Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Lý thuyết

Bài 1.27 (Sách bài tập trang 20)

Một chất điểm chuyển động theo quy luật \(s=6t^2-t^3\). Tính thời điểm t (giây) tại đó vận tốc v (m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất ?

Hướng dẫn giải

Vận tóc của chuyển động là:

\(v=s'=12t-3t^2\)

Ta có \(v'=12-6t\)

\(v'=0\) khi t = 2 và \(v'\) đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua t=2. Vậy \(v\) đạt giá trị lớn nhất khi t = 2.

Bài 1.24 (Sách bài tập trang 20)

Tìm các giá trị của m để phương trình :

            \(x^3-3x^2-m=0\)

có 3 nghiệm phân biệt

Hướng dẫn giải

Phương trình đã cho tương đương với:

\(x^3-3x^2=m\)

Khảo sát và lập bẳng biến thiên hàm số vế trái ta có:

\(y=x^3-3x^2\)

Đạo hàm: \(y'=3x^2-6x\)

\(y'=0\Leftrightarrow x=0,x=2\)

Lập bảng biến thiên:

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy để phương trình \(x^3-3x^2=m\) có 3 nghiệm phân biệt thì: \(-4< m< 0\)

Bài 1.26 (Sách bài tập trang 20)

Tìm hai số có hiệu là 13 sao cho tích của chúng là bé nhất ?

Hướng dẫn giải

Gọi số bé là x thì số lớn là x + 13. Tích của chúng là:

\(P=x\left(x+13\right)=x^2+13x\)

Ta có: \(P'=2x+13\)

\(P'=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{13}{2}\) và \(P'\) đổi dấu từ âm sang dương tại \(x=-\dfrac{13}{2}\) nên P đạt cực tiểu tại \(x=-\dfrac{13}{2}\).

Vậy 2 số là: \(-\dfrac{13}{2}\) và \(-\dfrac{13}{2}+13=\dfrac{13}{2}\).

Bài 1.22 (Sách bài tập trang 20)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{2x-1}{x-3}\) trên đoạn \(\left[0;2\right]\) ?

Hướng dẫn giải

\(f\left(x\right)=\dfrac{2x-1}{x-3}=\dfrac{2\left(x-3\right)+5}{x-3}=1+\dfrac{5}{\left(x-3\right)}\)

f(x) có dạng \(y=\dfrac{5}{x}\Rightarrow\) f(x) luôn nghịch biến

Tất nhiên bạn có thể tính đạo hàm --> f(x) <0 mọi x khác -3

f(x) luôn nghich biến [0;2] < -3 thuộc nhánh Bên Phải tiệm cận đứng

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}Max=f\left(0\right)=\dfrac{1}{3}\\Min=f\left(2\right)=-3\end{matrix}\right.\)

Bài 1.21 (Sách bài tập trang 20)

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau :

a) \(y=\dfrac{x}{4+x^2}\) trên khoảng \(\left(-\infty;+\infty\right)\)

b) \(y=\dfrac{1}{\cos x}\) trên khoảng \(\left(\dfrac{\pi}{x};\dfrac{3\pi}{2}\right)\)

c) \(y=\dfrac{1}{1+x^4}\) trên khoảng  \(\left(-\infty;+\infty\right)\)

Hướng dẫn giải

Bài 1.28 (Sách bài tập trang 20)

Hãy tìm tam giác vuông có diện tích lớn nhất nếu tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số a (a > 0) ?

Hướng dẫn giải

Gọi cạnh góc vuông là \(x\) thì cạnh huyền là \(a-x\) (điều kiện: \(0< x< a-x\Leftrightarrow0< x< \dfrac{a}{2}\)) và cạnh góc vuông kia là: \(\sqrt{\left(a-x\right)^2-x^2}\).

