Ứng dụng của đạo hàm

ÖÙNG DUÏNG CUÛA ÑAÏO HAØM Chuyeân ñeà 11: TÍNH ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ Toùm taét giaùo khoa Ñònh nghóa: Cho haøm soá y = f (x) xaùc ñònh treân khoaûng (a;b) • [f ñoàng bieán (taêng) treân (a; b) ] • [f nghòch [ ] [ ] ñn ⇔ ∀ x , x ∈ (a; b ) : x < x ⇒ f ( x ) < f ( x ) 1 2 1 2 1 2 ñn bieán (giaûm) treân (a; b) ] ⇔ ∀ x , x ∈ ( a ; b ) : x < x ⇒ f ( x ) > f ( x ) 1 2 1 2 1 2 y y f ( x2 ) f ( x1 ) (C ) : y = f ( x) a x1 x2 b f ( x1 ) f ( x2 ) x x x2 a x1 O b 1. Ñieàu kieän caàn cuûa tính ñôn ñieäu: Ñònh lyù 1: Giaû söû haøm soá f coù ñaïo haøm treân khoaûng (a;b) • • [f ñoàng bieán (taêng) treân khoaûng (a; b)] ⇒ ⎡⎢⎣f ' (x) ≥ 0 ∀x ∈ (a; b)⎤⎥⎦ [f nghòch bieán (giaûm) treân khoaûng (a; b)] ⇒ ⎡⎢⎣f ' ( x) ≤ 0 ∀x ∈ (a; b)⎤⎥⎦ 2. Ñieàu kieän ñuû cuûa tính ñôn ñieäu: Ñònh lyù 2: Giaû söû haøm soá f coù ñaïo haøm treân khoaûng (a;b) ⎡ ' ⎤ • ⎢⎣f (x) > 0 ∀x ∈ (a; b)⎥⎦ ⇒ f ñoàng bieán (taêng) treân (a; b) ⎡ ' ⎤ • ⎢⎣f (x) < 0 ∀x ∈ (a; b)⎥⎦ ⇒ f nghòch bieán (giaûm) treân (a; b) ⎡ ' ⎤ • ⎢⎣f (x) = 0 ∀x ∈ (a; b)⎥⎦ ⇒ f khoâng ñoåi treân (a; b) [ [ [ x f ' ( x) a ] ] ] b x + f ' ( x) f (x ) f (x ) 69 a b − Ñònh lyù 3: Giaû söû haøm soá f coù ñaïo haøm treân khoaûng (a;b) ⎡ ' ⎤ ⎢f (x) ≥ 0 ∀x ∈ (a; b) ⎥ ⎢ñaúng thöùc chæ xaûy ra taïi moät soá ⎥ ⇒ f ⎢ ⎥ ⎢ höõu haïn ñieåm cuûa (a; b) ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡ ' ⎤ ⎢f (x) ≤ 0 ∀x ∈ (a; b) ⎥ ⎢ñaúng thöùc chæ xaûy ra taïi moät soá ⎥ ⇒ f ⎢ ⎥ ⎢ höõu haïn ñieåm cuûa (a; b) ⎥ ⎣⎢ ⎦⎥ [ ñoàng bieán (taêng) treân (a; b) ] [ nghòch bieán (giaûm) treân (a; b)] Minh hoïa ñònh lyù: x x0 a f ' ( x) + 0 x b + − f ' ( x) Ñònh lyù 4: Giaû söû haøm soá f coù ñaïo haøm treân khoaûng (a;b) • • 0 b − f ( x) f (x ) • x0 a [f ñoàng bieán (taêng) treân (a; b)] [f nghòch bieán (giaûm) treân (a; b)] [f khoâng ñoåi treân (a; b)] ⎡ ' ⎤ ⎢⎣f (x) ≥ 0 ∀x ∈ (a; b)⎥⎦ ⎡ ' ⎤ ⎢⎣f (x) ≤ 0 ∀x ∈ (a; b)⎥⎦ ⎡ ' ⎤ ⎢⎣f (x) = 0 ∀x ∈ (a; b)⎥⎦ ⇔ ⇔ ⇔ 3. Phöông phaùp xeùt chieàu bieán thieân cuûa haøm soá: Muoán xeùt chieàu bieán thieân cuûa haøm soá y = f (x) ta coù theå thöïc hieän nhö sau: Böôùc 1: Tìm mieàn xaùc ñònh cuûa haøm soá : D=? Böôùc 2: Tính f ' ( x) vaø xeùt daáu f ' ( x) Böôùc 3: Döïa vaøo ñònh lyù ñieàu kieän ñuû ñeå keát luaän. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Khaûo saùt söï bieán thieân cuûa haøm soá: x+3 x2 +1 ex 1) y = x 4 − x 2) y = 2 4) y = e − x + x 5) y = x 7) y = ln x 8) y = x − 2 + 4 − x x 70 3) y = x2 x2 −1 6) y = 1 2 x − ln x 2 9) y = x + 2 − x 2 1 Baøi 2: Cho haøm soá y = f ( x ) = − x 3 + 2 x 2 + (2a + 1) x − 3a + 2 (1). Tìm a ñeå haøm soá nghòch bieán treân R 3 1 Baøi 3: Tìm m ñeå haøm soá y = − x 3 + ( m − 1) x 2 + ( m + 3) x − 4 ñoàng bieán treân khoaûng (0;3) 3 2 1 Baøi 4: Cho haøm soá y = f ( x) = x 3 + (m − 1) x 2 + (2m − 3) x − (1) 3 3 a) Vôùi giaù trò naøo cuûa m, haøm soá (1) ñoàng bieán treân R b) Vôùi giaù trò naøo cuûa m, haøm soá (1) ñoàng bieán treân khoaûng (1;+∞) m Baøi 5: Cho haøm soá y = f ( x) = x + 2 + (1) x −1 Tìm a ñeå haøm soá (1) ñoàng bieán treân moãi khoaûng xaùc ñònh cuûa noù 2 − 2 x + (m + 2) x − 3m + 1 Baøi 6: Cho haøm soá y = f ( x) = (1) x −1 Tìm a ñeå haøm soá (1) nghòch bieán treân moãi khoaûng xaùc ñònh cuûa noù − 2 x 2 + (1 − m) x + m + 1 Baøi 7: Cho haøm soá : y = . Ñònh m ñeå haøm soá ñoàng bieán trong khoaûng (1; +∞ ) x−m ⎛ π⎞ Baøi 8: Chöùng minh raèng: 2 sin x + tgx > 3 x vôùi moïi x ∈ ⎜ 0; ⎟ ⎝ 2⎠ 3 x ⎛ π⎞ Baøi 9: Chöùng minh raèng: tgx > x + vôùi moïi x ∈ ⎜ 0; ⎟ ⎝ 2⎠ 3 4 ⎡ π⎤ Baøi 10: Chöùng minh raèng: tgx ≤ x vôùi moïi x ∈ ⎢0; ⎥ π ⎣ 4⎦ 1 Baøi 11: Cho haøm soá y = x 3 − ax 2 + (2a − 1) x − a + 2 3 Tìm a ñeå haøm soá nghòch bieán trong khoaûng (-2;0) Baøi 12: Cho haøm soá y = x 3 − mx 2 + x + 1 (1) Tìm caùc giaù trò cuûa m ñeå haøm soá (1) nghòch bieán trong khoaûng (1;2) x 2 + mx − 1 Baøi 13: Cho haøm soá y = x −1 Tìm m ñeå haøm soá ñoàng bieán treân khoaûng (- ∞ ;1) vaø (1;+ ∞ ). x2 − 2x + m Baøi 14: Cho haøm soá y = x −2 Xaùc ñònh m ñeå haøm soá nghòch bieán treân [-1;0]. x 2 + 5x + m2 + 6 Baøi 15: Cho haøm soá y = x +3 Tìm m ñeå haøm soá ñoàng bieán treân khoaûng (1;+ ∞ ). x 2 + (2m − 3) x + m − 1 Baøi 16: Cho haøm soá y = x − (m − 1) Tìm m ñeå haøm soá ñoàng bieán treân khoaûng (0;+ ∞ ) 71 ÖÙNG DUÏNG TÍNH ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ ÑEÅ CHÖÙNG MINH BAÁT ÑAÚNG THÖÙC GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH - BAÁT PHÖÔNG TRÌNH - HEÄ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH ******** Cô sôû ñeå giaûi quyeát vaán ñeà naøy laø duøng ñaïo haøm ñeå xeùt tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá vaø döïa vaøo chieàu bieán thieân