Trong không gian cho các điểm . a) Chứng minh rằng không đồng phẳng. b) Viết phương trình mặt phẳng và tính khoảng cách từ đến . c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện . d) Tính thể tích tứ diện .

a) Ta có , Ta có: Gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Khi đó phương trình mp : . Thay tọa độ điểm D vào phương trình mặt phẳng (ABC) ta có: . Vậy không đồng phẳng. b) = c) Phương trình tổng quát của mặt cầu: Mặt cầu đi qua ta có: (1) Tương tự, mặt cầu đi qua cho ta các phương trình: (2) (3) (4) Hệ bốn phương trình (1),...

Bài 8 trang 100 SGK Hình học 12

Gửi bởi: Nguyễn Thị Ngọc Vào 15 tháng 5 2019 lúc 15:36:31

Lý thuyết

Câu hỏi

Trong không gian \(Oxyz\) cho các điểm \(A(1; 0 ; -1), B(3 ; 4 ; -2), C(4 ; -1; 1), D(3 ; 0 ;3)\).

a) Chứng minh rằng \(A, B, C, D\) không đồng phẳng.

b) Viết phương trình mặt phẳng \((ABC)\) và tính khoảng cách từ \(D\) đến \((ABC)\).

c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\).

d) Tính thể tích tứ diện \(ABCD\).

Hướng dẫn giải

a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = (2; 4; -1)\), \(\overrightarrow {AC} = (3; -1; 2)\)

Ta có: \( \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = (7; -7; -14)=7(1;-1;-2)\)

Gọi \(\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\) \( \Rightarrow \overrightarrow n = \left( {1; - 1; - 2} \right)\)

Khi đó phương trình mp \((ABC)\): \((x - 1) - (y - 0) -2(z + 1) = 0 \)

\(\Leftrightarrow x - y - 2z - 3 = 0\).

Thay tọa độ điểm D vào phương trình mặt phẳng (ABC) ta có: \(3 - 0 - 2.3 - 3 = - 6 \ne 0 \Rightarrow D \notin \left( {ABC} \right)\).

Vậy \(A, B, C, D\) không đồng phẳng.

b) \(d(D, (ABC))\) =\({{\left| {1.3 - 0 - 2.3 - 3} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} }} = {6 \over {\sqrt 6 }} = \sqrt 6 \)

c) Phương trình tổng quát của mặt cầu:

\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0\)

Mặt cầu đi qua \(A(1; 0; -1)\) ta có:

\({1^2} + {0^2} + {( - 1)^2} + 2A - 2C + D = 0 \)

\(\Leftrightarrow 2A - 2C + D + 2 = 0 \)(1)

Tương tự, mặt cầu đi qua \(B, C, D\) cho ta các phương trình:

\(6A + 8B - 4C + D + 29 = 0 \) (2)

\(8A - 2B + 2C + D + 18 = 0 \) (3)

\(6A + 6C + D + 18 = 0 \) (4)

Hệ bốn phương trình (1), (2), (3), (4) cho ta: \(A = -3; B =- 2; C = {-1 \over 2}; D = 3\).

Vậy hương trình mặt cầu đi qua bốn điểm \(A, B, C, D\) là: \({x^2} + {y^2} + {z^2} -6 x - 4y - z +3 = 0\)

d) Ta có: \(\overrightarrow {AD} = \left( {2;0;4} \right)\)

\(\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = 7.2 - 7.0 - 14.4 = - 42\)

Vậy \({V_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = \frac{1}{6}.42 = 7\)

Update: 15 tháng 5 2019 lúc 15:36:31

Các câu hỏi cùng bài học

Có thể bạn quan tâm

Hỏi đáp

MÔN HỌC

Bài 8 trang 100 SGK Hình học 12

Câu hỏi

Hướng dẫn giải

Các câu hỏi cùng bài học

Có thể bạn quan tâm