Toán hình 11: Phép quay

PHÉP QUAY A. LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa. Trong mặt phẳng cho điểm O cố định và góc lượng giác không đổi. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M sao cho OM OM và OM ,OM được gọi là phép quay tâm O góc quay . Kí hiệu: Q O, ( O là tâm phép quay, OM Q M M là góc quay lượng giác). OM OM ,OM O, Nhận xét: Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường tròn lượng giác (chiều kim đồng hồ). Với k ta luôn có: Phép quay: Q O ,2k là phép đồng nhất; Q O , 2 k 1 là phép đối xứng tâm. 90 Học thuộc: y x x y 2. Tính chất. Tính chất 1: Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Tính chất 2: Phép quay biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự. Tính chất 3: Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. Nhận xét: Gọi Q là góc của phép quay biến đường thẳng d thành đường thẳng d : d dGóc d , dnếu 0 O, 3. Biểu thức tọa độ của phép quay Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy , xét phép quay Q I , ; góc d , dnếu 2 . 2 Trường hợp 1: Khi tâm quay I trùng với gốc tọa độ O. Đặt OM r và góc Ox ,OMgóc Ox ,OM x r cos M: y r sin x x cos ysin 1 Hay M : y x sin y cos M x ; yM x , y Nếu Q thì M : I, x x cos y sin 2 y x sin y cos Chú ý: Nếu 90 x y y x x 90 Nếu y x x x Nếu 180 y y y Trường hợp 2: Khi tâm quay I x0 ; y0 . Ta có: x x x x cosy y 0 y y0 3 x x cosy y 0 y y0 sin siny y0 cos x x0 x x 0 0 0 x x0 siny y0 cos sin 0 4 B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP QUAY DẠNG 1: KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG PHÉP QUAY Phương pháp chung: Sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của phép quay. Xác định ảnh của một điểm, một hình qua phép quay. Tìm quỹ tích điểm thông qua phép quay. Các yếu tố liên quan đến phép quay là tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông… từ đó ứng dụng phép quay để giải các bài toán hình học khác. Ví dụ 1: Giả sử Q O, M M , Q O, N N . Khi đó mệnh đề nào sau đây sai? A. OM ,OM. B. MON MON . C. MN MN . . D. MON M ON Lời giải: ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Ví dụ 2: Có bao nhiêu điểm biến thành chính nó qua phép quay tâm O , góc quay k2,k . A. Không có. B. Một. C. Hai. Lời giải: D. Vô số. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Ví dụ 3: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O, góc quay , biến hình chữ nhật thành chính nó? A. Không có. B. Một. C. Hai. D. Vô số. Lời giải: ,0 2 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Ví dụ 4: Cho tam giác đều ABC có tâm O. Phép quay tâm O, góc quay nó thì góc quay là góc nào sau đây: A. . B. 2 . C. 3 . 3 3 2 biến tam giác đều thành chính D. . 2 Lời giải: ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Ví dụ 5: Chọn 12 giờ làm mốc, khi kim giờ chỉ một giờ đúng thì kim phút đã quay được một góc bao nhiêu độ? A. 360 . B. 360 . C. 180 . D. 720 . Lời giải: ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Ví dụ 6: Trong các chữ cái và số sau, dãy các chữ cái và số khi ta thực hiện phép quay tâm A , góc quay 180 thì ta được một phép đồng nhất ( A là tâm đối xứng của các chữ cái hoặc số đó). A. X , L,6,1,U . B. O, Z,V ,9,5. C. X , I,O,8,S . D. H, J,K,4,8. Lời giải: ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Ví dụ 7: Cho hình vuông ABCD tâm O, M là