Diện tích tam giác vuông là:

\(S=\dfrac{1}{2}x\sqrt{\left(a-x\right)^2-x^2}=\dfrac{1}{2}x\sqrt{a^2-2ax}\)

\(S'=\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-2ax}+\dfrac{1}{2}x\dfrac{-a}{\sqrt{a^2-2ax}}\)

\(=\dfrac{1}{2}\dfrac{a^2-3ax}{\sqrt{a^2-2ax}}\)

\(S'=0\Leftrightarrow x=\dfrac{a}{3}\)

S' đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm \(\dfrac{a}{3}\) nên S đạt cực đại tại \(x=\dfrac{a}{3}\).

Khi đó diện tích tam giác vuông là:

\(S\left(\dfrac{a}{3}\right)=\dfrac{1}{2}\dfrac{a}{3}\sqrt{a^2-2a.\dfrac{a}{3}}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{18}\)

Bài 1.20 (Sách bài tập trang 19)

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau :

a) \(f\left(x\right)=-3x^2+4x-8\) trên đoạn \(\left[0;1\right]\)

b) \(f\left(x\right)=x^3+3x^2-9x-7\) trên đoạn \(\left[-4;3\right]\)

c) \(f\left(x\right)=\sqrt{25-x^2}\) trên đoạn \(\left[-4;4\right]\)

d) \(f\left(x\right)=\left|x^2-3x+2\right|\) trên đoạn \(\left[-10;10\right]\)

e) \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{\sin x}\) trên đoạn \(\left[\dfrac{\pi}{3};\dfrac{5\pi}{6}\right]\)

g) \(f\left(x\right)=2\sin x+\sin2x\) trên đoạn \(\left[0;\dfrac{3\pi}{2}\right]\)

Hướng dẫn giải

Bài 1.23 (Sách bài tập trang 20)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị  nhỏ nhất của hàm số \(f\left(x\right)=x+\dfrac{9}{x}\) trên đoạn \(\left[2;4\right]\) ?

Hướng dẫn giải

\(f'\left(x\right)=1-\dfrac{9}{x^2}\)

\(f'\left(x\right)=0\Rightarrow x=\pm3\)

\(f''\left(x\right)=\dfrac{18}{x^3}\) \(\left\{{}\begin{matrix}f''\left(3\right)>0\\f''\left(-3\right)< 0\end{matrix}\right.\) vậy f(x) đạt cực tiểu tại x=3 trong khoảng đang xét hàm liên tục [2,4]

\(f\left(3\right)=3+\dfrac{9}{3}=6\)

\(\left\{{}\begin{matrix}f\left(2\right)=2+\dfrac{9}{2}=\dfrac{13}{2}\\f\left(4\right)=4+\dfrac{9}{4}=\dfrac{25}{4}< \dfrac{13}{2}\end{matrix}\right.\)

kết luận

GTLN f(x) trên đoạn [2,4] =\(\dfrac{13}{2}\)

GTNN f(x) trên đoạn [2,4] = \(6\)

Bài 1.25 (Sách bài tập trang 20)

Cho số dương m. Hãy phân tích m thành tổng của hai số dương sao cho tích của chúng là lớn nhất ?

Hướng dẫn giải

Gọi hai số dương là \(x\) và \(m-x\) (với \(0\le x\le m\)). Ta có tích của chúng là:

\(P=x\left(m-x\right)=mx-x^2\)

\(\Rightarrow P'=m-2x\)

Ta có: \(P'=0\Leftrightarrow x=\dfrac{m}{2}\) và \(P'\) đổi dấu từ dương sang âm tại \(x=\dfrac{m}{2}\) nên P đạt giá trị cực đại tại \(x=\dfrac{m}{2}\) và giá trị cực đại là: \(P=\dfrac{m}{2}\left(m-\dfrac{m}{2}\right)=\dfrac{m^2}{4}\)

So sánh với 2 giá trị đầu mút \(P\left(0\right)=0\) và \(P\left(m\right)=0\) thì thấy P lớn nhất bằng \(\dfrac{m^2}{4}\) khi \(x=\dfrac{m}{2}\).