Chuyên đề Tổ hợp và xác suất toán 11

NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG II. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 TOÁN 11NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG II. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM TỔ HỢP Vấn đề 1. Quy tắc đếm Phƣơng pháp 1. Quy tắc cộng a) Định nghĩa: Xét một công việc Giả sử có phƣơng án thực hiện công việc Nếu có cách thực hiện phƣơng án có cách thực hiện phƣơng án ,.., có cách thực hiện phƣơng án và mỗi cách thực hiện phƣơng án không trùng với bất kì cách thực hiện phƣơng án () thì có cách thực hiện công việc b) Công thức quy tắc cộng Nếu các tập đôi một rời nhau. Khi đó: 2. Quy tắc nhân. a) Định nghĩa: Giả sử một công việc bao gồm công đoạn Công đoạn có cách thực hiện, công đoạn có cách thực hiện,<, công đoạn có cách thực hiện. Khi đó công việc có thể thực hiện theo cách. b) Công thức quy tắc nhân Nếu các tập đôi một rời nhau. Khi đó: 3. Phƣơng pháp đếm bài toán tổ hợp dựa vào quy tắc cộng Để đếm số cách thực hiện một công việc nào đó theo quy tắc cộng ta cần phân tích xem công việc đó có bao nhiêu phƣơng án thực hiện? Mỗi phƣơng án có bao nhiêu cách chọn? 4. Phƣơng pháp đếm bài toán tổ hợp dựa vào quy tắc nhân Để đếm số cách thực hiện công việc theo quy tắc nhân, ta cần phân tích công việc đƣợc chia làm các giai đoạn và đếm số cách thực hiện mỗi giai đoạn (). Nhận xét: 1. Ta thường gặp bài toán đếm số phương án thực hiện hành động thỏa mãn tính chất Để giải bài toán này ta thường giải theo hai cách sau Cách 1: Đếm trực tiếp 12, ,...,kH 1m 1H 2m 2H km kH iH jH ; 1, 2,...,i k 12...km m 12, ,...,nA 2... ...nnA A 12, ,...,kH 1H 1m 2H 2m kH km 12. ...km 12, ,...,nA 2... .....nnA A 12, ,...,nH iH 1, 2,...,in TNGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG II. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM Nhận xét đề bài để phân chia các trƣờng hợp xảy ra đối với bài toán cần đếm. Đếm số phƣơng án thực hiện trong mỗi trƣờng hợp đó Kết quả của bài toán là tổng số phƣơng án đếm trong cách trƣờng hợp trên Chú ý: Để đếm số phƣơng án thực hiện trong mỗi trƣờng hợp ta phải chia hành động trong mỗi trƣờng hợp đó thành phƣơng án hành động nhỏ liên tiếp nhau Và sử dụng quy tắc nhân, các khái niệm hoán ví, chỉnh hợp và tổ hợp để đếm số phƣơng án thực hiện các hành các hành động nhỏ đó. Các dấu hiệu đặc trƣng để giúp ta nhận dạng một hoán vị của phần tử là: +) Tất cả phần tử đều phải có mặt +) Mỗi phần tử xuất hiện một lần. +) Có thứ tự giữa các phần tử. Ta sẽ sử dụng khái niệm chỉnh hợp khi +) Cần chọn phần tử từ phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần +) phần tử đã cho đƣợc sắp xếp thứ tự. Ta sử dụng khái niệm tổ hợp khi +) Cần chọn phần tử từ phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần +) Không quan tâm đến thứ tự phần tử đã chọn. Phƣơng án 2: Đếm gián tiếp (đếm phần bù) Trong trƣờng hợp hành động chia nhiều trƣờng hợp thì ta đi đếm phần bù của bài toán nhƣ sau: Đếm số phƣơng án thực hiện hành động (không cần quan tâm đến có thỏa tính chất hay không) ta đƣợc phƣơng án. Đếm số phƣơng án thực hiện hành động không thỏa tính chất ta đƣợc phƣơng án. Khi đó số phƣơng án thỏa yêu cầu bài toán là: 2. Ta thường gặp ba bài toán đếm cơ bản Bài toán 1: Đếm số phƣơng án liên quan đến số tự nhiên Khi lập một số tự nhiên ta cần lƣu ý: và là số chẵn là số chẵn là số lẻ là số lẻ chia hết cho chia hết cho chia hết cho chia hết cho chia hết cho chia hết cho là số chẵn và chia hết cho ab 1...nx a 0, 1, 2, ..., 9ia 10a na na 123 ...na a 1nnaa 5 0, 5na x 3NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG II. