Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

ĐỀ 44-TỔNG HỢP (ĐẾN NGUYÊN HÀM-MẶT CẦU)

da74dadd1e5c27f4fc38208edec26152
Gửi bởi: Nguyễn Trần Thành Đạt 28 tháng 7 lúc 13:32 | Được cập nhật: 28 tháng 7 lúc 14:57 | IP: 113.176.48.255 Kiểu file: PDF | Lượt xem: 253 | Lượt Download: 5 | File size: 0.776325 Mb

Nội dung tài liệu

Tải xuống
Link tài liệu:
Tải xuống

Các tài liệu liên quan


Có thể bạn quan tâm


Thông tin tài liệu

ĐỀ SỐ 44
ĐỀ RÈN LUYỆN MÔN TOÁN 12

HƯỚNG ĐẾN KÌ THI THPT QUỐC GIA

Trắc nghiệm: 50 câu
Thời gian: 90 phút

Nội dung:
Giải tích: Đến phương pháp nguyên hàm.
Hình học: Đến phương trình mặt cầu.

2x + 1

x −1
B. (−;1) và (1; +)
C. (−; −1)  (−1; +) D. (−; +) \ {1}

Câu 1. Các khoảng nghịch biến của hàm số y =
A. (−1; +)

Câu 2. Tập xác định của hàm số y = log 1 ( 2 − x ) là
A. ( 2; + ) .

2

B.  2; + ) .

C. ( −; 2 ) .

Câu 3. Cho mặt cầu có bán kính R = 3 . Diện tích của mặt cầu đó bằng
A. 36 .
B. 48 .
C. 144 .

D. ( −; 2  .
D. 288 .

Câu 4. Cho hình nón ( N ) có bán kính đáy r = 2 và đường sinh l = 3 . Diện tích xung quanh của ( N ) bằng
A. 10 .
B. 12 .
C. 24 .
D. 6 .
Câu 5. Tập nghiệm của bất phương trình log 2 ( x − 1)  3 là
A. (1; 7 ) .

B. (1;9 ) .

C. ( 9; +  ) .

D. ( 7 ; +  ) .

Câu 6. Cho f ( x ) là hàm đa thức bậc ba và có đồ thị như hình vẽ bên dưới
Hàm số f ( x ) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. ( −1;1) .
B. (1; + ) .
C. ( 0; 2 ) .
D. ( −2;0 ) .
log ab
Câu 7. Biết a, b là các số thực dương thay đổi thỏa mãn 3 9 ( ) = log 3 9 . Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. ab = 4 .
B. ab = 2 .
C. ab = 1 .
D. ab = 3 .

Câu 8. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị hàm số nào dưới đây?
A. y = x4 + 3x2 .
B. y = − x4 − 2x2 .
1
C. y = x 4 − 2 x 2 .
4
D. y = − x4 + 4x2 .
Câu 9. Với các số thực dương bất kỳ a và b, mệnh đề nào trong các mệnh đề dưới đây đúng?
a ln a
A. ln(a.b) = ln a.ln b .
B. ln =
.
b ln b
HOÀNG XUÂN NHÀN 457

C. ln(a.b) = ln a + ln b .

D. ln

a
= ln b − ln a .
b

Câu 10. Phương trình log 2 x + log 2 ( x − 1) = 2 có số nghiệm là:
A. 1 .

C. 2 .

B. 3 .

D. 0 .

Câu 11. Cho khối lăng trụ có diện tích đáy S = 6cm2 , chiều cao bằng 3cm . Tính thể tích khối lăng trụ.
A. V = 108cm3.
B. V = 54cm3 .
C. V = 6cm3 .
D. V = 18cm3 .
Câu 12. Số nghiệm của phương trình 5x

2

−2 x

=

( 5)

−2



B. 1 .

A. 2 .

C. Vô số.

D. 0 .

Câu 13. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình: log 1 ( x + 1)  log 1 ( 2 x − 1)
2

A. S = ( 2; + ) .

1 
B. S =  ; 2  .
2 

2

C. S = ( −; 2 ) .

D. S = ( −1; 2 ) .

Câu 14. Cho tam giác SOA vuông tại O có SO = 3cm , SA = 5cm . Quay tam giác SOA xung quanh cạnh SO
được khối nón. Thể tích của khối nón tương ứng là:
80 3
cm .
A. 36 cm3 .
B. 15 cm3 .
C.
D. 16 cm3 .
3
Câu 15. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác đều có cạnh bằng a , cạnh bên SA = a và SA
vuông góc với đáy. Tính thể tích V của khối chóp?
a3 3
a3 3
a3 3
a3
.
.
.
A. V =
B. V = .
C. V =
D. V =
12
6
4
4
Câu 16. Cho hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (với a, b, c, d là hằng số)

đồ
thị
như
hình
bên.
Trong
các
số
2
a ( b + c ) , d ( a + b ) , ac , bc ,3ac − 2b có bao nhiêu số âm?
A. 4 .
C. 3 .

