Trong không gian , cho hai điểm và đường thẳng có phương trình: a) Chứng minh rằng hai đường thẳng và cùng nằm trong một mặt phẳng. b) Tìm điểm trên sao cho nhỏ nhất.

a) Đường thẳng có vectơ chỉ phương Đường thẳng có vectơ chỉ phương và và song song với nhau. Hai đường thẳng và cùng thuộc một mặt phẳng. b) Gọi là điểm đối xứng của điểm qua phép đối xứng qua đường thẳng thì điểm cần tìm là giao điểm của đường thẳng và đường thẳng . Trong câu a) ta chứng minh được ,...

Bài 4 trang 99 SGK Hình học 12

Gửi bởi: Nguyễn Thị Ngọc Vào 15 tháng 5 2019 lúc 15:34:33

Lý thuyết

Câu hỏi

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A(1 ; 2 ;-1), B(7 ; -2 ; 3)\) và đường thẳng \(d\) có phương trình: \(\left\{ \matrix{x = - 1 + 3t \hfill \cr y = 2 - 2t \hfill \cr z = 2 + 2t. \hfill \cr} \right.\)

a) Chứng minh rằng hai đường thẳng \(d\) và \(AB\) cùng nằm trong một mặt phẳng.

b) Tìm điểm \(I\) trên \(d\) sao cho \(AI + BI\) nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải

a) Đường thẳng \(AB\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} =(6; -4; 4)\)

Đường thẳng \((d)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = (3; -2; 2)\)

\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow a \) và \(A ∉ (d)\)

\( \Rightarrow AB\) và \((d)\) song song với nhau.

\( \Rightarrow \) Hai đường thẳng \((d)\) và \(AB\) cùng thuộc một mặt phẳng.

b) Gọi \(A'\) là điểm đối xứng của điểm \(A\) qua phép đối xứng qua đường thẳng \(d\) thì điểm \(I\) cần tìm là giao điểm của đường thẳng \(A'B\) và đường thẳng \(d\).

Trong câu a) ta chứng minh được \(AB // d\), từ đó suy ra \(I\) chính là giao điểm của đường thẳng \(d\) với mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) thì \(M(4; 0; 1)\).

Phương trình mặt phẳng trung trực của \(AB\):

\(3(x - 4) - 2(y - 0) + 2(z - 1) = 0\) \( \Rightarrow 3x - 2y + 2z - 14 = 0\)

Phương trình tham số của \((d)\):\(\left\{ \matrix{
x = - 1 + 3t \hfill \cr
y = 2 - 2t \hfill \cr
z = 2 + 2t \hfill \cr} \right.\)

Giá trị tham số ứng với giao điểm \(I \)của \((d)\) và mặt phẳng trung trực của \(AB\) là nghiệm của phương trình:

\(3( -1 + 3t) - 2(2 - 2t) + 2(2 + 2t) - 14 = 0\) \( \Rightarrow t = 1\)

Từ đây ta được \(I (2; 0; 4)\)

Update: 15 tháng 5 2019 lúc 15:34:33