Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

Câu hỏi ôn tập

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 1 trang 99 SGK Hình học 12

Cho lăng trụ lục giác đều \(ABCDEF.A'B'C'D'E'F'\), \(O\) và \(O'\) là tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy, mặt phẳng \((P)\) đi qua trung điểm của \(OO'\) và cắt các cạnh bên cúa lăng trụ. Chứng minh rằng \((P)\) chia lăng trụ đã cho thành hai đa diện có thể tích bằng nhau.

Hướng dẫn giải

Gọi \(I\) là trung điểm của \(OO'\) thì \(I\) là tâm đối xứng của lăng trụ. Giả sử mặt phẳng \((P)\) đi qua \(I\) và chia khối lăng trụ thành hai phần (H1) và (H2).

Lấy điểm \(M\) bất kì thuộc (H1) thì điểm \(M'\) đối xứng với \(M\) cũng nằm trong hình lăng trụ, và do đó \(M' ∈\) (H2) và ngược lại, một điểm \(N ∈\) (H2), lấy đối xứng qua \(I\) sẽ được \(N' ∈\) (H1).

Do đó hai hình (H1) và (H2) đối xứng nhau qua tâm \(I\).

Vì vậy thể tích (H1) bằng thể tích (H2).

Nhận xét: Trong một hình bất kì trong không gian mà có tâm đối xứng, thì mặt phẳng đi qua tâm sẽ chia hình không gian đó thành hai phần có thể tích bằng nhau.

Bài 2 trang 99 SGK Hình học 12

Cho khối lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh bằng \(a\). Gọi \(E\) và \(F\) lần lượt là trung điểm của \(B'C'\) và \(C'D'\). Mặt phẳng \((AEF)\) chia khối lập phương đó thành hai khối đa diện (H) và (H') trong đó (H) là khối đa diện chứa đỉnh \(A'\). Tính thể tích của (H).

Hướng dẫn giải

Cách vẽ thiết diện:

Ta có \(EF // B'D'\) mà \(B'D' // BD\) nên từ \(A\) kẻ đường song song với \(BD\), cắt \(CD\) kéo dài tại \(D_1\) và \(CB\) kéo dài tại \(B_1\).

Nối \(B_1E\) cắt \(BB'\) tại \(G\). Nối \(D_1F\) cắt \(DD'\) tại \(K\).

Thiết diện là ngũ giác \(AGEFK\).

Hình (H) là khối \(AGEFK.A'B'D'\).

Theo giả thiết \(E\) là trung điểm của \(B'C'\); \(F\) là trung điểm của \(C'D'\), ta có \(BB_1= BC = a = 2B'E\) \( \Rightarrow BG = 2GB' = {2 \over 3}a\)

Từ đó \({V_{A.B{B_1}G}} = \frac{1}{3}AB.{S_{B{B_1}G}} = \frac{1}{3}a.\frac{1}{2}.a.\frac{2}{3}a = \frac{{{a^3}}}{9} = {V_1}\)

\({V_{(A.D{D_1}K)}} = {1 \over 3}.{S_{\Delta D{D_1}K}}.AD = {1 \over 9}{a^3} = {V_2}\)

Ta có:

\({S_{\Delta C{B_1}{D_1}}} = {1 \over 2}C{B_1}.C{D_1} = 2{a^2}\);

\({S_{\Delta EC'F}} = {1 \over 2}.C'E.C'F = {{{a^2}} \over 8}\)

Chiều cao hình chóp cụt \(CB_1D_1.C'EF \)là \(CC' = a\)

\({V_{C{C_1}{D_1}.C'EF}} = {1 \over 3}a\left( {2{a^2} + {{{a^2}} \over 8} + {{{a^2}} \over 2}} \right) = {{7{a^3}} \over 8}\)

Thể tích của khối (H') bằng:

\({V_{(H')}} = {V_{C{C_1}{D_1}.C'EF}} - ({V_1} + {V_2}) = {7 \over 8}{a^3} - {2 \over 9}{a^3} = {{47} \over {72}}{a^3}\)

Từ đó thể tích của khối (H) bằng:

\({V_{(H)}} = V\)lập phương\(-V\)(H') = \(a^3 - {{47} \over {72}}{a^3} = {{25} \over {72}}{a^3}\)

Bài 3 trang 99 SGK Hình học 12

Cho mặt cầu \((S)\) tâm \(O\) bán kính \(r\). Hình nón có đường tròn đáy \((C)\) và đỉnh \(I\) đều thuộc \((S)\) được gọi là hình nón nội tiếp mặt cầu \((S)\). Gọi \(h\) là chiều cao của hình nón đó.

a) Tính thể tích của hình nón theo \(r\) và \(h\).

b) Xác định \(h\) để thể tích của hình nón là lớn nhất.