B. 1 .
D. 2 .

Câu 17. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e2 x +1 +
A.

1

x

1 2 x +1
e + ln x + C.
2

1 2 x +1
e + ln x .
2
1
D. e2 x +1 + ln x + C.
2
B.

C. 2e 2 x +1 + ln x + C.
Câu 18. Số nghiệm thực của phương trình 3
A. 3.
B. 2.

x

32 x là
C. 1.

D. 0.

C. f  ( x ) = cot x.ln 3 .

D. f  ( x ) =

Câu 19. Hàm số f ( x ) = log 3 ( sin x ) có đạo hàm là:
A. f  ( x ) =

cot x
.
ln 3

B. f  ( x ) =

tan x
.
ln 3

1
.
lsin x.l n 3

Câu 20. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) , SA = 1 và đáy ABC là tam giác
vuông tại B với AB = 3 . Tính góc giữa mặt phẳng ( SBC ) và mặt phẳng ( ABC ) .
HOÀNG XUÂN NHÀN 458

A. 450 .

B. 600 .

Câu 21. Cho hàm số y =

x2 + 2x + 3
x 4 − 3x 2 + 2

đường tiệm cận
A. 4 .
C. 6 .

C. 300 .

D. 900 .

. Đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu

B. 5 .
D. 7 .

Câu 22. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên

và có đồ thị như hình vẽ bên.

Hỏi đồ thị hàm số y = f ( x ) có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?
A.
B.
C.
D.

6.
5.
7.
8.

Câu 23. Cho hình lục giác đều S.ABCDEF có đường cao h = 6 x và diện tích đáy bằng 12y 2 . Tính theo x, y
thể tích khối chóp S.ABC .
A. xy 2 .
B. 8xy 2 .
C. 4xy 2 .
D. 6xy 2 .
Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đoạn thẳng AB có trung điểm I . Biết A ( 2;1; −1) , I (1; 2;0 )
. Khi đó điểm B có tọa độ là
A. (1; −1; −1) .
B. ( 3;0; −2 ) .
C. ( 0;3;1) .
D. ( −1;1;1) .
Câu 25. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác đều, SA ⊥ ( ABC ) và SA = a . Biết rằng thể tích của khối
S.ABC bằng

A. 3 3a .

3a3 . Tính độ dài cạnh đáy của khối chóp S.ABC .
B. 2 3a .
C. 2a .

D. 2 2a .

Câu 26. Cho hai khối trụ có cùng thể tích, bán kính đáy và chiều cao của hai khối trụ lần lượt là R1 , h1 và R2 , h2
R
h
3
. Biết rằng 1 = . Tính tỉ số 1 bằng
R2 2
h2
9
3
2
4
A. .
B. .
C. .
D. .
4
2
3
9
Câu 27. Trong không gian Oxyz ,cho a = −i + 2 j − 3k . Tọa độ của vectơ a là
A. ( −1; 2; −3) .

B. ( 2; −3; −1) .

Câu 28. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
A. y = 2 x − 3 .

B. y = 2 x + 3 .

C. ( 2; −1; −3) .

D. ( −3; 2; −1) .

−x + 3
tại điểm có hoành độ x = 0 .
x −1
C. y = −2 x + 3 .
D. y = −2 x − 3 .

cos 2 x
dx
2
x cos 2 x
A. F ( x ) = − cos x − sin x + C .

