Bài 3 trang 99 SGK Hình học 12

Lý thuyết

Câu hỏi

Cho mặt cầu \((S)\) tâm \(O\) bán kính \(r\). Hình nón có đường tròn đáy \((C)\) và đỉnh \(I\) đều thuộc \((S)\) được gọi là hình nón nội tiếp mặt cầu \((S)\). Gọi \(h\) là chiều cao của hình nón đó.

a) Tính thể tích của hình nón theo \(r\) và \(h\).

b) Xác định \(h\) để thể tích của hình nón là lớn nhất.

Hướng dẫn giải

a) Cắt hình vẽ bằng một mặt phẳng qua trục hình nón, ta có hình vẽ trên, trong đó \(AH\) là bán kính đáy hình nón, \(SH\) là chiều cao hình nón \(SH = h\), \(SS'\) là đường kính hình cầu \(SS' = 2r\).

Tam giác \(SAS'\) vuông tại đỉnh \(A\), và \(AH\) là đường cao nên:

\(AH^2= SH.S'H\) \( \Rightarrow AH^2 = h(2r - h)\)

\(V\)nón = \({1 \over 3}\pi .A{H^2}.SH \Rightarrow V\)nón = \({1 \over 3}\pi {h^2}(2r - h)\)

b) Ta có:

\(V\)nón max \( \Leftrightarrow \) \(2V\)nón = \({\pi  \over 3}.{h^2}(4r - 2h)\) lớn nhất.

Ta có \(h^2(4r - 2h) = h.h.(4r - 2h)\)\( \le {\left( {{{h + h + 4r - 2h} \over 3}} \right)^3} = {\left( {{{4r} \over 3}} \right)^3}\)

Dấu bằng xảy ra thì \(V\)nón lớn nhất.

Khi đó \(h = 4r - 2h\) \( \Rightarrow h = {4 \over 3}r\) 

và \(V\)nón max = \({\pi  \over 6}{\left( {{{4r} \over 3}} \right)^3} = {{32} \over {81}}\pi {r^3}\)

Update: 15 tháng 5 2019 lúc 15:33:43

Các câu hỏi cùng bài học

• Bài 1 trang 99 SGK Hình học 12
• Bài 2 trang 99 SGK Hình học 12
• Bài 3 trang 99 SGK Hình học 12
• Bài 4 trang 99 SGK Hình học 12
• Bài 5 trang 99 SGK Hình học 12
• Bài 6 trang 100 SGK Hình học 12
• Bài 7 trang 100 SGK Hình học 12
• Bài 8 trang 100 SGK Hình học 12
• Bài 9 trang 100 SGK Hình học 12
• Bài 10 trang 100 SGK Hình học 12
• Bài 11 trang 101 SGK Hình học 12
• Bài 12 trang 101 SGK Hình học 12
• Bài 13 trang 101 SGK Hình học 12
• Bài 14 trang 101 SGK Hình học 12
• Bài 15 trang 101 SGK Hình học 12
• Bài 16 trang 102 SGK Hình học 12