cuûa haøm soá ñeå keát luaän veà nghieäm cuûa phöông trình , baát phöông trình, heä phöông trình . CAÙC KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN ---------I. Ñònh nghóa : Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh trong khoaûng (a,b). a) f taêng ( hay ñoàng bieán ) treân khoaûng (a,b) ⇔ ∀ x1, x2 ∈ (a,b) : x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) b) f giaûm ( hay nghòch bieán ) treân khoaûng (a,b) ⇔ ∀ x1, x2 ∈ (a,b) : x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) II. Caùc tính chaát : 1) Tính chaát 1: Giaû söû haøm soá y = f(x) taêng (hoaëc giaûm) treân khoaûng (a,b) ta coù : f(u) = f(v) ⇔ u = v (vôùi u, v ∈ (a,b) ) 2) Tính chaát 2: Giaû söû haøm soá y = f(x) taêng treân khoaûng (a,b) ta coù : f(u) < f(v) ⇔ u < v (vôùi u, v ∈ (a,b) ) 3) Tính chaát 3: Giaû söû haøm soá y = f(x) giaûm treân khoaûng (a,b) ta coù : f(u) < f(v) ⇔ u > v (vôùi u, v ∈ (a,b) ) 4) Tính chaát 4: Neáu y = f(x) taêng treân (a,b) vaø y = g(x) laø haøm haèng hoaëc laø moät haøm soá giaûm treân (a,b) thì phöông trình f(x) = g(x) coù nhieàu nhaát moät nghieäm thuoäc khoûang (a,b) *Döïa vaøo tính chaát treân ta suy ra : Neáu coù x0 ∈ (a,b) sao cho f(x0) = g(x0) thì phöông trình f(x) = g(x) coù nghieäm duy nhaát treân (a,b) BAØI TAÄP AÙP DUÏNG Baøi 1 : Giaûi caùc phöông trình sau : 1) 4x − 1 + 4x 2 − 1 = 1 2) ( 2 − 3 ) x + ( 2 + 3 ) x = 2 x 3) log 2 (1 + 3 x ) = log 7 x Baøi 2 : Giaûi caùc phöông trình sau: 1) 2 x −1 − 2 x 2 −x = ( x − 1) 2 72 2) log 3 ( x2 + x +3 ) = x 2 + 3x + 2 2x + 4x + 5 Baøi 3 : Giaûi caùc heä : ⎧cot gx − cot gy = x − y 1) ⎨ vôùi x, y ∈ (0, π ) ⎩5x + 8y = 2π 2 ⎧⎪2 x − 2 y = ( y − x ).( xy + 2) 2) ⎨ ⎪⎩x 2 + y 2 = 2 Baøi 4: Giaûi caùc baát phöông trình sau. 1) 5x + 12x > 13x 2) x (x8 + x2 +16 ) > 6 ( 4 - x2 ) Baøi 5 : Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau : vôùi x > 0 1) ex > 1+x 2) ln (1 + x ) < x vôùi x > 0 3) sinx < x vôùi x > 0 1 4) 1 - x2 < cosx vôùi x ≠ 0 2 ------Heát------- 73 CÖÏC TRÒ CUÛA HAØM SOÁ Toùm taét giaùo khoa I. Ñònh nghóa: Cho haøm soá y=f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a;b) vaø x0∈(a;b) y O y (C ) : y = f ( x) f ( x0 ) f (x) a x (x x ) 0 b x a ( x x0 ) O b f (x) f ( x0 ) • ⎡x ⎢⎣ 0 laø ñieåm CÖÏC ÑAÏI • ⎡ ⎢x 0 ⎣ laø ñieåm CÖÏC TIEÅU ñn cuûa haøm soá f ⎤⎥ ⎡ ⎢⎣ f(x) ⇔ ⎦ ñn ⇔ cuûa haøm soá f ⎤⎥ ⎦ II.