ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

A. CHUẨN KIẾN THỨC

A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.

1. Các tính chất thừa nhận.

Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.

Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt cùng thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

Có bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.

Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa. Vậy thì: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy. Đường thẳng đó được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng .

Trên mỗi mặt phẳng các, kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.

2. Cách xác định mặt phẳng.

Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết:

Nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.

Nó đi qua một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó.

Nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.

Các kí hiệu:

ABC là kí hiệu mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng A,B,C ( h1)

M,d là kí hiệu mặt phẳng đi qua d và điểm M d (h2)

- d ₁ ,d₂	là kí hiệu mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau d ₁ ,d₂ (h3)
A	C	M		d2
		d
			α	d1
α	B
		α		(h3)
(h1)		(h2)

3. Hình chóp và hình tứ diện.

3.1. Hình chóp.

Trong mặt phẳng α cho đa giác lồi A ₁A ₂ ...A_n . Lấy điểm S nằm ngoài α .

Lần lượt nối S với các đỉnh A ₁ ,A ₂ ,...,A_n ta được n tam giác SA ₁ A ₂ ,SA ₂ A ₃ ,...,SA _n A₁ . Hình gồm đa giác A ₁A ₂ ...A_n và n tam giác SA ₁ A ₂ ,SA ₂ A ₃ ,...,SA _n A₁ được gọi là hình chóp , kí hiệu là S.A ₁ A ₂ ...A_n .

Ta gọi S là đỉnh, đa giác A ₁ A ₂ ...A_n là đáy , các đoạn SA ₁ ,SA ₂ ,...,SA_n là các cạnh bên,

A ₁ A ₂ ,A ₂ A ₃ ,...,A _n A₁ là các cạnh đáy, các tam giác SA ₁ A ₂ ,SA ₂ A ₃ ,...,SA _n A₁ là các mặt bên…

3.2. Hình Tứ diện

Cho bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC,ABD,

ACD và BCD được gọi là tứ diện ABCD .

B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.

Bài toán 01: XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG.

Phương pháp:

Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung của chúng. Đường thẳng đi qua hai điểm chung đó là giao tuyến.

Lưu ý: Điểm chung của hai mặt phẳng α và β thường được tìm như sau :

γ

Tìm hai đường thẳng a, b lần lượt thuộc α và β , đồng thời chúng cùng	β	b

nằm trong mặt phẳng γ nào đó; giao điểm M a b chính là điểm

A a

chung của α và β .

α

Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song, điểm

thuộc cạnh SA . Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng :

a) SAC và SBD	b) SAC và MBD
c) MBC và SAD	d) SAB và SCD	e) (SAD) và (SBC).

Lời giải.

…………………………………………………………………………………………………………

Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD , O là một điểm thuộc miền trong tam giác BCD , M là điểm trên đoạn

AO

Tìm giao tuyến của mặt phẳng MCD với các mặt phẳng ABC , ABD .

Gọi I,J là các điểm tương ứng trên các cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với CD . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng IJM và ACD .

Lời giải.

…………………………………………………………………………………………………………

Bài toán 02: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG – BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI

Phương pháp:

Để chứng minh ba điểm ( hay nhiều điểm) thẳng hàng ta chứng minh chúng là điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt, khi đó chúng nằm trên đường thẳng giao tuyên của hai mặt phẳng nên thẳng hàng.

Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui ta chứng minh giao điểm của hai đường thẳng thuộc

đường đường thẳng còn lại.

Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho tứ diện SABC . Trên SA,SB và SC lấy các điểm D,E và F sao cho DE cắt AB tại I , EF cắt BC tại J , FD cắt CA tại K .

Chứng minh ba điểm I,J,K thẳng hàng.

Lời giải.

…………………………………………………………………………………………………………

Ví dụ 2. Cho tứ diện SABC có D,E lần lượt là trung điểm của AC,BC và G là trọng tâm của tam giác

ABC . Mặt phẳng α đi qua AC cắt SE,SB lần lượt tại M,N . Một mặt phẳng β đi qua BC cắt

SD,SA tương ứng tại P và Q .

Gọi I AM DN,J BP EQ . Chứng minh S,I,J,G thẳng hàng.

Giả sử K AN DM,L BQ EP . Chứng minh S,K,L thẳng hàng.

Lời giải.

…………………………………………………………………………………………………………

P lấy

Ví dụ 3. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Một mặt phẳng α cắt các cạnh bên SA,SB,SC,SD tưng ứng tại các điểm M,N,P,Q . Chứng minh các đường thẳng MP,NQ,SO đồng qui.