Hướng dẫn giải

a) Cắt hình vẽ bằng một mặt phẳng qua trục hình nón, ta có hình vẽ trên, trong đó \(AH\) là bán kính đáy hình nón, \(SH\) là chiều cao hình nón \(SH = h\), \(SS'\) là đường kính hình cầu \(SS' = 2r\).

Tam giác \(SAS'\) vuông tại đỉnh \(A\), và \(AH\) là đường cao nên:

\(AH^2= SH.S'H\) \( \Rightarrow AH^2 = h(2r - h)\)

\(V\)nón = \({1 \over 3}\pi .A{H^2}.SH \Rightarrow V\)nón = \({1 \over 3}\pi {h^2}(2r - h)\)

b) Ta có:

\(V\)nón max \( \Leftrightarrow \) \(2V\)nón = \({\pi  \over 3}.{h^2}(4r - 2h)\) lớn nhất.

Ta có \(h^2(4r - 2h) = h.h.(4r - 2h)\)\( \le {\left( {{{h + h + 4r - 2h} \over 3}} \right)^3} = {\left( {{{4r} \over 3}} \right)^3}\)

Dấu bằng xảy ra thì \(V\)nón lớn nhất.

Khi đó \(h = 4r - 2h\) \( \Rightarrow h = {4 \over 3}r\) 

và \(V\)nón max = \({\pi  \over 6}{\left( {{{4r} \over 3}} \right)^3} = {{32} \over {81}}\pi {r^3}\)

Bài 4 trang 99 SGK Hình học 12

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A(1 ; 2 ;-1), B(7 ; -2 ; 3)\) và đường thẳng \(d\) có phương trình: \(\left\{ \matrix{x = - 1 + 3t \hfill \cr y = 2 - 2t \hfill \cr z = 2 + 2t. \hfill \cr} \right.\)

a) Chứng minh rằng hai đường thẳng \(d\) và \(AB\) cùng nằm trong một mặt phẳng.

b) Tìm điểm \(I\) trên \(d\) sao cho \(AI + BI\) nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải

a) Đường thẳng \(AB\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} =(6; -4; 4)\)

Đường thẳng \((d)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a  = (3; -2; 2)\)

\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {AB}  = 2\overrightarrow a \)  và  \(A ∉ (d)\)

\( \Rightarrow  AB\) và \((d)\) song song với nhau.

\( \Rightarrow \) Hai đường thẳng \((d)\) và \(AB\) cùng thuộc một mặt phẳng.

b) Gọi \(A'\) là điểm đối xứng của điểm \(A\) qua phép đối xứng qua đường thẳng \(d\) thì điểm \(I\) cần tìm là giao điểm của đường thẳng \(A'B\) và đường thẳng \(d\).

Trong câu a) ta chứng minh được \(AB // d\), từ đó suy ra \(I\) chính là giao điểm của đường thẳng \(d\) với mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) thì \(M(4; 0; 1)\).

Phương trình mặt phẳng trung trực của \(AB\):

\(3(x - 4) - 2(y - 0) + 2(z - 1) = 0\) \( \Rightarrow  3x - 2y + 2z - 14 = 0\)

Phương trình tham số của \((d)\):\(\left\{ \matrix{
x = - 1 + 3t \hfill \cr 
y = 2 - 2t \hfill \cr 
z = 2 + 2t \hfill \cr} \right.\)

Giá trị tham số ứng với giao điểm \(I \)của \((d)\) và mặt phẳng trung trực của \(AB\) là nghiệm của phương trình:

\(3( -1 + 3t) - 2(2 - 2t) + 2(2 + 2t) - 14 = 0\) \( \Rightarrow  t = 1\)

Từ đây ta được \(I (2; 0; 4)\)

Bài 5 trang 99 SGK Hình học 12

Cho tứ diện \(ABCD\) có cạnh \(AD\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\). Biết rằng \(AC = AD = 4 cm\), \(AB = 3 cm, BC = 5 cm\).

a) Tính thể tích tứ diện \(ABCD\).

b) Tính khoảng cách từ điểm \(A\) tới mặt phẳng \((BCD)\).

Hướng dẫn giải

Chọn hệ toạ độ gốc là điểm \(A\), các đường thẳng \(AB, AC, AD\) theo thứ tự là các trục \(Ox, Oy, Oz\).