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM chia hết cho chia hết cho chia hết cho chia hết cho chia hết cho tổng các chữ số hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số hàng chẵn là một số chia hết cho chia hết cho hai chữ số tận cùng là Bài toán 2: Đếm số phƣơng án liên quan đến kiến thức thực tế Bài toán 3: Đếm số phƣơng án liên quan đến hình học Các ví dụ Ví dụ 1. Từ thành phố đến thành phố có con đƣờng, từ thành phố đến thành phố có con đƣờng. Có bao nhiêu cách đi từ thành phố đến thành phố C, biết phải đi qua thành phố B. A.42 B.46 C.48 D.44 Lời giải: Để đi từ thành phố đến thành phố ta có con đƣờng để đi. Với mỗi cách đi từ thành phố đến thành phố ta có cách đi từ thành phố đến thành phố C. Vậy có cách đi từ thành phố đến B. Ví dụ 2. Từ các số 0,1,2,3,4,5 có thể lập đƣợc bao nhiêu số tự mà mỗi số có chữ số khác nhau và chữ số đứng cạnh chữ số 3? A.192 B.202 C.211 D.180 Lời giải: Đặt xét các số trong đó đôi một khác nhau và thuộc tập Có số nhƣ vậy Khi ta hoán vị trong ta đƣợc hai số khác nhau Nên có số thỏa yêu cầu bài toán. Ví dụ 3. Có học sinh nữ và hs nam .Ta muốn sắp xếp vào một bàn dài có ghế ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp để 1. học sinh nữ ngồi kề nhau A.34 B.46 C.36 D.26 2. 2. học sinh nam ngồi kề nhau. A.48 B.42 C.58 D.28 Lời giải: 1. Số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán: 2. Số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán: 218n na a 129 ...na a 11 11 25 00, 25, 50, 75 6.7 42 23y abcde ,a 0, 1, 4, 5y 5496PP 2, 96.2 192 3!.3! 36 2!.4! 48NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG II. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM Ví dụ 4. Xếp ngƣời A, B, C, D, E, vào một ghế dài .Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho: 1. và ngồi hai đầu ghế A.48 B.42 C.46 D.50 2. và ngồi cạnh nhau A.242 B.240 C.244 D.248 3. và không ngồi cạnh nhau A.480 B.460 C.246 D.260 Lời giải: 1. Số cách xếp A, F: Số cách xếp Số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán: 2. Xem là một phần tử ta có: số cách xếp Khi hoán vị ta có thêm đƣợc một cách xếp Vậy có cách xếp thỏa yêu cầu bài toán. 3. Số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán: cách Ví dụ 5. Có bao nhiêu chữ số chẵn gồm bốn chữ số đôi một khác nhau đƣợc lập từ các số A.252 B.520 C.480 D.368 Lời giải: Gọi Cách 1: Tính trực tiếp Vì là số chẵn nên TH 1: có cách chọn Với mỗi cách chọn ta có cách chọn Với mỗi cách chọn ta có cách chọn Với mỗi cách chọn ta có cách chọn Suy ra trong trƣờng hợp này có số. TH 2: có cách chọn Với mỗi cách chọn do nên ta có cách chọn Với mỗi cách chọn ta có cách chọn Với mỗi cách chọn ta có cách chọn 2 ,B 24 2.24 48 AF 5! 120 ,X ,AF 240 6! 240 480 0,1, 2, 4, 5, 6, ; 0, 1, 2, 4, 5, 6, 8x abcd d 0, 2, 4, 6, 8d 0d 1, 2, 4, 5, 6, 8a ,ad 1, 2, 4, 5, 6, \\ba ,,a 1, 2, 4, 5, 6, \\ ,c b 1.6.5.4 120 0 2, 4, 6, 8dd 0a 1, 2, 4, 5, 6, \\ad ,ad 1, 2, 4, 5, 6, \\ba ,,a 1, 2, 4, 5, 6, \\ ,c bNGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG II. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM Suy ra trong trƣờng hợp này có số. Vậy có tất cả số cần lập. Cách 2: Tính gián tiếp đếm phần bù) Gọi số các số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau đƣợc lập từ các số số các số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau đƣợc lập từ các số số các số tự nhiên chẵn có bốn chữ số đôi một khác nhau đƣợc lập từ các số Ta có: Dễ dàng tính đƣợc: Ta đi tính là số lẻ có cách chọn. Với mỗi cách chọn ta có cách chọn (vì Với mỗi cách chọn ta có cách chọn Với mỗi cách