trung điểm của AB , N là trung điểm của OA. Tìm ảnh của tam giác AMN qua phép quay tâm O góc quay 90 . A. với M , N lần lượt là trung điểm của BC,OB . BM N B. với M , N lần lượt là trung điểm của BC,OC . CM N C. với M , N lần lượt là trung điểm của DC,OD . DM N D. DM N với M , N lần lượt là trung điểm của AD ,OD . Lời giải: ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Ví dụ 8: Gọi I là tâm đối xứng của các hình A, B , C , D . Khi thực hiện phép quay tâm I góc quay 180 thì hình nào luôn được phép đồng nhất? A. B. C. Lời giải: D. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Ví dụ 9: Cho hình vuông ABCD có cạnh 2 và có các đỉnh vẽ theo chiều dương. Các đường chéo cắt nhau tại I . Trên cạnh BC lấy BJ 1. Xác định phép biến đổi AI thành BJ biết O là tâm quay. A. BJ Q AI . B. BJ Q O,45 C. BJ Q AI . O, 45 AI . D. BJ Q O,135 AI . O, 135 Lời giải: ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Ví dụ 10: Cho đường thẳng d và điểm O cố định không thuộc d , M là điểm di động trên d . Tìm tập hợp điểm N sao cho tam giác MON đều. A. N chạy trên d là ảnh của d qua phép quay Q . d'' O,60 B. N chạy trên d là ảnh của d qua phép quay Q . - 60 O 0 O, 60 C. N chạy trên d Q O,60 và Q O, 60 và d lần lượt là ảnh của d qua phép quay d' M . 600 N 1 D. N là ảnh của O qua phép quay Q O,60 . ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. DẠNG 2. Xác định ảnh của điểm, đường thẳng qua phép quay bằng phương pháp tọa độ Phương pháp chung: 1.Xác định ảnh của một điểm qua phép quay. - Sử dụng biểu thức tọa độ trong các biểu thức đã nêu. 2. Xác định ảnh ' của đường thẳng qua phép quay. Cách 1: Chọn hai điểm A, B phân biệt trên , Xác định ảnh A ', B ' tương ứng. Đường thẳng ' cần tìm là đường thẳng qua hai ảnh A ', B ' . Cách 2: Áp dụng tính chất phép quay Q O, biến đường thẳng thành đường thẳng ' có góc , ' hoặc (đơn vị radian) Cách 3: Sử dụng quỹ tích - Với mọi điểm M x; y : Q O, M M ' x '; y' thì M ' ' - Từ biểu thức tọa độ rút x, y thế vào phương trình đường thẳng ta được phương trình ảnh ' 3. Xác định ảnh của một hình H (đường tròn, elip, parabol…) - Sử dụng quỹ tích: Với mọi điểm M x; y thuộc hình H , Q O, M M ' x '; y ' thì M ' x '; y ' thuộc ảnh H' của hình H . - Với đường tròn áp dụng tính chất phép quay biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính hoặc sử dụng quỹ tích. Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , Qua phép quay tâm O , góc quay 900 biến điểm M thành điểm nào? A. 3;4 B. 5;3 . C.5;3. Lời giải: D. 3;5 3;5. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm M 1;1 . Hỏi điểm nào sau đây là ảnh của điểm M qua phép quay tâm O 0;0 A. M' 0; . 2 , góc quay 450 ? B. M' 2;0 . C. M' 0;1 . D.M'1; 1. Lời giải: ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. d' Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d có phương trình 5 x 3 y 15 0 . Tìm ảnh d’ của d qua phép quay Q O,900 với O là gốc tọa độ. ? A. 5 x 3 y 6 0 . B. 3 x 5 y 15 0 . C. 5 x y 7 0. D. 3 x 5 y 7 0 . Lời giải: A' B' d O A B ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa C:x2 độ y2 2x 4y 4 0 Oxy , viết phương trình đường tròn C’ là ảnh của . qua phép quay Q O, 2 A. x 2 2 C. x 2 32 y 1 2 y 1 9. B. x 2 2 y 1 2 9. 9. D. x 1 2 y 22 9. 