Ta có: \(A(0; 0; 0), B(3; 0; 0);C(0; 4; 0), D(0; 0; 4)\)

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = (3; 0; 0) \Rightarrow AB = 3\)

           \(\overrightarrow {AC}  = (0; 4; 0)  \Rightarrow AC = 4\)

           \(\overrightarrow {AD}  = (0; 0; 4) \Rightarrow AD = 4\)

\(V_{ABCD}\) = \({1 \over 6}AB.AC.AD = 8 (cm^3)\)

b) Áp dụng công thức phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có phương trình mặt phẳng \((BDC)\) là:

\({x \over 3} + {y \over 4} + {z \over 4} = 1 \Leftrightarrow 4x + 3y + 3z - 12 = 0\)

Từ đây ta có: \(d(A, (BDC)) ={{\left| {12} \right|} \over {\sqrt {{4^2} + {3^2} + {3^2}} }} = {{12} \over {\sqrt {34} }}\)

Bài 6 trang 100 SGK Hình học 12

Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt cầu \((S)\) có phương trình \({x^2} + {\rm{ }}{y^2} + {\rm{ }}{z^2} = {\rm{ }}4{a^{2}}\left( {a > 0} \right)\).

a) Tính diện tích mặt cầu \((S)\) và thể tích của khối cầu tương ứng.

b) Mặt cầu \((S)\) cắt mặt phẳng \((Oxy)\) theo đường tròn \((C)\). Xác định tâm và bán kính của \((C)\).

c) Tính diện tích xung quanh của hình trụ nhận \((C)\) làm đáy và có chiều cao là \(a\sqrt3\). Tính thể tích của khối trụ tương ứng.

Hướng dẫn giải

a) Mặt cầu \((S)\) có tâm là gốc toạ độ \(O\) và bán kính \(R = 2a\) nên có

\(S = 16πa^2\) ; \(V ={{32\pi {a^2}} \over 3}\)

b) Phương trình đường tròn \((C)\), giao tuyến của mặt cầu và mặt phẳng \(Oxy\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4{a^2}\\z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 4{a^2}\\z = 0\end{array} \right.\)

Từ đây suy ra mặt phẳng \(z = 0\) cắt mặt cầu theo đường tròn \((C)\) có tâm là gốc toạ độ \(O\) và bán kính là \(2a\).

c) Hình trụ có đáy là đường tròn \((C)\) và chiều cao \(a\sqrt3\) có:

\(S_{xq} = 2π.(2a).a\sqrt3\)   \( \Rightarrow  S_{xq}= 4πa^2\sqrt3\)

\(V = π(2a)^2.a\sqrt3\)        \( \Rightarrow  V = 4πa^3\sqrt3\)

Bài 7 trang 100 SGK Hình học 12

Trong không gian \(Oxyz\) cho hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình

\({d_1}:\,\,\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 - t\\
y = t\\
z = - t
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{d_2}:\,\,\left\{ \begin{array}{l}
x = 2t'\\
y = - 1 + t'\\
z = t'
\end{array} \right.\)

a) Chứng minh rằng hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng \((α)\) chứa d1 và song song với d2.

Hướng dẫn giải

a) (d1) đi qua điểm \(M(1; 0; 0)\) và có VTCP \(\overrightarrow {a_1}  = (-1; 1; -1)\)

(d2) đi qua điểm \(M'(0; -1; 0)\) và có VTCP \(\overrightarrow {a_2}  = (2; 1; 1)\)

Dễ thấy \(\overrightarrow {a_1} \) và \(\overrightarrow {a_2} \) không cùng phương nên d1 và d2 có thể chéo nhau hoặc cắt nhau. Xét giao của d1 và d2: \(\left\{ \begin{array}{l}1 - t = 2t'\\t = - 1 + t'\\- t = t'\end{array} \right.\).

Hệ phương trình trên vô nghiệm, do đó d1 và d2 không cắt nhau.

Vậy d1 và d2 chéo nhau.

b) Mặt phẳng \((α)\) chứa (d1) và song song với d2 thì \((α)\) qua điểm \(M_1(1; 0; 0)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right]= (2; -1; -3)\)

Phương trình mặt phẳng \((α)\) có dạng:

\(2(x - 1) - (y - 0) - 3(z - 0) = 0 \Leftrightarrow 2x - y - 3z - 2 = 0\)

Bài 8 trang 100 SGK Hình học 12

Trong không gian \(Oxyz\) cho các điểm \(A(1; 0 ; -1), B(3 ; 4 ; -2), C(4 ; -1; 1), D(3 ; 0 ;3)\).

a) Chứng minh rằng \(A, B, C, D\) không đồng phẳng.

b) Viết phương trình mặt phẳng \((ABC)\) và tính khoảng cách từ \(D\) đến \((ABC)\).

c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\).

d) Tính thể tích tứ diện \(ABCD\).

Hướng dẫn giải

a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = (2; 4; -1)\), \(\overrightarrow {AC} = (3; -1; 2)\)

Ta có: \( \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] =  (7; -7; -14)=7(1;-1;-2)\)

Gọi \(\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\) \( \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( {1; - 1; - 2} \right)\)

Khi đó phương trình mp \((ABC)\): \((x - 1) - (y - 0) -2(z + 1) = 0 \)

\(\Leftrightarrow x - y - 2z - 3 = 0\).

