Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

Bài 1: Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 1.5 (Sách bài tập trang 8)

Xác định m để hàm số sau :

a) \(y=\dfrac{mx-4}{x-m}\) đồng biến trên từng khoảng xác định

b) \(y=\dfrac{-mx-5m+4}{x+m}\) nghịch biến trên từng khoảng xác định

c) \(y=-x^3+mx^2-3x+4\) nghịch biến trên \(\left(-\infty;+\infty\right)\)

d) \(y=x^3-2mx^2+12x-7\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Hướng dẫn giải

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Bài 1.10 (Sách bài tập trang 9)

Xác định giá trị của b để hàm số \(f\left(x\right)=\sin x-bx+c\) nghịch biến trên toàn trục số ?

Hướng dẫn giải

Ta có: \(f'\left(x\right)=\cos x-b\)

Để hàm số nghịch biến trên toàn trục số thì:

\(f'\left(x\right)=\cos x-b\le0,\forall x\)

\(\Leftrightarrow\cos x\le b,\forall x\)

\(\Leftrightarrow1\le b\)

Vậy điều kiện của b là \(b\ge1\)

Bài 1.6 (Sách bài tập trang 8)

Chứng minh các phương trình sau đây có nghiệm duy nhất 

a) \(3\left(\cos x-1\right)+2\sin x+6x=0\)

b) \(4x+\cos x-2\sin x-2=0\)

c) \(-x^3+x^2-3x+2=0\)

d) \(x^5+x^3-7=0\)

Hướng dẫn giải

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Bài 1.4 (Sách bài tập trang 8)

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số :

a) \(y=x-\sin x,x\in\left[0;2\pi\right]\)

b) \(y=x+2\cos x,x\in\left[\dfrac{\pi}{6};\dfrac{5\pi}{6}\right]\)

c) \(y=\sin\dfrac{1}{x},x>0\)

Hướng dẫn giải

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Bài 1.7 (Sách bài tập trang 8)

Chứng minh phương trình :

                 \(x^5-x^2-2x-1=0\)

có nghiệm duy nhất 

Hướng dẫn giải

lời giải

theo phương pháp chia nhỏ xét

\(f\left(x\right)=x^5-x^2-2x-1\)

\(f'\left(x\right)=5x^4-2x-2\)

\(f''\left(x\right)=20x^3-2\)

1) xét f'(x)

\(f''\left(x\right)=0\Rightarrow x=\sqrt[3]{\dfrac{1}{10}}\Rightarrow f'\left(x\right)\)

xét hàm f'(x) nếu có chỉ có 2 nghiệm trái dấu

f''(x) \(\left\{{}\begin{matrix}f''\left(x\right)< 0\\x\le0\end{matrix}\right.\)

Vậy điểm cực đại f(x) có hoành độ xcd<0

\(\left\{{}\begin{matrix}f'\left(-1\right)=5>0\\f'\left(0\right)=-2< 0\\f'\left(1\right)=1>0\end{matrix}\right.\) vậy f'(x) có hai nghiệm \(\left[{}\begin{matrix}x_{cđ}=\left(-1,0\right)\\x_{ct}=\left(0,1\right)\end{matrix}\right.\)

Ta lại có

\(f\left(x\right)=\dfrac{x}{5}.f'\left(x\right)-\dfrac{1}{5}\left(3x^2+8x+5\right)\)

\(\Rightarrow f\left(x_{cd}\right)=-\dfrac{1}{5}\left(x^2+8x-5\right)\)

{a-b+c=0} \(\Rightarrow f\left(x_{cd}\right)\le0..khi..\left[{}\begin{matrix}x\le-\dfrac{5}{3}\\x\ge-1\end{matrix}\right.\)

Khi \(-1< x< 0\Rightarrow f\left(cđ\right)< 0\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) có nghiệm duy nhất --> dpcm

p/s:

nếu làm tổng thể \(f\left(x_{xd}\right).f\left(x_{ct}\right)>0\) ra bậc bốn rất khó khăn trong việc giải BPT

Bài 1.1 (Sách bài tập trang 7)

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số :

a) \(y=3x^2-8x^3\)

b) \(y=16x+2x^2-\dfrac{16}{3}x^3-x^4\)

c) \(y=x^3-6x^2+9x\)

d) \(y=x^4+8x^2+5\)

Hướng dẫn giải

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Bài 1.2 (Sách bài tập trang 7)

Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số

a) \(y=\dfrac{3-2x}{x+7}\)

b) \(y=\dfrac{1}{\left(x-5\right)^2}\)

c) \(y=\dfrac{2x}{x^2-9}\)

d) \(y=\dfrac{x^4+48}{x}\)

e) \(y=\dfrac{x^2-2x+3}{x+1}\)

g) \(y=\dfrac{x^2-5x+3}{x-2}\)

Hướng dẫn giải

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Bài 1.8 (Sách bài tập trang 8)

Chứng minh các bất đẳng thức sau :

a) \(\tan x>\sin x;0< x< \dfrac{\pi}{2}\)

b) \(1+\dfrac{1}{2}x-\dfrac{x^2}{8}< \sqrt{1+x}< 1+\dfrac{1}{2}x\) với \(0< x< +\infty\)

Hướng dẫn giải

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm sốỨng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Bài 1.3 (Sách bài tập trang 8)

Xét tính đơn điệu của các hàm số :

a) \(y=\sqrt{25-x^2}\)

b) \(y=\dfrac{\sqrt{x}}{x+100}\)

c) \(y=\dfrac{x}{\sqrt{16-x^2}}\)

d) \(y=\dfrac{x^3}{\sqrt{x^2-6}}\)

Hướng dẫn giải

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Bài 1.9 (Sách bài tập trang 9)

Chứng minh rằng phương trình :

                            \(x^3-3x+c=0\)

không thể có hai nghiệm thực trong đoạn \(\left[0;1\right]\)

Hướng dẫn giải

Xét hàm số vế trái \(f\left(x\right)=x^3-3x+c\)

Ta có: \(f'\left(x\right)=3x^2-3=3\left(x^2-1\right)\)

Hàm số liên tục trên toàn trục số và trên khoảng (0;1) thì \(f'\left(x\right)< 0\) nên hàm số nghịch biến trên [0;1]. Vậy phương trình f(x)=0 không thể có hai nghiệm trên [0; 1].

Có thể bạn quan tâm