Ñieàu kieän caàn cuûa cöïc trò: Ñònh lyù Fermat : Giaû söû y=f(x) lieân tuïc treân khoaûng (a;b) vaø ⎡f ⎢ ⎢f ⎢⎣ coù ñaïo haøm taïi x ñaït cöïc trò taïi x 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦ ⎡ ⎢⎣ ⇒ (C ) : y = f ( x) ⎡ ⎢⎣ f(x) < f(x 0 > f(x ∀ x ∈ V \ ⎧⎨ x ) 0 ⎩ ∀ x ∈ V \ ⎧⎨ x ) ⎩ ⎫⎤ 0 ⎬⎭ ⎥⎦ ⎫⎤ 0 ⎬⎭ ⎥⎦ x ∈ (a; b) 0 f ' ( x ) = 0 ⎤⎥ 0 ⎦ YÙ nghóa hình hoïc cuûa ñònh lyù: Neáu haøm soá y = f ( x) coù ñaïo haøm taïi ñieåm x0 vaø ñaït cöïc trò taïi ñieåm ñoù thì tieáp tuyeán cuûa ñöôøng cong (C): y = f ( x) taïi ñieåm M(x0,f(x0)) phaûi cuøng phöông vôùi Ox III. Ñieàu kieän ñuû ñeå haøm soá coù cöcï trò: 1) Ñònh lyù 1: Giaû söû haøm soá y=f(x) coù ñaïo haøm treân moät laân caän cuûa ñieåm x0 ( coù theå tröø taïi ñieåm x0) ⎡ Neáu khi x ñi qua x ⎤ maø • ⎢ 0 ⎥ ⎤ ⎡ ⎢ ⎣⎢ f • ' ( x ) ñoåi daáu töø ⎡ Neáu ⎢ ⎢ ' ⎣⎢ f ( x ) ⎥ + sang - ⎦⎥ khi x ñi qua x maø ⎤ 0 ⎥ ⎥ ñoåi daáu töø − sang + ⎦⎥ ⇒ ⇒ ⎢⎣ f ñaït CÖÏC ⎡ ⎢f ⎣ ÑAÏI taïi x ñaït CÖÏC TIEÅU 0 ⎥⎦ taïi x 0 ⎤ ⎥ ⎦ Baûng toùm taét: x f ' ( x) f ( x) x0 a + 0 x b − f ' ( x) x0 a − 0 f ( x) CD CT 74 b + 2) Ñònh lyù 2: Giaû söû haøm soá y=f(x) coù ñaïo haøm lieân tuïc tôùi caáp hai taïi x0 vaø f'(x0)=0, f''(x0)≠0 • • ⎡ ⎢⎣ Neáu ⎡ ⎢⎣ Neáu f ' ' ( x ) < 0 ⎤⎥ 0 ⎦ ⇒ f '' ( x ⇒ 0 ) > 0 ⎤⎥ ⎦ ⎡f ⎢⎣ ñaït CÖÏC ÑAÏI ⎡ ⎢f ⎣ ñaït CÖÏC TIEÅU taïi x 0 taïi x ⎤ ⎥⎦ ⎤ ⎥ ⎦ 0 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Tìm cöïc trò cuûa caùc haøm soá: 1) y = x 4− x 2) 4) 2 y = e−x + x 5) 7) y= x ln x y = x+3 x 2 +1 x y=e x 8) y = x−2 + 4− x 3) 6) y= x2 x 2 −1 y = 1 x 2 − ln x 2 9) y = x + 2 − x 2 y = x3 + 2(m − 1) x 2 + (m 2 − 4m + 1) x − 2(m 2 + 1) . Tìm m ñeå y ñaït 1 + 1 = 1 (x + x ) cöïc ñaïi, cöïc tieåu taïi hai ñieåm x1, x2 thoûa maõn ñieàu kieän x x 2 1 2 1 2 x 2 + mx − 2 . Xaùc ñònh m ñeå haøm soá coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu Baøi 3: Cho haøm soá y = mx − 1 vôùi hoaønh ñoä thoûa maõn x + x = 4 x x 1 2 1 2 x 2 + mx + 1 ñaït cöïc ñaïi taïi x = 2 Baøi 4: Tìm m ñeå haøm soá y = x+m Baøi 2: Cho haøm soá Baøi 5: Giaû söû haøm soá v'(x ) ≠ 0 0 f ( x) = thì u ( x) v( x ) ñaït cöïc trò taïi x0. Chöùng minh raèng neáu u'(x ) 0 f (x ) = 0 v'(x ) 0 2 y = x + 3x + 5 x+2 f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d . Chia f(x) cho f'(x), ta ñöôïc: f ( x) = f ' ( x).