Thay tọa độ điểm D vào phương trình mặt phẳng (ABC) ta có: \(3 - 0 - 2.3 - 3 =  - 6 \ne 0 \Rightarrow D \notin \left( {ABC} \right)\).

Vậy \(A, B, C, D\) không đồng phẳng.

b) \(d(D, (ABC))\) =\({{\left| {1.3 - 0 - 2.3 - 3} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} }} = {6 \over {\sqrt 6 }} = \sqrt 6 \)

c) Phương trình tổng quát của mặt cầu:

\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0\)

Mặt cầu đi qua \(A(1; 0; -1)\) ta có:

\({1^2} + {0^2} + {( - 1)^2} + 2A - 2C + D = 0 \)

\(\Leftrightarrow 2A - 2C + D + 2 = 0 \)(1)

Tương tự, mặt cầu đi qua \(B, C, D\) cho ta các phương trình:

\(6A + 8B - 4C + D + 29 = 0 \)                         (2)

\(8A - 2B + 2C + D + 18 = 0 \)                         (3)

\(6A  + 6C + D + 18 = 0  \)                                    (4)

Hệ bốn phương trình (1), (2), (3), (4) cho ta: \(A = -3; B =- 2; C = {-1 \over 2}; D = 3\).

Vậy hương trình mặt cầu đi qua bốn điểm \(A, B, C, D\) là: \({x^2} + {y^2} + {z^2} -6 x - 4y - z +3 = 0\)

d) Ta có: \(\overrightarrow {AD}  = \left( {2;0;4} \right)\)

\(\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD}  = 7.2 - 7.0 - 14.4 =  - 42\)

Vậy \({V_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = \frac{1}{6}.42 = 7\)

Bài 9 trang 100 SGK Hình học 12

Trong không gian \(Oxyz\) cho bốn điểm \(A(2 ; 4 ; -1), B(1 ; 4 ; -1),\) \( C(2 ; 4; 3), D(2 ; 2 ; -1)\).

a) Chứng minh rằng các đường thẳng \(AB, AC, AD\) vuông góc với nhau từng đôi một. Tính thể tích khối tứ diện \(ABCD\).

b) Viết phương trình mặt cầu \((S)\) đi qua bốn điểm \(A, B, C, D\).

c) Viết phương trình mặt phẳng \((α)\) tiếp xúc với mặt cầu \((S)\) và song song với mặt phẳng \((ABD)\).

Hướng dẫn giải

a) Ta xét các tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \); \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \); \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} \)

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (-1; 0; 0)\), \(\overrightarrow {AC} = (0; 0; 4)\), \(\overrightarrow {AD} = (0; -2; 0)\)

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = (-1).0 + 0.0 + 0.4 = 0\Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {AC} \)

Các trường hợp còn lại chứng minh tương tự.

Ta có: \(V_{ABCD}\) =\({1 \over 3}.{1 \over 2}.AB.AC.AD\)

Ta tính được: \(AB = 1; AC = 4; AD = 2\)

\( \Rightarrow {V_{ABCD}} = {1 \over 6}.1.4.2 = {4 \over 3}\)(đvtt)

b) Gọi \(I(a; b; c)\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\).

\(IA = IB = IC\) \( \Rightarrow I\) nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ACD\). Tam giác \(ACD\) vuông tại đỉnh \(A\) nên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ACD\) là đường thẳng vuông góc với mp \((ACD)\) và đi qua trung điểm \(M\) của cạnh huyền \(CD\).

Như vậy \(MI // AB\)                       (1)

Ta lại có \(IA = IB\). Gọi \(P\) là trung điểm của \(AB\), ta có:

\(MI = AP\) = \({1 \over 2}AB\)                        (2)

Từ (1) và (2), suy ra \(\overrightarrow {MI}  = {1 \over 2}\overrightarrow {AB} \)

Với \(C (2; 4; 3), D (2; 2; -1)\) \( \Rightarrow M (2; 3; 1)\)

\(\overrightarrow {MI}= (a - 2; b - 3; c - 1); \overrightarrow {AB}  = (-1; 0; 0) \)

\(\left\{ \matrix{
a - 2 = {1 \over 2}( - 1) \Rightarrow a = {3 \over 2} \hfill \cr 
b - 3 = {1 \over 2}.0 \Rightarrow b = 3 \hfill \cr 
c - 1 = {1 \over 2}.0 \Rightarrow c = 1 \hfill \cr} \right.\)

Tâm \(I\) của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) là \(I\)\(\left( {{3 \over 2};3;1} \right)\)

Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) là \(r\) thì:

\(r^2 = IA^2\) =\({\left( {2 - {3 \over 2}} \right)^2} + {(4 - 3)^2} + {( - 1 - 1)^2} = {{21} \over 4}\)

Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\):

\({\left( {x - {3 \over 2}} \right)^2} + {(y - 3)^2} + {(z - 1)^2} = {{21} \over 4}\)

c) Ta cũng có \(AC ⊥ (ABD)\). Mặt phẳng \((α)\) song song với mặt phẳng \((ABD)\) nên nhận \(\overrightarrow {AC} \) làm vectơ pháp tuyến.