2 Lời giải: ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho các điểm A 2;3 , A’ 1;5 và B 5; 3 , B’ 7; 2 . Phép quay tâm I x; y biến A thành A’ và B thành B’ , ta có x y bằng: A. 1. B. 2 D. 3 C. 1 Lời giải: ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG DẠNG 1: KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP QUAY Câu 1: Câu 2: Câu 3: Cho 2 đường thẳng bất kì d và d’ . Có bao nhiêu phép quay biến đường thẳng d thành đường thẳng d’ ? A. không có phép nào. B. có 1 phép duy nhất. C. chỉ có 2 phép. D. có vô số phép. Cho hình vuông tâm O. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc , 02 biến hình vuông thành chính nó ? C.3 . D. 4. A.1 . B.2 . Gọi d’ là hình ảnh của d qua tâm I góc quay (biết I không nằm trên d ), đường thẳng d’ song với d khi: A. . Câu 4: B. . 3 6 Cho hai đường tròn cùng bán kính O 90 biến hình tròn O thành O ' ? A.0. B.1 . Câu 5: Cho hình lục giác đều Câu 6: 2 C. . D.. 3 và O ' tiếp xúc ngoài nhau. Có bao nhiêu phép quay góc C.2 . ABCDE tâm O . Tìm ảnh của tam giác D. Vô số. AOF qua phép quay tâm O góc quay 1200 . A. OAB . B. BOC . C. DOC . D. EOD . Chọn 12 giờ làm mốc, khi đồng hồ chỉ năm giờ đúng thì kim giờ đã quay được một góc bao nhiêu độ ? Câu 7: A. 2700 . Cho hai đường thẳng 1 2 1200 . A , B. 3600 . và 2 biết Q O; 1200 1 B. // 2 . C. 1500 . D. 1350 . 12 . Mệnh đề nào sau đây đúng ? 2 C. , 1 1200 . 2 D. , 1 600 . 1 Câu 8: Cho hai điểm phân biệt A, B và Q A;300 B C . Mệnh đề nào sau đây đúng ? Câu 9: A. ABC 300 . B. ABC 900 . Cho hai điểm phân biệt I , M và Q I; 32 C. ABC 450 . D. ABC 750 . M N . Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. M là trung điểm của đoạn IN . B. N là trung điểm của đoạn IM . C. I là trung điểm của đoạn MN . D.M N. Câu 10: Cho ABC đều (thứ tự các đỉnh theo chiều dương lượng giác). Kết luận nào sau đây sai ? B C. A. Q A, C B. B. Q A, 3 7 C. Q A, 3 C B. 7 D. Q A, 3 A C. 3 Câu 11: Gọi I là tâm hình vuông ABCD (thứ tự các đỉnh theo chiều dương lượng giác). Kết luận nào sau đây sai ? A. Q IBC ICD . B. Q I ,900 C. Q IBC IAB . I, 900 IBC IDA. D. Q IBC IDA . I ,1800 I ,3600 Câu 12: Gọi I là tâm ngũ giác đều ABCDE (thứ tự các đỉnh theo chiều dương lượng giác). Kết luận nào sau đây là sai ? A. Q CD EA . B. Q I,1440 AB BC . I,720 C. Q AB DE . D. Q I,1440 CD BC . I,720 Câu 13: Gọi I là tâm lục giác đều ABCDEF (thứ tự các đỉnh theo chiều dương lượng giác). Kết luận nào sau đây là sai ? A. Q IED IBA. B. Q I , 1200 C. Q IAB IBC . I, 600 AB BC . I,600 D. Q ICD IFA. I ,1800 Câu 14: Cho hai tam giác vuông cân OAB và OA’B’ có chung đỉnh O sao cho O nằm trên đoạn AB’ và nằm ngoài đoạn thẳng A’ B . Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm các tam giác OAA’ và OBB’. Xác định dạng của tam giác GOG’ C. vuông cân. D. đều. A. cân. B. vuông. Câu 15: Cho 3 điểm A , B , C , điểm B nằm giữa A và C . Dựng về phía đường thẳng AC các tam giác đều ABE và BCF . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AF và EC . Xác định dạng của BMN . A. cân. B. vuông. C. vuông cân. D. đều. Câu 16: Cho đường thẳng d và điểm O cố định không thuộc d . M là điểm di động trên d . Xác định quỹ tích điểm N sao cho OMN đều. A. N d với d Q O,60 d . B. N d với d Q O,180 d . d. d. C. N d với d Q D. N d với d Q O,120 O, 120 Câu 17: Cho hình vuông ABCD , M BC , K DC sao cho BAM MAK . Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng ? A.AD AK KD. B. AB AM DK. C. AK BM KD. D. AM BM AB. Câu 18: Cho ABC . Dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông BCIJ , ACMN . Gọi O , P lần lượt là tâm đối xứng của chúng, D là trung điểm của AB . Xác định dạng của DOP . A. cân . B. vuông. C. vuông cân. D. đều. DẠNG 2: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA ĐIỂM, ĐƯỜNG QUA PHÉP QUAY BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ Câu 19: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A x; y . Biểu thức tọa độ của điểm A ' Q O,900 x' y . x' y A. . y' x y' x Câu 20: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A x; y x' y A. . B. x' y . y' x y' x Câu 21: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A x; y x ' x cos y sin . x' y B. x' y C. C. x' y . D. x' y A là: x ' x cos y sin . D. y ' x sin y cos . y ' x sin y cos x ' x cos y sin . y ' x cos y sin Câu 22: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A 4;1 . Biểu thức tọa độ của điểm A ' Q O, 900 A.A 1;4. B.A1;4. C.A4; 1. Câu 23: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A x; y 1 x' 2 3 x A. 2 y 1 x' x 2 B. . 3 3 2 3 . Biểu thức tọa độ của điểm A ' Q O,600 y 1 x' 2 3 x 2 x' D. . 1 y 3 A. 12. B. 8. C. 16. Câu 25: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d d d' 3 là: y . 1 3 2 1 x2y . Khi đó với x B . xC .xD bằng: B xB ; yB , C xC ; yC , D xD ; yD thì 0 A 1 x 22 x 2y y' x 2y y' y' 2 x 2 y 2 2 Câu 24: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD tâm I 1; 2 , biết điểm A 4;5 Q là: A D.A 4;1. C. . 1 y' A là: . y' x y' x . Biểu thức tọa độ của điểm A ' Q O, B. C. . D. y' x y' x . Biểu thức tọa độ của điểm A ' Q O, 900 . A. y ' x sin y cos x ' x sin y cos là: A D. 32. : x y 1 0 , điểm I 1; 2 , phép quay . Xác định phương trình đường thẳng d . O,90 A. x y 2 0 . B. x y 1 0 . C. x y 3 0 . Câu 26: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A 0;3 . Tìm tọa độ điểm A’ Q D. x y 3 0 . là ảnh của A qua phép quay . O, 450 1 3 A. A' . ; 31 B. A' ; . C. A' 3 1 ; . 3 3 D. A' ; . 2 2 44 2 2 2 2 Câu 27: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm phép quay Q biến điểm A 1;5 thành điểm A' 5;1 A. Q B. Q A A'. O, 900 A A'. C. Q A A'. O,1800 O,900 D. Q A A'. O, 2700 Câu 28: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho phép quay tâm O góc quay biến điểm M x; y 1 M' 3 x y; 2 2 A. . 3 2 1 x y . Tìm . 2 2 B. . 63 Câu 29: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho I 2;1 Q I ,45 0 thành điểm 3 . D. . 3 4 và đường thẳng d : 2 x 3 y 4 0 . Tìm ảnh của d qua C. A. x 5 y 2 3 2 0 . B. x 5 y 3 10 2 0 . C. x 5y 3 D. x 5y 3 11 20. 20. Câu 30: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn C : x 2 y 2 6 x 5 0 . Tìm ảnh đường tròn C của C qua Q . O,900 A. x 2 y 32 4. B. C : x 2 y 2 6 y 6 0. C. x 2 y 32 4. D. C : x 2 Câu 31: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho phép quay tâm O y2 6x 5 0. 0 góc quay 450 Q . Tìm ảnh của đường O,45 tròn C : x 1 2 y2 4. 2 A. x 2 2 y 2 2 2 B. x 4. 2 2 C. x 2 2 2 2 y 2 4. 2 2 y 2 2 D. x 2 y 2 4. 2x 2y 2 0 . 2 Câu 32: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , viết phương trình các cạnh AB , BC của ABC biết A 1; 2 , B 3;4 và cos A 2 ,cos B 3 . 5 10 A. AC : x y 1 0, BC : x y 5 0 . C. AC :3 x y 1 0, BC : x 2 y 5 0 . B. AC :3 x y 2 0, BC : x 2 y 3 0 . D. AC :3 x y 4 0, BC : x 2 y 2 0 .