B. F ( x ) = cos x + sin x + C

C. F ( x ) = cot x − tan x + C .

D. F ( x ) = − cot x − tan x + C .

Câu 29. Tìm nguyên hàm

 sin

Câu 30. Trong không gian Oxyz , mặt cầu ( S ) có tâm I (1;1;1) và đi qua điểm A ( 6; 2; −5 ) có phương trình là
A. ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = 74 .
2

2

2

B. ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) = 74 .
2

2

2

HOÀNG XUÂN NHÀN 459

C. ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) = 62 .
2

2

D. ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = 62 .

2

2

2

2

Câu 31. Cho hình lập phương ABCD. ABCD có I , J tương ứng là trung
điểm của BC, BB . Góc giữa hai đường thẳng AC, IJ bằng
A. 300 .
B. 1200 .
C. 600 .
D. 450 .
Câu 32. Biết thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác vuông cân có
diện tích bằng 2a2 . Tính thể tích khối nón đã cho.
2 a 3 2
 a3 2
2 a 3 3
A. V =
.
B. V =
.
C. V =
.
3

Câu 33. Biết

3

6

x +1

 ( x − 1)( x − 2) dx = a ln x −1 + b ln x − 2 + C, (a, b 

A. a + b = 1 .

B. a + b = 5 .

D. V =

 a3 2
3

.

). Tính giá trị của biểu thức a + b.

C. a + b = 5 .

D. a + b = −1 .

Câu 34. Số giao điểm của đồ thị hàm số y = x − 3 x + 1 với trục hoành là
3

A. 0 .

C. 3 .

B. 4 .

D. 2 .

Câu 35. Cho hình thang ABCD với hai đáy là AB và CD . Biết rằng BC = DC = 2 AB = 2 và
ABC = BCD = 900 . Quay miền phẳng giới hạn bởi hình thang
này quanh đường thẳng BC ta thu được một khối tròn xoay.
Tính thể tích của khối tròn xoay đó.
8
14
A.
.
B.
.
3
3
16
7
C.
.
D.
.
3
3
Câu 36. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f  ( x ) = x 2 (1 − x ) , x 
cực tiểu?
A. 3 .

. Hỏi hàm số y = f ( x 2 ) có bao nhiêu điểm

C. 0 .

B. 2 .

Câu 37. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 2x.3x
1
A. 1 .
B. log 3 .
2

2

−1

D. 1 .

= 2 là
C. log 2 3 .

D. −2 .

Câu 38. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm B(0;3;1) , C( 3;6;4) . Gọi M là điểm nằm trên đoạn BC sao
cho MC 2MB . Tính tọa độ điểm M .
A. M ( 1;4; 2) .
B. M ( 1;4;2) .
C. M (1; 4; 2) .
D. M ( 1; 4;2) .
Câu 39. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có các cạnh đều bằng a . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

a 2
a 3
A.
.
B. a 2 .
C. a 3 .
D.
.
2
2
Câu 40. Giá trị lớn nhất của hàm số y =

1
1
− x
trên ( −; 0  bằng
e + 1 4e + 1
x

HOÀNG XUÂN NHÀN 460

A. 0 .

B.

17
.
50

C.

1
.
3

D.

3
.
10

x3
Câu 41. Có bao nhiêu số nguyên m lớn hơn −10 để hàm số f ( x ) = + mx 2 + 3x + 5m − 1 nghịch biến trên
3
khoảng (1;3 ) ?
A. 10 .

B. 8 .

C. 6 .

Câu 42. Cho hàm số f ( x ) xác định trên D =
trị của biểu thức f (1) + f ( −1) bằng
A. ln

16
− 1.
21

D. 4 .

5
3
\   thỏa mãn f  ( x ) =
, f ( 0 ) = 0 và f ( 2 ) = −1. Giá
5x − 3
5
C. 4 + ln15 .

B. 0 .

D. ln

16
+ 1.
21

Câu 43. Cho hình chóp S. ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng chứa đáy, SA = 2a ; đáy ABCD là hình
thang vuông tại A và B , AB = BC = a , AD = 3a . Gọi M là trung điểm của cạnh SD . Tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng AB và CM theo a .
3a
4a
2a
a
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
5
5
5
5
Câu 44. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A ( −1; 2; 2 ) , B ( 3; −1; −2 ) , C ( −4;0;3) . Toạ độ điểm I trên mặt
phẳng ( Oxz ) sao cho biểu thức IA − 2 IB + 3IC đạt giá trị nhỏ nhất là
15 
 19
A. I  − ; 0; −  .
2
 2

15 
 19
B. I  ;0; −  .
2
 2

 19 15 
C. I  − ;0;  .
2
 2

 19 15 
D. I  ;0;  .
2
 2

Câu 45. Cho tập hợp gồm 30 số nguyên dương đầu tiên S = 1; 2;3;...;30 . Lấy ngẫu nhiên cùng một lúc ba số
khác nhau thuộc S . Gọi P là xác suất để lấy được ba số có tích chia hết cho 4. Hỏi P thuộc khoảng
nào sau đây?
A. ( 0,5; 0, 6 ) .
B. ( 0, 6; 0, 7 ) .
C. ( 0,3; 0,5 ) .
D. ( 0, 7; 0,9 ) .
Câu 46. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên

và có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc khoảng ( 0;50 ) của phương trình 2020 f ( sin 2 x ) − 789e = 0 là
A. 10 .