Ta có \(\overrightarrow {AC}  = (0; 0; 4)\) nên phương trình mặt phẳng \((α)\) có dạng \(z + D = 0\).

Khoảng cách từ tâm \(I\) của mặt cầu đến mặt phẳng \((α)\) là:

\(d(I,(α)) ={{\left| {1 + D} \right|} \over 1} = \left| {1 + D} \right|\)

Để mặt phẳng \((α)\) tiếp xúc với mặt cầu, ta cần có:

\(d(I,(α)) = r \Rightarrow \left| {1 + D} \right| = {{\sqrt {21} } \over 2}\)

Ta có hai mặt phẳng:

TH1: \(1 + D ={{\sqrt {21} } \over 2} \Rightarrow D = {{\sqrt {21} } \over 2} - 1\)

\(\Rightarrow \left( {{\alpha _1}} \right):z + {{\sqrt {21} } \over 2} - 1 = 0\)

TH2: \(1 + D = - {{\sqrt {21} } \over 2} \Rightarrow D =  - {{\sqrt {21} } \over 2} - 1 \)

\(\Rightarrow \left( {{\alpha _2}} \right):z - {{\sqrt {21} } \over 2} - 1 = 0\)

Bài 10 trang 100 SGK Hình học 12

Trong không gian \(Oxyz\) cho đường thẳng \(d\):

\(\left\{ \matrix{
x = 1 - 2t \hfill \cr 
y = 2 + t \hfill \cr 
z = 3 - t \hfill \cr} \right.\)và mặt phẳng \((α) : 2x + y + z = 0\).

a) Tìm toạ độ giao điểm \(A\) của \(d\) và \((α)\).

b) Viết phương trình mặt phẳng \((β)\) qua \(A\) và vuông góc với \( d\).

Hướng dẫn giải

\(A \in d \Rightarrow A\left( {1 - 2t;2 + t;3 - t} \right)\)

Thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình của mặt phẳng \((α)\), ta có:

\(2(1 - 2t) + (2 + t) + (3 - t) = 0 \Rightarrow t = {7 \over 4}  \)

\(\Rightarrow A\left( { - \frac{5}{2};\frac{{15}}{4};\frac{5}{4}} \right)\)

b) Đường thẳng \((d)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a  = (-2; 1; -1)\). Mặt phẳng \((β)\) vuông góc với \((d)\), nhận \(\overrightarrow a \) làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình của \((β)\) là:

\( - 2\left( {x + {{10} \over 4}} \right) + 1.\left( {y - {{15} \over 4}} \right) - 1.\left( {z - {5 \over 4}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 4x - 2y + 2z + 15 = 0\)

Bài 11 trang 101 SGK Hình học 12

Trong không gian \(Oxyz\) cho các điểm \(A(-1 ; 2 ; 0), B(-3 ; 0 ; 2), C(1 ; 2 ; 3), D(0 ; 3 ;-2)\)

a) Viết phương trình mặt phẳng \((ABC)\) và phương trình tham số của đường thẳng \(AD\).

b) Viết phương trình mặt phẳng \((α)\) chứa \(AD\) và song song với \(BC\).

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (-2; -2; 2)\), \(\overrightarrow {AC} = (2; 0; 3)\).

Gọi \(\vec n\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\) thì:

\(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\)

\(\Rightarrow \overrightarrow n  = ( - 6;10;4) =-2(3; -5; -2)\).

Chọn vectơ \((3; -5; -2)\) là vectơ pháp tuyến của mp \((ABC)\) và được phương trình:

\(3(x + 1) - 5(y - 2) - 2(z - 0) = 0\)

\( \Leftrightarrow 3x - 5y - 2z + 13 = 0\)

Đường thẳng \(AD\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AD} = (1; 1; -2)\) và đi qua \(A(-1; 2; 0)\) có phương trình chính tắc là:

\({{x + 1} \over 1} = {{y - 2} \over 1} = {z \over { - 2}}\)

b) Ta có: \(\overrightarrow {AD} = (1; 1; -2)\), \(\overrightarrow {BC} = (4; 2; 1)\)

Gọi \(\overrightarrow m \) là vectơ pháp tuyến của mp \((α)\) thì:

\(\overrightarrow m  = \left[ {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {BC} } \right]= (5; -9; -2)\)

\((α)\) chứa \(AD\) nên chứa điểm \(A(-1; 2; 0)\)

Phương trình của \((α)\) là:

\(5(x + 1) - 9(y - 2) - 2(z - 0) = 0\)

\( \Leftrightarrow 5x - 9y  - 2z + 23 = 0\).

