Đại số 11 Chương III. §1. Phương pháp quy nạp toán học (1)

Chào mừngChào mừng Th cô giáo các em sinh .ầ ọTh cô giáo các em sinh .ầ ọChuyện cổ tích•Ngày xưa có một bà tiên phúc hậu đến thăm một làng nghèo nằm cheo leo trên núi …D ÃY NG ỘVÀ NHÂNẤ 1111§1: PH NG PHÁP QUI TOÁN CƯƠ ỌCh ng ươ III§ 2: d·y sè§ 3: cÊp sè céng§ 4: cÊp sè nh©nXét nh ch bi P(n):”3 100” vµ Q(n): ”2 n” víi N* a. 1, 2, 3, 4, thì P(n), Q(n) đúng hay sai?ớb. N* thì P(n), Q(n) đúng hay sai?Tr i:ả ờa. P(n) Q(n) n+100123453 nn n123452nb. N* P(n) sai; Q(n) ch th kh ng đnh ch ch n.ư 392781243 101102103104105 281632 543214 ViÖc chøng tá cho Q(n) ®óng víi mäi sè tù nhiªn N* b»ng c¸ch thö víi sè gi¸ trÞ cña n“cho dï lµm îc víi sè îng lín” còng kh«ng thÓ îc coi lµ CM h¬n n÷a tËp sè tù nhiªn lµ v« h¹n nªn viÖc thö lµ kh«ng thÓ thùc hiÖn îc.Ch ng III: ươ DÃY NG VÀ NHÂNỐ §1: PH NG PHÁP QUI TOÁN CƯƠ Ọ1. Phương pháp qui nạp toán học§Ó chøng minh nh÷ng mÖnh ®Ò liªn quan ®Õn sè tù nhiªn nnN* N* lµ ®óng víi mäi ta lµm nh sau:lµ ®óng víi mäi ta lµm nh sau:1n B1 Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1B2 .Giả sử mệnh đề đúng với Giả thiết qui nạp-GTQN .Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1 KL mệnh đề đúng với mọimọi nN*.N*.2. Ví dụ áp dụng:Ví 1ụVí 1ụ: Ch ng minh ng nứ ọ: Ch ng minh ng nứ ọN*, ta có: N*, ta có: 1)1 ... (1)2n nn  L­u­ý NÕu íc sai thi ta kÕt luËn mÖnh dÒ cÇn c/m lµ sai.Ví 1ụVí 1ụ: Ch ng minh ng nứ ọ: Ch ng minh ng nứ ọN*, ta có: N*, ta có: 1)1 ... (1)2n nn  L gi i:ờ ả+) 1, ta có ,ớ đẳng th (1) đúng .1(1 1)VT(1) VP(1)2 +) Gi (1) đúng 1, nghĩa là ớ( GTQN 1)1 ...2k kk  Ta ph ch ng minh (1) đúng 1, là ph ch ng minh:ớ ứ( 1)[( 1) 1]1 ... 1) (2)2k kk k  Th y:ậ ậ(2) (1 ... 1)VT k ( 1)( 1)2k kk ( 1) 1) 12k k (2)VPV nậ  N*, ta có: 1)1 ... (1)2n nn  Xét nh ch bi Q(n): 3n 1” víi N*a. 1, 2, 3, 4, thì Q(n) đúng hay sai?ớb. N* thì Q(n) đúng hay sai?Tr i:ả ờa. Q(n) 3n+1123453 nb. N*, Q(n) sai. 392781243 47101316c. Dù ®o¸n2, 1nn n cãc. Dự đoán kết quả tổng quát của Q(n) vµ c/m b»ng ph ¬ng ph¸p quy n¹pCM :§1: PH NG PHÁP QUI TOÁN CƯƠ Ọ1. Phương pháp qui nạp toán học Chó §Ó chøng minh mÖnh ®Ò lµ ®óng víi mäi sè tù nhiªn lµ mét sè tù nhiªn) thì B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với pB2: Giả sử mệnh đề đúng với Giả thiết qui nạp GTQN )Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n= k+12. Ví dụ áp dụng:HO ĐNG NHÓMẠ ỘHO ĐNG NHÓMẠ Ộ: 2, 1nn n CMR cãCMR: N* cã 2n n(n+1) (1)CMR: N* cã un chia hÕt cho (2)Giaûi Vôùi =1, ta coù VT=VP 2. Vaâïy (1) ñuùng vôùi n=1. Giaû söû (1) ñuùng vôùi töùc laø +. .+ 2k (2) GT quy naïp Ta phaûi cmr (1) cuõng ñuùng vôùi +1, töùc laø +. .+ 2k 2(k +1) (3) Thaät vaäy, töø (2) ta coù VT(3) 2+ 4+ +. .+ 2k 2(k+1) k(k+1) 2(k +1) (k+1)(k+2)=VP(3)•Vaäy heä thöùc (1) ñuùng vôùi moïi soá N*.k(k+1)(k+1)(k+2)CMR: N* cã 2n n(n+1) (1)Với ta có: u1 chia hÕt cho (Mệnh đề (2) đúng)Gi mệnh đề (2) đúng k≥ 1, nghĩa là: uớk chia hÕt cho 3Ta ph c/m (2) đúng k+ 1, là :uả ứk +1 =(k+1) (k+1) chia hÕt cho 3Thật vậy:V nậ  N*, ta có: un chia hÕt cho Uk +1 =(k+1) (k+1) 3k 3k =(k k) +3(k k) =uk 3(k k) chia hÕt cho CMR: N* cã un chia hÕt cho (2)