B. 25 .

C. 100 .

D. 4 .

Câu 47. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên R thỏa mãn các điều kiện: f ( 0 ) = 2 2, f ( x )  0, x 



f ( x ) . f  ( x ) = ( 2 x + 1) 1 + f 2 ( x ) , x  . Khi đó giá trị f (1) bằng
A.

26 .

B.

24 .

C.

15 .

D.

23 .

HOÀNG XUÂN NHÀN 461

mx − m − 1
2
5
+
và g ( x) =
. Số giá trị nguyên của tham số m để đồ
x
x −1
5 ln( x + 1)
thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại đúng ba điểm phân biệt là
A. 11.
B. 8 .
C. 10 .
D. 9 .

Câu 48. Cho hai hàm số f ( x) =

Câu 49. Cho hình lập phương ABCD. ABCD có cạnh bằng a , điểm M là trung điểm cạnh BC và I là tâm
hình vuông CDDC . Mặt phẳng ( AMI ) chia khối lập phương thành hai khối đa diện, trong đó khối
đa diện không chứa điểm D có thể tích là V . Khi đó giá trị của V là

A. V =

7 3
a .
36

B. V =

Câu 50. Có tất cả bao nhiêu cặp số

22 3
a .
29

( a; b )

C. V =

7 3
a .
29

D. V =

29 3
a .
36

với a, b là các số nguyên dương thỏa mãn phương trình

log3 ( a + b ) + ( a + b ) = 3 ( a 2 + b2 ) + 3ab ( a + b − 1) + 1 ?
3

A. 2 .

B. 3 .

C. 1 .

D. 4 .

_______________HẾT_______________

HOÀNG XUÂN NHÀN 462

ÑAÙP AÙN ÑEÀ SOÁ 44
1
B
11
D
21
B
31
C
41
C

2
C
12
B
22
B
32
A
42
A

3
A
13
B
23
C
33
A
43
C

4
D
14
D
24
C
34
B
44
C

5
C
15
A
25
B
35
A
45
B

6
D
16
D
26
D
36
D
46
C

7
A
17
D
27
A
37
B
47
B

8
D
18
C
28
D
38
B
48
D

9
C
19
A
29
D
39
A
49
D

10
A
20
C
30
D
40
C
50
A

Lôøi giaûi caâu hoûi vaän duïng cao ñeà soá 44
Câu 44. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A ( −1; 2; 2 ) , B ( 3; −1; −2 ) , C ( −4;0;3) . Toạ độ điểm I trên mặt
phẳng ( Oxz ) sao cho biểu thức IA − 2 IB + 3IC đạt giá trị nhỏ nhất là
15 
 19
A. I  − ; 0; −  .
2
 2

15 
 19
B. I  ;0; −  .
C.
2
 2
Lời giải:

 19 15 
I  − ;0;  .
2
 2

 19 15 
D. I  ;0;  .
2
 2

▪ Chọn điểm K sao cho KA − 2 KB + 3KC = 0. Khi đó:
19

( −1 − xK ) − 2 ( 3 − xK ) + 3 ( −4 − xK ) = 0  x = − 2


 19 15 
( 2 − yK ) − 2 ( −1 − yK ) + 3 ( 0 − yK ) = 0   yK = 2  K  − ; 2;  .
2
 2


15
2

z

2

2

z
+
3
3

z
=
0
(
)
(
)
(
)
K
K
K

 zK =
2




▪ Ta có: IA − 2 IB + 3IC = IK + KA − 2IK − 2 KB + 3IK + 3KC = 2IK +  KA − 2KB + 3KC  = 2IK .


