Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 1.37 (Sách bài tập trang 34)

Chứng minh rằng hàm số 

                        \(y=x^3-3\left(m-1\right)x^2-3\left(m+3\right)x-5\)

luôn có cực trị với mọi giá trị của \(m\in\mathbb{R}\)

Hướng dẫn giải

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Bài 1.41 (Sách bài tập trang 34)

Cho hàm số :      

                             \(y=x^3-\left(m+4\right)x^2-4x+m\)                  (1)

a) Tìm các điểm mà đồ thị của hàm số (1) đi qua với mọi giá trị của m

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị của hàm số (1) luôn luôn có cực trị

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của (1) khi m = 0

d) Xác định k để (C) cắt đường thẳng \(y=kx\) tại 3 điểm phân biệt

Hướng dẫn giải

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Bài 1.35 (Sách bài tập trang 33)

Tìm m để hàm số :

a) \(y=x^4+\left(m^2-4\right)x^2+5\) có 3 cực trị

b) \(y=\left(m-1\right)x^4-mx^2+3\) có đúng một cực trị

Hướng dẫn giải

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Bài 1.46 (Sách bài tập trang 36)

Cho hàm số :

                        \(y=\dfrac{2x+1}{2x-1}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b) Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng \(y=x+2\)

Hướng dẫn giải

a) Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{2x+1}{2x-1}\)\(y=x+2\) là nghiệm của phương trình :

\(\dfrac{2x+1}{2x-1}=x+2\Leftrightarrow\dfrac{2x+1}{2x-1}-x-2=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-2x^2-x+3}{2x-1}=0\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2x^2-x+3=0\\x\ne\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\x=-\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

Với \(x=1\) thì \(y=1+2=3;x=-\dfrac{3}{2}\) thì \(y=-\dfrac{3}{2}+2=\dfrac{1}{2}\)

Vậy tọa độ hai giao điểm là \(A\left(1;3\right),B\left(-\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)

Bài 1.34 (Sách bài tập trang 33)

Tìm m để hàm số :

a) \(y=x^3+\left(m+3\right)x^2+mx-2\) đạt cực tiểu tại \(x=1\)

b) \(y=-\dfrac{1}{3}\left(m^2+6m\right)x^3-2mx^2+3x+1\) đạt cực đại \(x=-1\)

Hướng dẫn giải

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Bài 1.47 (Sách bài tập trang 36)

Cho hàm số :

                           \(y=\dfrac{2x+1}{x-2}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng -5

 

Hướng dẫn giải

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Bài 1.48 (Sách bài tập trang 36)

Cho hàm số :

                          \(y=\dfrac{4-x}{2x+3m}\)

a) Xét tính đơn điệu của hàm số

b) Chứng minh rằng với mọi m, tiệm cận ngang của đồ thị \(\left(C_m\right)\) của hàm số đã cho luôn đi qua điểm \(B\left(-\dfrac{7}{4};-\dfrac{1}{2}\right)\)

c) Biện luận theo m số giao điểm của  \(\left(C_m\right)\)  và đường phân giác của  góc phần tư thứ nhất

d) Vẽ đồ thị của hàm số 

                              \(y=\left|\dfrac{4-x}{2x+3}\right|\)

Hướng dẫn giải

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Bài 1.43 (Sách bài tập trang 35)

Cho hàm số :

                        \(y=\dfrac{x^4}{4}-2x^2-\dfrac{9}{4}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của nó với trục \(Ox\)

c) Biện luận theo k số giao điểm của (C) với đồ thị (P) của hàm số 

                        \(y=k-2x^2\)

Hướng dẫn giải

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

\(k>-\dfrac{9}{4}:\) (C) và (P) có hai giao điểm

\(k< -\dfrac{9}{4}:\) (C) và (P) không cắt nhau

Bài 1.42 (Sách bài tập trang 35)

Cho hàm số \(y=2x^4-4x^2\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) ?

b) Với giá trị nào của m, phương trình \(x^2\left|x^2-2\right|=m\) có đúng 6 nghiệm thực phân biệt ?