Bài 12 trang 101 SGK Hình học 12

Trong không gian \(Oxyz\) cho bốn điểm \(A(3 ; -2 ; -2), B(3 ; 2 ; 0), C(0 ; 2 ; 1)\) và \(D(-1 ; 1 ; 2)\)

a) Viết phương trình mặt phẳng \((BCD)\). Suy ra \(ABCD\) là một tứ diện.

b) Viết phương trình mặt cầu \((S)\) tâm \(A\) và tiếp xúc với mặt phẳng \((BCD)\).

c) Tìm toạ độ tiếp điểm của \((S)\) và mặt phẳng \((BCD)\).

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {BC}  = (-3; 0; 1)\), \(\overrightarrow {BD}  = (-4; -1; 2)\)

Gọi \(\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của mp \((BCD)\) thì:

\(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = (1;2;3)\)

Mặt phẳng \((BCD)\) đi qua \(B\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (1; 2; 3)\) có phương trình:

\(1(x - 3) + 2(y - 2) + 3(z - 0) = 0\)

\(\Leftrightarrow x + 2y + 3z - 7 = 0\)

Thay toạ độ điểm \(A\) vào phương trình của mp \((BCD)\), ta có:

\(3 + 2(-2) + 3(-2) - 7 = -14 ≠ 0\)

Vậy \(A ∉ (BCD)\) \( \Rightarrow \)bốn điểm \(A, B, C, D\) không đồng phẳng. Vậy ABCD là một tứ diện.

b) Mặt cầu tâm \(A\), tiếp xúc với mp \((BCD)\) có bán kính bằng khoảng cách từ \(A\) đến mp \((BCD)\): \(r = d (A,(BCD))\) =\({{\left| { - 14} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \sqrt {14} \)

Phương trình mặt cầu cần tìm: \((S): (x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z + 2)^2 = 14\)

c) Phương trình đường thẳng \((d)\) đi qua \(A\) và vuông góc với mp \((BCD)\) là: \(\left\{ \matrix{x = 3 + t \hfill \cr y = - 2 + 2t \hfill \cr z = - 2 + 3t \hfill \cr} \right.\)

Gọi \(H = d \cap \left( {BCD} \right) \Rightarrow H\left( {3 + t; - 2 + 2t; - 2 + 3t} \right)\)

Thay tọa độ điểm H vào phương trình của \((BCD)\), ta có:

\((3 + t) + 2(-2 + 2t) + 3(-2 + 3t) - 7 = 0 \)\( \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow H\left( {4;0;1} \right)\)

Bài 13 trang 101 SGK Hình học 12

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng: 

\({d_1}:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 3t\\y = 1 + 2t\\z = 3 - 2t\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = t'\\y = 1 + t'\\z = - 3 + 2t'\end{array} \right.\)

a) Chứng minh rằng d1 và d2  cùng thuộc một mặt phẳng.

b) Viết phương trình mặt phẳng đó.

Hướng dẫn giải

a) Đường thẳng d1 đi qua điểm \(M_1(-1; 1; 3)\) và có VTCP \(\overrightarrow {{a_1}}  = (3;2; - 2)\)

    Đường thẳng d2 đi qua điểm \(M_2\)\((0; 1; -3)\) và có VTCP \(\overrightarrow {{a_2}} = (1; 1; 2)\).

Ta có \(\left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right]= (6; -8; 1)\), \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = (1; 0; -6)\)

\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right]\). \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = 0\)

Vậy ba vectơ \(\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \) đồng phẳng hay hai đường thẳng d1, d2 nằm cùng một mặt phẳng.

b) Gọi \((P)\) là mặt phẳng chứa d1 và d2.

Khi đó \((P)\) qua điểm \(M_1 (-1; 1; 3)\) và có vectơ pháp tuyến

\(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right]= (6; -8; 1)\).

Phương trình mặt phẳng \((P)\) có dạng:

\(6(x + 1) - 8(y - 1) + (z - 3) = 0\)

\(\Leftrightarrow  6x - 8y + z + 11 = 0\)

Bài 14 trang 101 SGK Hình học 12

Trong không gian cho ba điểm \(A, B, C\).

a) Xác định điểm \(G\) sao cho \(\overrightarrow {GA}  + 2\overrightarrow {GB}  - 2\overrightarrow {GC}  = 0.\)

b) Tìm tập hợp các điểm \(M\) sao cho \(MA^2 + 2MB^2 - 2MC^2 = k^2\), với \(k\) là hằng số.