=0


▪ IK đạt giá trị nhỏ nhất khi I là hình chiếu vuông góc của K lên mặt phẳng ( Oxz ) .
 19 15 
Vậy I  − ;0;  . Chọn C.
2
 2

Câu 45. Cho tập hợp gồm 30 số nguyên dương đầu tiên S = 1; 2;3;...;30 . Lấy ngẫu nhiên cùng một lúc ba số
khác nhau thuộc S . Gọi P là xác suất để lấy được ba số có tích chia hết cho 4. Hỏi P thuộc khoảng
nào sau đây?
A. ( 0,5; 0, 6 ) .
B. ( 0, 6; 0, 7 ) .
C. ( 0,3; 0,5 ) .
D. ( 0, 7; 0,9 ) .
Lời giải:
▪ Gọi  là không gian mẫu, suy ra n (  ) = C303 .

HOÀNG XUÂN NHÀN 463

▪ Đặt B = 1;3;5;7;...; 29 tập hợp các số lẻ thuộc S , C = 4;8;12;...; 28 là tập hợp các số chẵn thuộc
tập S chia hết cho 4, D = 2;6;10;...; 26;30 là tập hợp các số chẵn thuộc tập S chia cho 4 dư 2.
Gọi A là biến cố ba số được chọn có tích chia hết cho 4.Ta xét các khả năng sau:
▪ Trường hợp 1: 3 số được chọn thuộc tập C  D nên có C153 cách chọn.
▪ Trường hợp 2: 3 số được chọn có 2 số thuộc tập B và 1 số thuộc thuộc tập C nên có C152 .C71 cách
chọn.
▪ Trường hợp 3: 3 số được chọn có 1 số thuộc tập B và 2 số thuộc thuộc tập C  D nên có C151 .C152
cách chọn.
Do đó n ( A ) = C153 + C152 .C71 + C151 .C152 .
▪ Vậy

xác suất
để
lấy được ba
số

3
2
1
1
2
n ( A, ) C15 + C15 .C7 + C15 .C15 79
P=
=
=
 0,68 . Chọn B.
n ( )
C303
116

4



Câu 47. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên R thỏa mãn các điều kiện: f ( 0 ) = 2 2, f ( x )  0, x 



Câu 46. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên

tích

chia

hết

cho

và có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc khoảng ( 0;50 ) của phương trình 2020 f ( sin 2 x ) − 789e = 0 là
A. 10 .

B. 25 .

C. 100 .

D. 4 .

Lời giải :

sin 2 x = a  −1
 2
789e
sin x = b  ( −1;0 )
2
2
▪ Ta có: 2020 f ( sin x ) − 789e = 0  f ( sin x ) =
.
 1, 06...   2
2020
sin
x
=
c

0;1
(
)

sin 2 x = d  1

2
2
▪ Vì sin x   0;1 nên chỉ có sin x = c  ( 0;1) thỏa mãn.

sin x = − c  ( −1;0 )
Ta có: sin 2 x = c  
.
sin x = c  ( 0;1)
Dựa vào đường tròn lượng giác, ta kết luận:
o sin x = − c  ( −1;0 ) có 50 nghiệm.
o

sin x = c  ( 0;1) có 50 nghiệm.

▪ Vậy phương trình đã cho có 100 nghiệm. Chọn C.

f ( x ) . f  ( x ) = ( 2 x + 1) 1 + f 2 ( x ) , x  . Khi đó giá trị f (1) bằng
A.

26 .

B.

24 .

C.

15 .

D.

23 .

HOÀNG XUÂN NHÀN 464

Lời giải:
f ( x). f ( x)
▪ Ta có f ( x ) . f  ( x ) = ( 2 x + 1) 1 + f 2 ( x ) 
= ( 2 x + 1) .
1+ f 2 ( x)
Suy ra



f ( x). f ( x)
1+ f

2

( x)

dx =  ( 2 x + 1)dx  

d (1 + f 2 ( x ) )
2 1+ f

(

▪ Theo giả thiết f ( 0 ) = 2 2 , suy ra 1 + 2 2

)

2

2

( x)

=  ( 2 x + 1)dx  1 + f 2 ( x ) = x 2 + x + C .

= C  C = 3.