chọn ta có cách chọn Suy ra Vậy Ví dụ 6. Cho tập 1. Từ tập có thể lập đƣợc bao nhiêu số gồm chữ số đôi một khác nhau sao các số này lẻ không chia hết cho 5. A.15120 B.23523 C.16862 D.23145 2. Từ tập có thể lập đƣợc bao nhiêu số gồm chữ số đôi một khác nhau sao chữ số đầu chẵn chữ số đứng cuối lẻ. A.11523 B.11520 C.11346 D.22311 Lời giải: Gọi là số cần tìm 1. Vì lẻ và không chia hết cho nên có cách chọn Số các chọn các chữ số còn lại là: Vậy số thỏa yêu cầu bài toán. 2. Vì chữ số đứng đầu chẵn nên có cách chọn, chữ số đứng cuối lẻ nên có cách chọn. Các số còn lại có cách chọn Vậy có số thỏa yêu cầu bài toán. 4.5.5.4 400 120 400 520 A 0,1, 2, 4, 5, 6, B 0,1, 2, 4, 5, 6, C 0,1, 2, 4, 5, 6, B 6.6.5.4 720A abcd 1, 5dd 0,a d ,ad ,,a 2.5.5.4 200B 520C 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8A 18...x a 1, 3, 7dd 7.6.5.4.3.2.1 15120 1a 8a 6.5.4.3.2.1 24 .6.5.4.3.2.1 11520NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG II. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM Ví dụ 7. Cho tập 1. Từ tập ta có thể lập đƣợc bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm chữ số đôi một khác nhau A.720 B.261 C.235 D.679 2. Từ tập có thể lập đƣợc bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số và chia hết cho 5. A.660 B.432 C.679 D.523 Lời giải: 1. Gọi số cần lập Chọn có cách; chọn có Vậy có số. 2. Gọi là số cần lập, có cách chọn, cách chọn Trƣờng hợp này có 360 số có một cách chọn, số cách chọn Trƣờng hợp này có 300 số Vậy có số thỏa yêu cầu bài toán. Ví dụ 8. Cho tập hợp số .Hỏi có thể thành lập bao nhiêu số có chữ số khác nhau và chia hết cho 3. A.114 B.144 C.146 D.148 Lời giải: Ta có một số chia hết cho khi và chỉ khi tổng các chữ số chia hết cho 3. Trong tập có các tập con các chữ số chia hết cho là Vậy số các số cần lập là: số. Ví dụ 9. Từ các số của tập có thể lập đƣợc bao nhiêu số chẵn gồm chữ số đôi một khác nhau trong đó có hai chữ số lẻ và hai chữ số lẻ đứng cạnh nhau. A.360 B.362 C.345 D.368 Lời giải: Vì có số lẻ là 1,3,5, nên ta tạo đƣợc cặp số kép: Gọi là tập các số gồm chữ số đƣợc lập từ Gọi tƣơng ứng là số các số tự nhiên lẻ gồm chữ số khác nhau đƣợc lập từ các chữ số của tập và 13 đứng vị trí thứ nhất, thứ hai và thứ ba. Ta có: nên 0,1, 2, 3, 4, 5, 6A abcd , 0,1, 2, 3, 4, 5, 0a a :a ,,b 6.5.4 720 abcde 0, 0ea 0ee :a 6.5.4.3 5ee :a 5.5.4.3 300 660 0,1, 2, 3, 4, 5, 6A {0,1, 2, 3}, {0,1,2,6} {0,2,3,4} {0,3,4,5} {1,2,4,5} {1,2,3,6} 1, 3, 5, 4(4! 3!) 3.4! 144 0,1, 2, 3, 4, 5, 6A 13, 31,15, 51, 35, 53 0, 13, 2, 4, 6X 3,,A 0, 13, 2, 4, 6X 31 324; 3.3.2 18A A 24 2.18 60A NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG II. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM Vậy số các số cần lập là: số. Ví dụ 10. Từ các số có thể lập đƣợc bao nhiêu số tự nhiên ,mỗi số có chữ số đồng thời thỏa điều kiện :sáu số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của chữ số đầu nhỏ hơn tổng của số sau một đơn vị. A.104 B.106 C.108 D.112 Lời giải: Cách 1: Gọi là số cần lập Theo bài ra ta có: (1) Mà và đôi một khác nhau nên (2) Từ (1), (2) suy ra: Phƣơng trình này có các bộ nghiệm là: Với mỗi bộ ta có số. Vậy có cả thảy số cần lập. Cách 2: Gọi là số cần lập Ta có: Do Suy ra ta có các cặp sau: Với mỗi bộ nhƣ vậy ta có cách chọn và cách chọn Do đó có: số thỏa yêu cầu bài toán. Ví dụ 11.Từ các số lập đƣợc bao nhiều số tự nhiên gôm chữ số thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau 1. Trong mỗi số, mỗi chữ số có mặt đúng một lần A.90 B.78 C.95 D.38 2. Trong mỗi số, hai chữ số giống nhau không đứng cạnh nhau. A.76 B.42 C.80 D.68 Lời giải: Đặt Gọi là tập các số thỏa yêu cầu thứ nhất của bài toán 6.60 360 1, 2, 3, 4, 5, 1 6... 