,SA=SB=SD=a\)

a) Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD)

b) Chứng minh tam giác SAC vuông

c) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD)

Hướng dẫn giải

Vectơ trong không gian, Quan hệ vuông góc

Bài 3.44 (Sách bài tập - trang 164)

Hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh 7a, có cạnh SC vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) và SC = 7a

a) Tính góc giữa SA và BC

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SA và BC

Hướng dẫn giải

Vectơ trong không gian, Quan hệ vuông góc

Chú ý :

Nếu kẻ KI // AD và kẻ IJ // CK thì IJ là đoạn vuông góc chung của SA và BC

Bài 3.48 (Sách bài tập - trang 164)

Hình thoi ABCD tâm O có cạnh a và có \(OB=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\). Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại O ta lấy một điểm S sao cho SB = a

a) Chứng minh tam giác SAC là tam giác vuông và SC vuông góc với BD

b) Chứng minh \(\left(SAD\right)\perp\left(SAB\right),\left(SCB\right)\perp\left(SCD\right)\)

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD

Hướng dẫn giải

Vectơ trong không gian, Quan hệ vuông góc

Bài 3.46 (Sách bài tập - trang 164)

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Hãy tính góc của các cặp đường thẳng sau đây :

a) AB' và BC'

b) AC' và CD'

Hướng dẫn giải

Vectơ trong không gian, Quan hệ vuông góc

Đề kiểm tra số 3 - Câu 1 (Sách bài tập - trang 167)

Cho lăng trụ đứng OAB.O'A'B' có cạnh bên bằng h, có đáy là tam giác vuông ở O và OA = a, OB = b. Mặt phẳng (P) qua O vuông góc với AB'. Nói rõ cách xác định thiết diện do mp(P) cắt lăng trụ. Thiết diện là hình gì ?

Hướng dẫn giải

Vectơ trong không gian, Quan hệ vuông góc

Vectơ trong không gian, Quan hệ vuông góc

Bài 3.43 (Sách bài tập - trang 163)

Trên mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) cho hình vuông ABCD. Các tia Ax, By, Cz, Dt vuông góc với mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) và nằm về một phía đối với mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) . Một mặt phẳng \(\left(\beta\right)\) lần lượt cắt \(Ax,By,Cz,Dt\) tại A', B', C', D'.

a) Tứ giác A'B'C'D' là hình gì ? Chứng minh rằng AA' + CC'=BB'+DD'

b) Chứng minh rằng điều kiện để tứ giác A'B'C'D' là hình thoi là nó có hai đỉnh đối diện cách đều mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\)

c) Chứng minh rằng điều kiện để tứ giác A'B'C'D' là hình chữ nhật là nó có hai đỉnh kề nhau cách đều mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\)

Hướng dẫn giải

Vectơ trong không gian, Quan hệ vuông góc

Vectơ trong không gian, Quan hệ vuông góc

Đề kiểm tra số 2 - Câu 3 (Sách bài tập - trang 167)

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Đường thẳng d vuông góc với mp (ABC) tại A và \(M\in\left(d\right)\). Gọi H, O lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và tam giác MBC. Gọi N là giao điểm của HO và d. Chứng minh tích AM.AN không đổi khi M thay đổi trên d ?

Hướng dẫn giải

Vectơ trong không gian, Quan hệ vuông góc

Bài 3.56 - Đề toán tổng hợp (Sách bài tập - trang 166)

Cho tứ diện đều SABC cạnh a. (P) là một mặt phẳng thay đổi đi qua đỉnh S và song song với BC. Giả sử (P) cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N

a) Cho biết tính chất của tam giác SMN

b) Chứng minh rằng mặt phẳng (P) luôn đi qua một đường thẳng cố đinh

c) Đặt AM = \(x\). Tính \(y=SM^2+SN^2+MN^2\). Tìm \(x\) để \(y=\dfrac{7a^2}{4}\) ?

Hướng dẫn giải

Vectơ trong không gian, Quan hệ vuông góc

Bài 3.50 - Đề toán tổng hợp (Sách bài tập - trang 165)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy

a) Chứng minh tam giác SBC vuông

b) Gọi H là chân đường cao vẽ từ B của tam giác ABC. Chứng minh \(\left(SAC\right)\perp\left(SBH\right)\)

c) Cho AB = a, BC = 2a. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC)

Hướng dẫn giải

Vectơ trong không gian, Quan hệ vuông góc

Bài 3.52 - Đề toán tổng hợp (Sách bài tập - trang 165)

Cho tứ diện O.ABC có OA, OB, OC từng đôi một vuông góc và các cạnh OA = OB = OC = a, gọi I là trung điểm của BC 

a) Chứng minh rằng : \(BC\perp\left(AOI\right),\left(OAI\right)\perp\left(ABC\right)\)

b) Tính góc giữa AB và mặt phẳng (AOI)

c) Tính góc giữa các đường thẳng AI và OB

Hướng dẫn giải

Vectơ trong không gian, Quan hệ vuông góc

Vectơ trong không gian, Quan hệ vuông góc

Đề kiểm tra số 1 - Câu 1 (Sách bài tập - trang 166)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và có \(SA\perp\left(ABCD\right);SA=a\sqrt{2}\)