Hướng dẫn giải

a) Ta có

\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GB} - 2\overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + 2\left( {\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GC} } \right) = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {CB} = 0\\
\Leftrightarrow \overrightarrow {GA} = 2\overrightarrow {BC} 
\end{array}\)

Gọi \(D\) là điểm mà \(\overrightarrow {DC}  = 2\overrightarrow {BC} \) tức là điểm \(B\) là trung điểm của \(CD\) \( \Rightarrow \overrightarrow {GA}  = \overrightarrow {DC} \)

Vậy \(G\) là đỉnh thứ tư của hình bình hành \(ACDG\).

b) Gọi \(G\) là điểm trong câu a): \(\overrightarrow {GA}  + 2\overrightarrow {GB}  - 2\overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \).

Ta có: \(M{A^2} = {\overrightarrow {MA} ^2}= {(\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GA} )^2}\)

\(= M{G^2} + G{A^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GA} \);

\(M{B^2} = {\overrightarrow {MB} ^2} = {(\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GB} )^2}\)

\(= M{G^2} + G{B^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GB} \);

\(M{C^2} = {\overrightarrow {MC} ^2} = {(\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GC} )^2} \)

\(= M{G^2} + G{C^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GC} \).

Từ đó \(MA^2 +2 MB^2 -2 MC^2 = k^2\)

\( \Leftrightarrow M{G^2} + G{A^2} + 2G{B^2} - 2G{C^2} \)

\(+ 2\overrightarrow {MG} (\overrightarrow {GA}  + 2\overrightarrow {GB}  - 2\overrightarrow {GC} ) = {k^2}\)

\( \Leftrightarrow M{G^2} = {k^2} - (G{A^2} + 2G{B^2} - 2G{C^2})\) 

(Vì \(\overrightarrow {GA}  + 2\overrightarrow {GB}  - 2\overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \)).

Do vậy:

Nếu \(k^2 - (GA^2 + 2GB^2 - 2GC^2) = r^2 > 0\) thì tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm G bán kính r.

Nếu \(k^2 - (GA^2 + 2GB^2 - 2GC^2) = r^2 =0\) thì tập hợp M chính là điểm G.

Nếu \(k^2 - (GA^2 + 2GB^2 - 2GC^2) = r^2 < 0\) thì tập hợp các điểm M chính là tập rỗng.

 

Bài 15 trang 101 SGK Hình học 12

Cho hai đường thẳng chéo nhau

\(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = - 1 + t\\z = 1 - t\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,d':\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t'\\y = t'\\z = 1 + t'\end{array} \right.\)

a) Viết phương trình các mặt phẳng \((α)\) và \((β)\) song song với nhau và lần lượt chứa \(d\) và \(d'\).

b) Lấy hai điểm \(M(2 ; -1 ; 1)\) và \(M'(2 ; 0 ; 1)\) lần lượt trên \(d\) và \(d'\). Tính khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \((β)\) và khoảng cách từ \(M'\) đến mặt phẳng \((α)\). So sánh hai khoảng cách đó.

Hướng dẫn giải

a) Mặt phẳng \((α)\) chính là mặt phẳng chứa \(d\) và song song với \(d'\)

\(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a  = (-1; 1; -1)\).

\(d'\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {a'}  = (2; 1; 1)\)

Vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) của \((α)\) vuông góc với \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {a'} \) nên: \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow {a'} } \right] = \left( {2; - 1;3} \right)\)

Đường thẳng \(d\) chứa điểm \(A(2; -1; 1)\). Mặt phẳng \((α)\) chứa \(d\) nên chứa điểm \(A\). Phương trình của \((α)\):

\(2(x - 2) - 1(y + 1) - 3(z - 1) = 0\)

\(\Leftrightarrow  2x - y - 3z - 2 = 0\)

Mặt phẳng \((\beta)\) chính là mặt phẳng chứa \(d'\) và song song với \(d\) nên cũng nhận \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 1;3} \right)\) là VTPT và đi qua điểm \(B\left( {2;0;1} \right)\)

Suy ra phương trình mặt phẳng \((β)\): \(2(x-2)-y-3(z-1)=0 \Leftrightarrow  2x - y - 3z - 1 = 0\)

b) Ta có: \(d (M,(β))\) =\({{\left| {2.2 - 1.( - 1) - 3.1 - 1} \right|} \over {\sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {{( - 3)}^2}} }} = {1 \over {\sqrt {14} }}\)

\(d\left( {M';\left( \alpha  \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 - 1.0 - 3.1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {14} }}\)

\(\Rightarrow d(M,(β)) = d(M', (α))\)

Bài 16 trang 102 SGK Hình học 12

Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt phẳng \((α)\) có phương trình \(4x + y + 2z + 1 = 0\) và mặt phẳng \((β)\) có phương trình \(2x - 2y + z + 3 = 0\).

a) Chứng minh rằng \((α)\) cắt \((β)\).