1, 2, 3, 4, 5, 6ix a 61a a 1 6, 1, 2, 3, 4, 5, 6a a 61 21a a 310a a 3( (1, 3, 6); (1, 4, 5); (2, 3, 5)a a 3!.3! 36 3.36 108 abcdef 211a fa f   11a c , 1, 2, 3, 4, 5, 6a c (1, 4, 6); (2, 3, 6); (2, 4, 5)a c 3! ,,a 3! ,,d 3.3!.3! 108 1, 2, {1, 2, 3}A SNGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG II. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM Ta có số các số thỏa điều kiện thứ nhất của bài toán là (vì các số có dạng và khi hoán vị hai số ta đƣợc số không đổi) Gọi là tập các số thuộc mà có cặp chữ số giống nhau đứng cạnh nhau. Số phần tử của chính bằng số hoán vị của cặp nên Số phần tử của chính bằng số hoán vị của phần tử là có dạng nhƣng không đứng cạnh nhau. Nên phần tử. Số phần tử của chính bằng số hoán vị của các phần tử có dạng nhƣng và không đứng cạnh nhau nên Vậy số các số thỏa yêu cầu bài toán là: Ví dụ 12 Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho mà mỗi số chữ số và trong đó có ít nhất hai chữ số A. B. C. D. Lời giải: Đặt là các số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán. các số tự nhiên không vƣợt quá 2011 chữ số và chia hết cho 9} Với mỗi số thuộc có chữ số thì ta có thể bổ sung thêm số vào phía trƣớc thì số có đƣợc không đổi khi chia cho 9. Do đó ta xét các số thuộc có dạng mà trong không có chữ số 9} mà trong có đúng chữ số 9} Ta thấy tập có phần tử Tính số phần tử của Với và với Từ đó ta suy ra có phần tử 36!902 aabbcc ,aa 3,,S 1, 2, 3S 11, 22, 33 36S 2S ,a bb cc ,aa 24!662S 1S ,,,,a cc ,aa ,bb 15!6 12 124S 90 (6 12) 76 2011 2011 20109 2019.9 89 2011 20109 2.9 89 2011 20109 89 2011 20109 19.9 89 A 2008)m 2011m 1 2011... 0, 1, 2, 3, ..., 9ia a 0|A A 1|A A 20119119 0A 0 2011... 0,1, 2,..., 1, 2010ix i 20119ar 201011; ,iir a  0A 20109NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG II. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM Tính số phần tử của Để lập số của thuộc tập ta thực hiện liên tiếp hai bƣớc sau Bƣớc 1: Lập một dãy gồm chữ số thuộc tập và tổng các chữ số chia hết cho 9. Số các dãy là Bƣớc 2: Với mỗi dãy vừa lập trên, ta bổ sung số vào một vị trí bất kì dãy trên, ta có 2010 các bổ sung số Do đó có phần tử. Vậy số các số cần lập là: CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1. Bạn cần mua một áo sơ mi cỡ 30 hoặc 32. Áo cỡ 30 có màu khác nhau, áo cỡ 32 có màu khác nhau. Hỏi bạn có bao nhiêu cách lựa chọn A.7 B.8 C.9 D.4 2. Có 10 cuốn sách Toán khác nhau, 11 cuốn sách Văn khác nhau và cuốn sách anh văn khác nhau. Một học sinh đƣợc chọn một quyển sách trong các quyển sách trên. Hỏi có bao nhiêu cách lựa chọn. A.26 B.28 C.32 D.20 3. Có bao nhiêu cách xếp cuốn sách Toán, cuốn sách Lý và cuốn sách Hóa lên một kệ sách sao cho các cuốn sách cùng một môn học thì xếp cạnh nhau, biết các cuốn sách đôi một khác nhau A. B. C. D. Lời giải: 1. Công việc ta cần thực hiện trong bài toán này là mua một chiếc ao sơ mi cỡ 30 hoặc 32. Để thực hiện công việc này ta có hai phƣơng án. Phương án 1: Mua áo cỡ 30: Phƣơng án này ta có cách chọn (chọn một trong ba màu). Phương án 2: Mua áo cỡ 32: Phƣơng án này ta có cách chọn. Vậy ta có cả thảy cách lựa chọn. 2. Để chọn một cuốn sách trong những cuốn sách trên ta có các phƣơng án sau. Phương án 1: Cuốn sách chọn là cuốn sách Toán: Ta có 10 cách chọn Phương án 2: Cuốn sách chọn là cuốn sách Văn: Ta có 11 cách chọn Phương án 3: Cuốn sách chọn là cuốn sách anh văn: Ta có cách chọn 1A 1A 2010 0, 1, 2..., 20099 1A 20092010.9 2011 2011 20102010 20099 2019.9 81 2010.999  7.5!.6!.8! 6.5!.6!.8! 6.4!.6!.8! 6.5!.6!.7 7