Lời giải.

…………………………………………………………………………………………………………

Ví dụ 4. Cho hai mặt phẳng P và Q cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng a . Trong

hai điểm A,B nhưng không thuộc a và S là một điểm không thuộc P . Các đường thẳng SA,SB cắt Q tương ứng tại các điểm C,D . Gọi E là giao điểm của AB và a .Chứng minh AB,CD và a đồng qui.

Lời giải.

…………………………………………………………………………………………………………

Bài toán 03: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG.

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức Để tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng

tọa độ của phép tịnh tiến.

P ta cần lưu ý một số trường hợp sau:

Trường hợp 1. Nếu trong P có sẵn một đường thẳng d' cắt d tại M , khi đó

M d	M d
		M d P	P
		M d P	P
M d' P	M P

Trường hợp 2. Nếu trong P chưa có sẵn d' cắt d thì ta thực hiện
theo các bước sau:
Bước 1: Chọn một mặt phẳng Q chứa d	Q
Bước 1: Chọn một mặt phẳng Q chứa d

Bước 2: Tìm giao tuyến Δ P Q

Bước 3: Trong Q gọi M d Δ thì M chính là giao điểm của d P .

d

d'

M

Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với đáy ABCD có các cạnh đối diện không song song với nhau và M là một điểm trên cạnh SA .

Tìm giao điểm của đường thẳng SB với mặt phẳng MCD .

Tìm giao điểm của đường thẳng MC và mặt phẳng SBD .

Lời giải.

…………………………………………………………………………………………………………

S.A ₁ A ₂ ...A_n

Ví dụ 2. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , M là một điểm trên cạnh SC , N là trên cạnh BC . Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng AMN .

Lời giải.

…………………………………………………………………………………………………………

Bài toán 04: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA MỘT MẶT PHẲNG VỚI HÌNH CHÓP.

Phương pháp:

Để xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng α , ta tìm giao điểm của mặt

phẳng α với các đường thẳng chứa các cạnh của hình chóp. Thiết diện là đa giác có đỉnh là các giao điểm của α với hình chóp ( và mỗi cạnh của thiết diện phải là một đoạn giao tuyến với một mặt của hình chóp)

Trong phần này chúng ta chỉ xét thiết diện của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , có đáy là hình thang với AD là đáy lớn và P là một điểm trên cạnh SD .

a) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (PAB) .

b) Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi

MNP .

Lời giải.

…………………………………………………………………………………………………………

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành tâm O . Gọi M,N,P là ba điểm trên các cạnh AD,CD,SO . Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP) .

Lời giải.

…………………………………………………………………………………………………………

Bài toán 05: DỰNG ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM VÀ CẮT HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU.

Phương pháp:

Để dựng đường thẳng d đi qua O và cắt d ₁ ,d₂ ta dựng giao tuyến của hai mặt phẳng mp O,d₁ và

mp O,d₂ , khi đó d mp O,d ₁ mp O,d₂ .

Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD , O là điểm huộc miền trong tam giác BCD , M là một điểm trên cạnh

AB .

Dựng đường thẳng đi qua M cắt cả AO và CD .

Gọi N là mộtđiểm trên cạnh BC sao cho ON không song song với BD . Dựng đường thẳng đi qua N cắt AO và DM .

Lời giải.

a) Trong BCD gọi P BO CD

Trong ABN gọi I PM AO

Đường thẳng MP chính là đường thẳng đi qua M cắt cả AO

B

b) Trong mặt phẳng BCD gọi E NO BD

A

M

và CD .

I

D

O _P

C

Trong ABD gọi G MD AE , trong NAE gọi F AO NG , thì NG chính là	đường
thẳng đi qua	A
thẳng đi qua
N cắt cả AO và DM .	M
	G
B	F
B		D
	E	D
	E
	O
N
	C

Bài toán 06: TÌM TẬP HỢP GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG VÀ BÀI TOÁN CHỨNG MINH GIAO TUYẾN ĐI QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH.

Phương pháp:

Để tìm tập hợp giao điểm I của hai đường thẳng thay đổi a,b ta chọn hai mặt phẳng cố định α và β cắt nhau lần lượt chứa a,b , khi đó

β

I a α

I a b

I b β

I d α β

a

d

I

Vậy điểm I thuộc giao tuyến của hai	b
Vậy điểm I thuộc giao tuyến của hai	mặt phẳng α và
β .	α

Để chứng minh đường thẳng d đi qua một điểm cố định ta thực hiện theo các bước sau

Chọn một điểm cố định J thuộc hai mặt phẳng δ và γ

Chứng minh d là giao tuyến của hai mặt phẳng δ và γ , khi đó d đi qua điểm cố định J .

Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn là AB . Một mặt phẳng P quay quanh AB cắt các cạnh SC,SD tại các điểm tương ứng E,F .

Tìm tập hợp giao điểm I của AF và BE .

Tìm tập hợp giao điểm J của AE và BF .

Lời giải.

a) Phần thuận:

I AF
I AF	AF SAD
Ta có I AF BE	,
I BE	BE SBC

F SAD SBC .

H AD

Trong ABCD gọi H AD BC

H BC

H SAD

.

H SBC

SH SAD SBC I SH .

S

I

F _E

J

A

B

O

C

H

Giới hạn:

Khi E chạy đến C thì F chạy đến D và I chạy đến H .

Khi E chạy đến S thì F chạy đến S và I chạy đến S .

Phần đảo:

Lấy điểm I bất kì thuộc đoạn SH , trong SAH gọi F SD AI , trong SBH gọi E SH BI

ABEF là mặt phẳng quay quanh AB cắt các cạnh SC,SD tại E,F và I là giao điểm của AF

Vậy tập hợp điểm I là đoạn SH .

J AE	J SAC
b) Ta có J AE BF		J SAC SBD Nhưng SO SAC SBD nên
J BF	J SBD
Khi E chạy đến chạy đến C thì F chạy đến D và J chạy đến O .
Khi E chạy đến S thì F chạy đến S và J		chạy đến S .

Lập luận tương tự trên ta có tập hợp điểm J là đoạn SO .

khi đó và BE .

J SO.

Ví dụ 2. Cho tứ diện ABDC . Hai điểm M,N lần lượt nằm trên hai cạnh AB và AC sao cho

^AM ^AN. Một mặt phẳng P thay đổi luôn chứa MN , cắt các cạnh CD và BD lần lượt tại E và F .

AB AC

Chứng minh EF luôn đi qua một điểm cố định.

Tìm tập hợp giao điểm I của ME và NF .

Tìm tập hợp giao điểm J của MF và NE .

Lời giải.

J

K MN	K MNP
a) Trong ABC gọi K MN BC thì K cố định và
K BC	K BCD

Lại có EF P BCD K EF Vậy EF luôn đi qua điểm K cố định

A

M

F ^D

^B I

O _N

E

C

K

Phần thuận:

I ME MCD

Trong P gọi I ME NF

I NF NBD

I MCD NBD .

Gọi O CM BN OD MCD NBD I OD

Giới hạn:

Khi E chạy đến C thì F chạy đến B và I chạy đến O Khi Khi E chạy đến D thì F chạy đến D và I chạy đến D

Phần đảo:

Gọi I là điểm bất kì trên đoạn OD , trong MCD gọi E MI CD , trong NBD gọi F NI BD suy ra MNEF là mặt phẳng quay quanh MN căt các cạnh DB, DC tại các điểm E,F và I ME NF .

Vậy tập hợp điểm I là đoạn OD .

J MF ADB

c) Gọi J MF NE J ADB ACD .

J NE ACD

Mà AD ADC ADB .

BP 3PD .

Khi E chạy đến C thì F chạy đến B và J chạy đến A Khi Khi E chạy đến D thì F chạy đến D và I chạy đến D

Từ đó ta có tập hợp điểm J là đường thẳng AD trừ các điểm trong của đoạn AD .

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Cho tứ diện ABCD . Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AD và BC . a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng MBC và NAD

b) Gọi E,F là các điểm lần lượt trên các cạnh AB và AC . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng MBC và DEF .

2. Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác ABCD , AB cắt CD tại E , hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại F . Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng :

SAB và SCD ; SAC và SBD .

SEF với các mặt phẳng SAD và SBC .

3. Cho tứ diện ABCD , M là một điểm thuộc miền trong tam giác ABD , N một điểm thuộc miền trong tam giác ACD . Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng :

BCD và AMN .

ABC và DMN .

Cho tứ diện ABCD . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AC và BC . Trên đoạn BD lấy điểm P

sao cho

Tìm giao điểm của đường thẳng CD với mặt phẳng MNP .

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ABD và MNP .

5. Cho hình chóp S.ABCD , M và N là các điểm lần lượt trên các cạnh SC,BC .

Tìm giao điểm của AM với SBD .