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là giao của \((α)\) và \((β)\).

c) Tìm điểm \(M'\) đối xứng với điểm \(M(4 ; 2 ; 1)\) qua mặt phẳng \((α)\).

d) Tìm điểm \(N'\) đối xứng với điểm \(N(0 ; 2 ; 4)\) qua đường thẳng \(d\).

Hướng dẫn giải

a) Mặt phẳng \((α)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n_1}  = (4; 1; 2)\)

Mặt phẳng \((β)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n_2}  = (2; -2; 1)\)

Vì \({4 \over 2} \ne {1 \over { - 2}} \ne {2 \over 1} \Rightarrow \overrightarrow {n_1} \) và \(\overrightarrow {n_2} \) không cùng phương.

Suy ra \((α)\) và \((β)\) cắt nhau.

b) \((α)\) cắt \((β)\) nên \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) có giá vuông góc với đường thẳng \(d\), vì vậy vectơ \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right]= (5; 0; -10\)) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).

Ta có thể chọn vectơ \(\overrightarrow u = (1; 0; -2)\) làm vectơ chỉ phương.

Ta tìm một điểm nằm trên \(d\).

Xét hệ\(\left\{ \matrix{
4x + y + 2z + 1 = 0 \hfill \cr 
2x - 2y + z + 3 = 0 \hfill \cr} \right.\)

Lấy điểm \(M_0(1; 1; -3) ∈ d\). 

Phương trình tham số của \(d\) là:\(\left\{ \matrix{
x = 1 + s \hfill \cr 
y = 1 \hfill \cr 
z = - 3 - 2s \hfill \cr} \right.\)

c) Mặt phẳng \((α)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (4; 1; 2)\).

Đường thẳng \(∆\) đi qua \(M(4; 2; 1)\) và vuông góc với \((α)\), nhận vectơ \(\overrightarrow n \) làm vectơ chỉ phương và có phương trình tham số: 

\(\left\{ \matrix{
x = 4 + 4t \hfill \cr 
y = 2 + t \hfill \cr 
z = 1 + 2t \hfill \cr} \right.\)

Trước hết ta tìm toạ độ hình chiếu \(H\) của \(M\) trên \((α)\) bằng cách thay các biểu thức của \(x, y, z\)  theo \(t\) vào phương trình của \((α)\), ta có:

\(4(4 + 4t) + (2 + t) + 2(1 + 2t) + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow 21t + 21 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1 \Rightarrow H (0; 1; -1)\)

Gọi \(M' (x; y; z)\) là điểm đối xứng với \(M\) qua mp \((α)\) thì \(\overrightarrow {MM'}  = 2\overrightarrow {MH} \):

\(\overrightarrow {MH} = (-4; -1; -2)\)

\(\overrightarrow {MM'} = (x - 4; y - 2; z - 1)\). 

\(\overrightarrow {MM'} = 2\overrightarrow {MH} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x - 4 = 2.( - 4) \Rightarrow x = - 4 \hfill \cr 
y - 2 = 2.( - 1) \Rightarrow y = 0 \hfill \cr 
z - 1 = 2.( - 2) \Rightarrow z = - 3 \hfill \cr} \right.\)

\(\Rightarrow M( - 4;0; - 3)\)

d) Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a  = (1; 0; -2)\).

Mặt phẳng \((P)\) đi qua \(N(0; 2; 4)\) và vuông góc với \(d\), nhận \(\overrightarrow a \) làm vectơ pháp tuyến và có phương trình:

\(1(x - 0) + 0(y - 2) - 2(z - 4) = 0\)

\((P)\): \(x - 2z + 8 = 0\)

Ta tìm giao điểm \(I\) của \(d\) và \((P)\). Ta có:

\(1+s - 2(-3-2s) + 8 = 0\)\( \Leftrightarrow  s = -3 \Leftrightarrow I( -2; 1; 3)\)

\(N' (x; y; z)\) là điểm đối xứng của \(N\) qua \(d\) thì \(\overrightarrow {NN'}  = 2\overrightarrow {NI} \)

 

\(\overrightarrow {NI} = (-2; -1; -1)\), \(\overrightarrow {NN'}  = (x; y - 2; z - 4) \)

\( \Rightarrow \left\{ \matrix{
x = ( - 2).2 \hfill \cr 
y - 2 = ( - 1).2 \hfill \cr 
z - 4 = ( - 1).2 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
x = - 4 \hfill \cr 
y = 0 \hfill \cr 
z = 2 \hfill \cr} \right.\)

\(\Rightarrow N'( - 4;0;2)\)

Có thể bạn quan tâm


Có thể bạn quan tâm