Hướng dẫn giải

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Bài 1.36 (Sách bài tập trang 34)

Tìm m để hàm số :

                                \(y=\dfrac{1}{3}mx^3+mx^2+2\left(m-1\right)x-2\)

không có cực trị

Hướng dẫn giải

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Bài 1.39 (Sách bài tập trang 34)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số :

                           \(y=-x^3+3x+1\)

b) Chỉ ra phép biến hình (C) thành đồ thị (C') của hàm số

                           \(y=\left(x+1\right)^3-3x-4\)

c) Dựa vào đồ thị (C') biện luận theo m số nghiệm của phương trình 

                           \(\left(x+1\right)^3=3x+m\)

d) Viết phương trình tiếp tuyến (d) của đồ thị (C') biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng \(y=-\dfrac{x}{9}+1\)

Hướng dẫn giải

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Bài 1.32 (Sách bài tập trang 33)

Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số :

a) \(y=x^2-4x+3\)

b) \(y=2-3x-x^2\)

c) \(y=2x^3-3x^2-2\)

d) \(y=x^3-x^2+x\)

e) \(y=\dfrac{x^4}{2}-x^2+1\)

f) \(y=-x^4+2x^3+3\)

Hướng dẫn giải

1) TXĐ: \(D=R\)
2) Sự biến thiên
Giới hạn hàm số tại vô cực
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}y\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(x^2-4x+3\right)=+\infty\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}y\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(x^2-4x+3\right)=+\infty\)
Chiều biến thiên
\(y'\left(x\right)=2x-4\)
\(y'\left(x\right)=0\)\(\Leftrightarrow x=2\)
Bảng biến thiên:
TenAnh1 TenAnh1 B = (-3.8, -6.16) B = (-3.8, -6.16) B = (-3.8, -6.16) C = (11.56, -6.16) C = (11.56, -6.16) C = (11.56, -6.16) D = (-4.16, -5.98) D = (-4.16, -5.98) D = (-4.16, -5.98) E = (11.2, -5.98) E = (11.2, -5.98) E = (11.2, -5.98)
Nhận xét: hàm số nghịch biên trên khoảng \(\left(-\infty;2\right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left(2;+\infty\right)\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2\) với \(y_{CT}=-1\).
- Đồ thị hàm số
TenAnh1 TenAnh1 B = (-3.8, -6.16) B = (-3.8, -6.16) B = (-3.8, -6.16) C = (11.56, -6.16) C = (11.56, -6.16) C = (11.56, -6.16) D = (-4.16, -5.98) D = (-4.16, -5.98) D = (-4.16, -5.98) E = (11.2, -5.98) E = (11.2, -5.98) E = (11.2, -5.98) F = (-4.2, -5.86) F = (-4.2, -5.86) F = (-4.2, -5.86) G = (11.16, -5.86) G = (11.16, -5.86) G = (11.16, -5.86) x y O

Bài 1.33 (Sách bài tập trang 33)

Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số :

a) \(y=\dfrac{x-2}{x+1}\)

b) \(y=\dfrac{2x-1}{3x+2}\)

c) \(y=\dfrac{2-x}{2x-1}\)

Hướng dẫn giải

Bài 1.45 (Sách bài tập trang 35)

Cho hàm số :

                        \(y=x^4-2x^2\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x^2=-2\)

Hướng dẫn giải

b) Ta có \(y'=4x^3-4x;y\left(-2\right)=8;y'\left(-2\right)=-24\)

Phương trình tiếp tuyến phải tìm là :

\(y-y\left(-2\right)=y'\left(-1\right)\left(x+2\right)\)

\(\Leftrightarrow y-8=-24\left(x+2\right)\Leftrightarrow y=-24x-10\)

Bài 1.44 (Sách bài tập trang 35)

Cho hàm số :

                  \(y=x^4+mx^2-m-5\)

a) Xác định m để đồ thị \(\left(C_m\right)\) của hàm số đã cho có ba điểm cực trị

b) Viết phương trình tiếp tuyến của \(\left(C_{-2}\right)\) (ứng với \(m=-2\)) song song với đường thẳng \(y=24x-1\)

Hướng dẫn giải

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Bài 1.40 (Sách bài tập trang 34)

Biện luận theo k số nghiệm của phương trình :

a) \(\left(x-1\right)^2=2\left|x-k\right|\)

b) \(\left(x+1\right)^2\left(2-x\right)=k\)

Hướng dẫn giải

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Bài 1.38 (Sách bài tập trang 34)

Cho hàm số \(y=\dfrac{1}{4}x^3-\dfrac{3}{2}x^2+5\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình \(x^3-6x^2+m=0\) có 3 nghiệm phân biệt

Hướng dẫn giải

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Có thể bạn quan tâm