Chứng minh rằng : \(\left(SAC\right)\perp\left(SBD\right)\)

Hướng dẫn giải

Vectơ trong không gian, Quan hệ vuông góc

\(\left\{{}\begin{matrix}BD\perp SA\\BD\perp AC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BD\perp\left(SAC\right)\)

\(\Rightarrow\left(SBD\right)\perp\left(SAC\right)\)

Bài 3.53 - Đề toán tổng hợp (Sách bài tập - trang 165)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và \(SA\perp\left(ABCD\right)\)

a) Chứng minh \(BD\perp SC\)

b) Chứng minh \(\left(SAB\right)\perp\left(SBC\right)\)

c) Cho \(SA=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\). Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD)

Hướng dẫn giải

Vectơ trong không gian, Quan hệ vuông góc

Bài 3.42 (Sách bài tập - trang 163)

Xét các mệnh đề sau đây xem mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai ?

a) Qua một điểm, có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước

b) Qua một đường thẳng, có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước

c) Qua một điểm, có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước

d) Cho hai đường thẳng a và b. Nếu có mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\)  không chứa cả a và b thì a và b chéo nhau

Hướng dẫn giải

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

Đề kiểm tra số 3 - Câu 2 (Sách bài tập - trang 167)

Cho lăng trụ đứng OAB.O'A'B' có cạnh bên bằng h, có đáy là tam giác vuông ở O và OA = a, OB = b. Mặt phẳng (P) qua O vuông góc với AB'. Tìm sự liên hệ giữa a, b, h để thiết diện là tam giác và tính diện tích của tam giác đó ?

Hướng dẫn giải

Vectơ trong không gian, Quan hệ vuông góc

Bài 3.55 - Đề toán tổng hợp (Sách bài tập - trang 166)

Cho tứ diện ABCD với AB = a, CD = b, AC = c. Lấy M là điểm bất kì trên đoạn AC. Qua M ta vẽ một mặt phẳng (P) song song với hai cạnh AB và CD. Gọi M, N, R, S lần lượt là giao điểm của (P) với các cạnh AC, BC, BD, AD

a) Tìm điều kiện để MNRS là hình chữ nhật

b) Đặt AM = x, (0 < x < c). Tìm diện tích S của tứ giác MNRS khi \(AB\perp CD\). Tìm giá trị lớn nhất của S ?

Hướng dẫn giải

Vectơ trong không gian, Quan hệ vuông góc

Vectơ trong không gian, Quan hệ vuông góc

Bài 3.54 - Đề toán tổng hợp (Sách bài tập - trang 165)

Cho tứ diện ABCD có \(AB\perp CD\) và AB = CD = AC = a. Trên đoạn AC lấy M với AM = x. Qua M ta vẽ mặt phẳng (P) song song với AB và CD. Mặt phẳng (P) cắt BC, BD, AD lần lượt tại N, R, T

a) Cho biết tính chất của tứ gác MNRT

b) Tìm diện tích S của tứ giác MNRT theo a và x. Tìm x để S lớn nhất

c) Tìm x để \(S=\dfrac{2a^2}{9}\)

Hướng dẫn giải

Vectơ trong không gian, Quan hệ vuông góc

Vectơ trong không gian, Quan hệ vuông góc

Đề kiểm tra số 2 - Câu 1 (Sách bài tập - trang 166)

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Đường thẳng d vuông góc với mp (ABC) tại A và \(M\in\left(d\right)\). Gọi H, O lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và tam giác MBC. Gọi N là giao điểm của HO và d. Chứng minh :

       \(MC\perp mp\left(BOH\right);HO\perp mp\left(MBC\right)\)

 

Hướng dẫn giải

Vectơ trong không gian, Quan hệ vuông góc

Gọi I, J, K lần lượt là các giao điểm của AH và MO; AC và BH; MC và BO

\(MA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow MA\perp BJ\)

H là trực tâm của tam giác ABC => \(AC\perp BJ\)

\(\left\{{}\begin{matrix}BJ\perp MA\\BJ\perp AC\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow BJ\perp\left(MAC\right)\)

\(\Rightarrow BJ\perp MC\)

O là trực tâm của tam giác MBC nên \(BO\perp MC\)

Do đó : \(BO\perp\left(BJK\right)\Rightarrow MC\perp\left(BOH\right)\Rightarrow MC\perp OH\) (1)

Chứng minh tương tự : \(MB\perp OH\) (2)

Từ (1) và (2) cho \(OH\perp\left(MBC\right)\)

Có thể bạn quan tâm