( Ax + B) + αx + β AÙp duïng : Tìm giaù trò cöïc trò cuûa haøm soá: Baøi 6: Cho haøm soá f ( x ) = αx + β 0 0 y = x 3 − 3x 2 − 3x + 2 Giaû söû f(x) ñaït cöïc trò taïi x0 Chöùng minh raèng : AÙp duïng : Tìm giaù trò cöïc trò cuûa haøm soá: 75 Baøi 7: Goïi (Cm) laø ñoà thò haøm soá y = mx + 1 x (1) Tìm m ñeå haøm soá (1) coù cöïc trò vaø khoaûng caùch töø ñieåm cöïc tieåu cuûa (Cm) 1 2 x 2 + (m + 1) x + m + 1 y= x +1 ñeán tieäm caän xieân cuûa (Cm) baèng Baøi 8: Goïi (Cm) laø ñoà thò haøm soá (1) Chöùng minh raèng vôùi m baát kyø, ñoà thò (Cm) luoân luoân coù ñieåm cöïc ñaïi, ñieåm cöïc tieåu vaø khoaûng caùch giöõa hai ñieåm ñoù baèng 20 x 2 + mx + 1 Baøi 9: Cho haøm soá y = . Tìm m sao cho haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi x = -1 x+m 1 Baøi 10: Cho haøm soá y = x 3 − mx 2 + ( 2m − 1) x − m + 2 3 Tìm m sao cho haøm soá coù hai cöïc trò coù hoaønh ñoä döông x2 + x + m Baøi 11: Cho haøm soá y = (1) x +1 Xaùc ñònh m sao cho haøm soá (1) coù hai giaù trò cöïc trò traùi daáu nhau. Baøi 12: Cho haøm soá y = x 3 − 3mx 2 + (m 2 + 2m − 3) x + 4 (1) Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá (1) coù ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu ôû veà hai phía cuûa truïc tung Baøi 13: Cho haøm soá : y = ( x − m )3 − 3 x Xaùc ñònh m ñeå haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi ñieåm coù hoaønh ñoä x = 0. Baøi 14: Cho haøm soá : y = mx 4 + (m 2 − 9) x 2 + 10 Tìm m ñeå haøm soá coù ba ñieåm cöïc trò. Baøi 15: Cho haøm soá : y = − x 3 + 3mx 2 + 3(1 − m 2 ) x + m 3 − m 2 Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá . x 2 + mx Baøi 16: Cho haøm soá y = 1− x Tìm m ñeå haøm soá coù cöïc ñaïi ,cöïc tieåu . Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì khoaûng caùch giöõa hai ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá baèng 10. x 2 + mx − 2 Baøi 17: Cho haøm soá y = mx − 1 Xaùc ñònh m ñeå haøm soá coù cöïc ñaïi , cöïc tieåu vôùi hoaøng ñoä thoaû maõn x1 + x2 = 4 x1.x2 76 GTLN VAØ GTNN CUÛA HAØM SOÁ Toùm taét giaùo khoa 1. Ñònh nghóa: • • Cho haøm soá y = f (x) xaùc ñònh treân D Soá M ñöôïc goïi laø GTLN cuûa haøm soá neáu: ⎧ f ( x) ≤ M ∀x ∈ D ⎪ ⎨ ⎪⎩Toàn taïi x 0 ∈ D sao cho f(x 0 ) = M Kyù hieäu: M = Max y x∈D Soá m ñöôïc goïi laø GTNN cuûa haøm soá neáu: ⎧ f ( x) ≥ m ∀x ∈ D ⎪ ⎨ ⎪⎩Toàn taïi x 0 ∈ D sao cho f(x 0 ) = m Kyù hieäu: m = min y y x∈D M Minh hoïa: f (x) x x0 x0 x O m (C ) : y = f ( x) D 2. Caùc phöông phaùp tìm GTLN & GTNN cuûa haøm soá y = f (x) treân D a) Phöông phaùp 1: Söû duïng baát ñaúng thöùc 2 vôùi x > 0 x y = x−2 + 4− x Ví duï 1: Tìm GTLN vaø nhoû nhaát cuûa haøm soá : Ví duï 2: Tìm GTNN cuûa haøm soá : y = x+ b) Phöông phaùp 2: Söû duïng ñieàu kieän coù nghieäm cuûa pt hoaëc heä phöông trình Ví duï: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá: 2 +3 x y= x2 + x + 2 b) Phöông phaùp 2: Söû duïng ñaïo haøm, laäp BBT cuûa haøm soá f treân D roài suy ra keát qua Ví duï 1: Tìm GTLN cuûa haøm soá : Ví duï 2: Tìm GTNN cuûa haøm soá : y = 4 x3 − 3 x 4 2 y = x 2 + vôùi x > 0 x 77 Ví duï 3: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá : y = x−2 + 4− x Ví duï 4: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá : y = sin 2x - x Ví duï 5: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá : y= Ví duï 6: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá : y = x + 2 − x2 1 y = sin x − cos2 x + 2 Ví duï 7: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá : Ví duï 8: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá : sinx 2 + cosx ⎡ π π⎤ treân ⎢− ; ⎥ ⎣ 2 2⎦ treân [0;π ] 1 y = 2(1 + sin 2 x.cos 4 x) − (cos 4 x − cos 8x) 2 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá: y = x 4 − 3x 3 − 2 x 2 + 9 x Baøi 2: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá : y = sin 2x − x vôùi x ∈[−2;2] ⎡ π π⎤ treân ⎢− ; ⎥ ⎣ 2 2⎦ Baøi 3: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá : y = x 2.e x treân [−3;2] Baøi 4: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá : y = 5cosx − cos5x Baøi 5: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá: 2 +3 x y= x2 + x + 2 Baøi 6: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá: Baøi 7: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá: treân [− π ; π ] 4 4 y = x + 12 − 3x 2 y = ( x + 2) 4 − x 2 Baøi 8: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá: y = (3 − x) x 2 + 1 vôùi x ∈[0;2] Baøi 9: Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá : Baøi 10: Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá Baøi 11: Tìm 2cos2 x + cos x + 1 y= cos x + 1 y = 2sin x − 4 sin3 x treân ñoaïn ⎡⎣ 0;π ⎤⎦ 3 ⎡ 1 ⎤ 3 GTNN cuûa haøm soá : y = 2 x 2 − x 3 treân ñoaïn ⎢− ;3⎥ ⎣ 2 ⎦ 78