Với C = 3 thì 1 + f 2 ( x ) = x 2 + x + 3  f ( x ) =

(x

2

+ x + 3) − 1 . Vậy f (1) = 24 . Chọn B.
2

mx − m − 1
2
5
+
và g ( x) =
. Số giá trị nguyên của tham số m để đồ
x
x −1
5 ln( x + 1)
thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại đúng ba điểm phân biệt là
A. 11.
B. 8 .
C. 10 .
D. 9 .
Lời giải:
2
5
mx − m − 1
2
5
mx − m − 1
▪ Phương trình hoành độ giao điểm: x +
=
 x+

=0.
5 ln( x + 1)
x −1
5 ln( x + 1)
x −1
2
5
mx − m − 1

▪ Xét hàm h( x) = x +
, có D = (−1; +) \ 0;1 , ta có:
5 ln( x + 1)
x −1
2.ln 5
5
1
h( x) = − x −

 0, x  D .
2
5
( x + 1).ln ( x + 1) ( x − 1) 2
▪ Ta có lim h( x) = −m; lim+ h( x) = +; lim− h( x) = −; lim+ h( x) = +; lim− h( x) = − ;

Câu 48. Cho hai hàm số f ( x) =

x→+

x→1

x→1

x→0

x→0

19
lim+ h( x) = − m. Từ đây ta có được bảng biến thiên hàm h( x) .
x→−1
2

−m  0
19

 0  m  . Do m
▪ Yêu cầu bài toán  19
2
 2 − m  0

nên m  1;2;...;9 . Chọn D.

Câu 49. Cho hình lập phương ABCD. ABCD có cạnh bằng a , điểm M là trung điểm cạnh BC và I là tâm
hình vuông CDDC . Mặt phẳng ( AMI ) chia khối lập phương thành hai khối đa diện, trong đó khối
đa diện không chứa điểm D có thể tích là V . Khi đó giá trị của V là

HOÀNG XUÂN NHÀN 465

A. V =

7 3
a .
36

B. V =

22 3
a .
29

C. V =

7 3
a .
29

D. V =

29 3
a .
36

Lời giải:

▪ Trong ( ABCD ) , gọi E = AM  CD . Trong ( CDDC  ) , gọi F = EI  CC và G = EI  DD .
▪ Ta có : V = VABCD. ABC D − VAMFGCD = a3 − VAMFGCD (1). Mặt khác: VAMFGCD = VE. ADG − VE.MCF .

EM EC EF 1 MC
=
=
= =
(do M là trung điểm BC ).
EA ED EG 2 AD
V
EM EC EF 1
7
7 1
7
.
.
=  VAMFGCD = VG. AED = . .GD.SAED =
.GD.S AED (2).
Xét: E .MCF =
VE . ADG
EA ED EG 8
8
8 3
24
CF EC 1
1
1
2
2a
=
=  CF = CG  DG = DG (do CF = DG )  DG = DD =
▪ Ta có:
(3).
DG ED 2
2
2
3
3
SAED = S ABCD = a 2 (4). (do hai tam giác ABM , ECM bằng nhau).
7 2a
29 3
a . Chọn D.
▪ Từ (1), (2), (3), (4), ta suy ra V = a3 − VAMFGCD = a 3 − . .a 2 =
24 3
36
Ta lại có:

Câu 50. Có tất cả bao nhiêu cặp số

( a; b )

với a, b là các số nguyên dương thỏa mãn phương trình

log3 ( a + b ) + ( a + b ) = 3 ( a 2 + b2 ) + 3ab ( a + b − 1) + 1 ?
3

A. 2 .

B. 3 .

C. 1 .

D. 4 .

Lời giải:
3
▪ Với các số nguyên dương a, b, ta có: log3 ( a + b ) + ( a + b ) = 3 a 2 + b2 + 3ab ( a + b − 1) + 1

(

)

HOÀNG XUÂN NHÀN 466

a 3 + b3
+ a3 + b3 + 3ab ( a + b ) = 3 ( a 2 + b 2 − ab ) + 3ab ( a + b ) + 1
2
2
a + b − ab
 log3 ( a3 + b3 ) + a3 + b3 = log3 3 ( a 2 + b2 − ab ) + 3 ( a 2 + b2 − ab ) (1) .

 log3

1
+ 1  0  f ( t ) đồng biến trên ( 0; + ) .
t ln 3
 a 2 + b 2 − ab = 0 (2)
3
3
2
2
2
2
Khi đó: (1)  a + b = 3 ( a + b − ab )  ( a + b − ab ) ( a + b − 3) = 0  
.
 a + b = 3 (3)

▪ Xét hàm f ( t ) = log 3 t + t , t  ( 0; + ) . Ta có: f  ( t ) =

▪ Ta chứng minh được (2) vô lí, do đó chỉ còn (3): a + b = 3 . Các cặp số nguyên ( a; b ) thỏa mãn là

(1; 2 ) , ( 2;1) . Chọn A.

HOÀNG XUÂN NHÀN 467