Tìm giao điểm của SD với SMN .

6. Trong mặt phẳng α cho hai đường thẳng d và d' cắt nhau tại O , A, B là hai điểm nằm ngoài α sao cho AB cắt α với α . Một mặt phẳng β quay quanh AB cắt d và d' lần lượt tại M,N .

Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định.

Gọi I AM BN , chứng minh I thuộc một đường thẳng cố định.

Gọi J AN BM , chứng minh J thuộc một đường thẳng cố định.

Chứng minh IJ đi qua một điểm cố định.

7. Cho tứ diện ABCD . Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AC và BC . Trên cạnh BD lấy điểm K sao

cho BK 2KD .

Xác định giao điểm E của đường thẳng CD với IJK và chứng minh DE DC .

Xác định giao điểm F của đương thẳng AD với IJK và chứng minh FA 2FD .

Chứng minh FK AB .

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC .

a) Tìm giao điểm E của AM với SBD . Tính ^EM .

EA

b) Tìm giao điểm F của SD với MAB và chứng minh F là trung điểm của SD .

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi M là trung điểm của SB và G là trọng tâm của tam giác SAD .

a) Tìm giao điểm I của GM với ABCD . Chứng minh I,C, D thảng hàng và IC 2ID .

b) Tìm giao điểm J của AD với MOG . Tính ^JD .

JA

c) Tìm giao điểm K của SA với MOG . Tính ^KS .

KA

Cho mặt phẳng α xác định bởi hai đường thẳng a,b cắt nhau ở O và c là đường thẳng cắt α

tại I I O .

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng α và mp O,c

Gọi M là một điểm trên c và không trùng với I . Tìm giao tuyến Δ của hai mặt phẳng M,a và

M,b và chứng minh Δ luôn nằm trong một mặt phẳng cố định khi M di động trên c .

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB . Gọi M,N lần lượt là trung

điểm của SB và SC .

Tìm giao điểm của đường thẳng SD với AMN

Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng AMN .

Cho hình chóp S.ABCD . Gọi I,J lần lượt là các điểm cố định trên các cạnh SA và SC ( IJ không song song với AC ).

AD và

Một mặt phẳng α quay quanh IJ cắt SB tại M và cắt SD tại N .

Chứng minh các đường thẳng MN,IJ,SO đồng qui

Giả sử AD BC E,IN JM F . Chứng minh S,E,F thẳng hàng.

Gọi P IN AD,Q JM BC . Chứng minh đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định khi α

di động.

13. Cho hình chóp S.ABC . Trên các cạnh AB,BC,CS lấy các điểm M,N,P sao cho MN và AC không song song với nhau.

Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng MNP .

Gỉa sử I MP NQ , chứng minh I luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi P chạy trên cạnh

SC .

14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M là một điểm trên cạnh SD sao cho

¹

SM SD.

Tìm giao điểm của đường thẳng BM với SAC .

N là một điểm thay đổi trên cạnh BC . Xác định giao tuyến d của SBC và AMN . Chứng minh

luôn đi qua một điểm cố định.

c) Gọi G là trọng tâm tam giác SAB . Xác định thiết diện của hình chóp với MNG .

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Một mặt phẳng α căt các cạnh bên SA,SB,SC

tương ứng tại các điểm A',B',C' . Gọi O là giao điểm của AC và BD .

Tìm giao điểm D' của α với SD .

Chứng minh ^{SA
SC SB SD} .

SA' SC' SB' SD'

16. Cho hình chóp S.ABCD . Gọi I,J là hai điểm trên các cạnh SB .

Tìm giao các điểm K,L của các đường thẳng IJ và DJ với SAC .

Giả sử O AD BC,M OJ SC . Chứng minh A,K,L,M thẳng hàng.

17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy là AB và CD , AB 2CD . Gọi I là trung điểm của SA , J là một điểm trên cạnh SC với JS JC . Gọi α là mặt phẳng quay quanh IJ , cắt các cạnh SD,SB tại M,N . Tìm tập hợp giao điểm của IM và JN.

18. Cho tứ diện ADCD thỏa mãn điều kiện AB.CD AC.BD AD.CB . Chứng minh rằng các đường thẳng đi qua mỗi đỉnh và tâm đường tròn nội tiếp của mặt đối diện đồng qui tại một điểm.

Hỏi đáp

MÔN HỌC

Hình học 11: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

Nội dung tài liệu

Các tài liệu liên quan

Có thể bạn quan tâm

Thông tin tài liệu