Bài 1: Vectơ trong không gian

Lý thuyết

Bài 3.1 (Sách bài tập - trang 131)

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi O và O' theo thứ tự là tâm của hai hình vuông ABCD và A'B'C'D'

a) Hãy biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow{AO},\overrightarrow{AO'}\) theo các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình lập phương đã cho

b) Chứng minh rằng :

                    \(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D'C}+\overrightarrow{D'A'}=\overrightarrow{AB}\)

Hướng dẫn giải

Bài 3.4 (Sách bài tập - trang 132)

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng a. Trên các cạnh bên AA', BB', CC' ta lấy tương ứng các điểm M, N, P sao cho AM +BN + CP = a

Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) luôn luôn đi qua một điểm cố định ?

Hướng dẫn giải

Bài 3.3 (Sách bài tập - trang 131)

Cho tứ diện ABCD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên các cạnh AC và BD ta lần lượt lấy các điểm M, N sao cho :

                           \(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{BN}{BD}=k,\left(k>0\right)\)

Hướng dẫn giải

Bài 3.6 (Sách bài tập - trang 132)

Trên mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) cho hình bình hành \(A_1B_1C_1D_1\). Về một phía đối với mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) ta dựng hình bình hành \(A_2B_2C_2D_2\). Trên các đoạn \(A_1A_2,B_1B_2,C_1C_2,D_1D_2\) ta lần lượt lấy các điểm A, B, C, D sao cho :

                  \(\dfrac{AA_1}{AA_2}=\dfrac{BB_1}{BB_2}=\dfrac{CC_1}{CC_2}=\dfrac{DD_1}{DD_2}=3\)

Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành ?

Hướng dẫn giải

Lấy điểm O cố định rồi đặt \(\overrightarrow{OA_1}=\overrightarrow{a_1};\overrightarrow{OB_1}=\overrightarrow{b_1};\overrightarrow{OC_1}=\overrightarrow{c_1};\overrightarrow{OD_1}=\overrightarrow{d_1}\)

Điều kiện cần và đủ để tứ giác \(A_1B_1C_1D_1\) là hình bình hành là :

\(\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{c_1}=\overrightarrow{b_1}+\overrightarrow{d_1}\) (1)

\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}\Leftrightarrow\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\)

<=> Tứ giác ABCD là hình bình hành

Bài 3.5 (Sách bài tập - trang 132)

Trong không gian cho hai hình bình hành ABCD và AB'C'D' chỉ có chung nhau một điểm A. Chứng minh rằng các vectơ \(\overrightarrow{BB'},\overrightarrow{CC'},\overrightarrow{DD'}\) đồng phẳng ?

Hướng dẫn giải

Bài 3.7 (Sách bài tập - trang 132)

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có P và R lần lượt là trung điểm các cạnh AB và A'D'. Gọi P', Q,Q',R' lần lượt là tâm đối xứng của các hình bình hành ABCD, CDD'C', A'B'C'D', ADD'A'

a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow{PP'}+\overrightarrow{QQ'}+\overrightarrow{RR'}=\overrightarrow{O}\)

b) Chứng minh hai tam giác PQR và P'Q'R' có trọng tâm trùng nhau

 

Hướng dẫn giải

Bài 3.2 (Sách bài tập - trang 131)

Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D phân biệt và không thẳng hàng. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để bốn điểm A, B, C, D tạo thành một hình bình hành là :

\(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\)

Hướng dẫn giải