Tích phân ôn thi đại học năm 2016

Traàn Só Tuøng Tích phaân Trang Nhaéc laïi Giôùi haïn Ñaïo haøm Vi phaân 1. Caùc giôùi haïn ñaëc bieät: a) ®=x0sinxlim1x Heä quaû: ®=x0xlim1sinx ®=u(x)0sinu(x)lim1u(x) ®=u(x)0u(x)lim1sinu(x) b) xx1lim1e,xRx ®¥æö+=Îç÷èø Heä quaû: 1xx0lim(1x)e.®+= x0ln(1x)lim1x ®+= xx0e1lim1x ®-= 2. Baûng ñaïo haøm caùc haøm soá sô caáp cô baûn vaø caùc heä quaû: (c)’ (c laø haèng soá) 1(x)\'xaa-=a 1(u)\'uu\'aa-=a 211\'xxæö=-ç÷èø 21u\'\'uuæö=-ç÷èø ()1x\'2x= ()u\'u\'2u= xx(e)\'e= uu(e)\'u\'.e= xx(a)\'a.lna= uu(a)\'a.lna.u\'= 1(lnx)\'x= u\'(lnu)\'u= a1(logx\')x.lna= au\'(logu)\'u.lna= (sinx)’ cosx (sinu)’ u’.cosu 221(tgx)\'1tgxcosx ==+ 22u\'(tgu)\'(1tgu).u\'cosu ==+ 221(cotgx)\'(1cotgx)sinx-==-+ 22u\'(cotgu)\'(1cotgu).u\'sinu-==-+ 3. Vi phaân: Cho haøm soá f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a b) vaø coù ñaïo haøm taïi x(a;b)Î. Cho soá gia Dx taïi sao cho xx(a;b)+DÎ. Ta goïi tích y’.Dx (hoaëc f’(x).Dx) laø vi phaân cuûa haøm soá f(x) taïi x, kyù hieäu laø dy (hoaëc df(x)). dy y’.Dx (hoaëc df(x) f’(x).Dx AÙp duïng ñònh nghóa treân vaøo haøm soá x, thì dx (x)’Dx 1.Dx Dx Vì vaäy ta coù: dy y’dx (hoaëc df(x) f’(x)dx)Tích phaân Traàn Só Tuøng Trang NGUYEÂN HAØM VAØ TÍCH PHAÂN 1. Ñònh nghóa: Haøm soá F(x) ñöôïc goïi laø nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng (a b) neáu moïi thuoäc (a b), ta coù: F’(x) f(x). Neáu thay cho khoaûng (a b) laø ñoaïn [a b] thì phaûi coù theâm: F\'(a)f(x)vaøF\'(b)f(b)+-== 2. Ñònh lyù: Neáu F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng (a b) thì a/ Vôùi moïi haèng soá C, F(x) cuõng laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng ñoù. b/ Ngöôïc laïi, moïi nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng (a b) ñeàu coù theå vieát döôùi daïng: F(x) vôùi laø moät haèng soá. Ngöôøi ta kyù hieäu hoï taát caû caùc nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) laø f(x)dx.ò Do ñoù vieát: f(x)dxF(x)C=+ò Boå ñeà: Neáu F¢(x) treân khoaûng (a b) thì F(x) khoâng ñoåi treân khoaûng ñoù. 3. Caùc tính chaát cuûa nguyeân haøm: ()f(x)dx\'f(x)=ò af(x)dxaf(x)dx(a0)=¹òò []f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx+=+òòò [][]f(t)dtF(t)Cfu(x)u\'(x)dxFu(x)CF(u)C(uu(x))=+Þ=+=+=òò 4. Söï toàn taïi nguyeân haøm: Ñònh lyù: Moïi haøm soá f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a b] ñeàu coù nguyeân haøm treân ñoaïn ñoù. §Baøi 1: NGUYEÂN HAØMTraàn Só Tuøng Tích phaân Trang BAÛNG CAÙC NGUYEÂN HAØM Nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sô caáp thöôøng gaëp Nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá hôïp (döôùi ñaây u(x)) dxxC=+ò duuC=+ò 1xxdxC(1)1 a+a=+a¹-a+ 1uuduC(1)1 a+a=+a¹-a+ dxlnxC(x0)x=+¹ò dulnuC(uu(x)0)u=+=¹ò xxedxeC=+ò uuedueC=+ò xxaadxC(0a1)lna=+<¹ò uuaaduC(0a1)lna=+<¹ò cosxdxsinxC=+ò cosudusinuC=+ò sinxdxcosxC=-+ò sinuducosuC=-+ò 22dx(1tgx)dxtgxCcosx=+=+òò 22du(1tgu)dutguCcosu=+=+òò 22dx(1cotgx)dxcotgxCsinx=+=-+òò 22du(1cotgu)ducotguCsinu=+=-+òò dxxC(x0)2x=+>ò duuC(u0)2u=+>ò 1cos(axb)dxsin(axb)C(a0)a+=++¹ò 1sin(axb)dxcos(axb)C(a0)a+=-++¹ò dx1lnaxbCaxba=+++ axbaxb1edxeC(a0)a ++=+¹ò dx2axbC(a0)aaxb=++¹+ òTích phaân Traàn Só Tuøng Trang Vaán ñeà 1: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM BAÈNG ÑÒNH NGHÓA Baøi toaùn 1: CMR F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân (a b) PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: Böôùc 1: Xaùc ñònh F’(x) treân (a b) Böôùc 2: Chöùng toû raèng F\'(x)f(x)vôùix(a;b)=\"Î Chuù yù: Neáu thay (a b) baèng [a b] thì phaûi thöïc hieän chi tieát hôn, nhö sau: Böôùc 1: Xaùc ñònh F’(x) treân (a b) Xaùc ñònh F’(a+) Xaùc ñònh F’(b–) Böôùc 2: Chöùng toû raèng F\'(x)f(x),x(a;b)F\'(a)f(a)F\'(b)f(b)+-=\"Îìï=íï=î Ví duï 1: CMR haøm soá: 2F(x)ln(xxa)=++ vôùi laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá 21f(x)xa=+ treân R. Giaûi: Ta coù: 222222x1(xxa)\'2xaF\'(x)[ln(xxa)]\'xxaxxa++++=++==++++ 2222xax1f(x)xa(xxa)xa++===++++ Vaäy F(x) vôùi laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân R. Ví duï 2: CMR haøm soá: x2ekhix0F(x)xx1khix0ì³ï=í++<ïî Laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá xekhix0f(x)2x1khix0ì³=í+<î treân R. Giaûi: Ñeå tính ñaïo haøm cuûa haøm soá F(x) ta ñi xeùt hai tröôøng hôïp: a/ Vôùi x0¹, ta coù: xekhix0F\'(x)2x1khix0ì>=í+<î b/ Vôùi 0, ta coù:Traàn Só Tuøng Tích phaân Trang Ñaïo haøm beân traùi cuûa haøm soá taïi ñieåm x0 0. 20x0x0F(x)F(0)xx1eF\'(0)limlim1.x0x -- -®®-++-===- Ñaïo haøm beân phaûi cuûa haøm soá taïi ñieåm x0 0. x0x0x0F(x)F(0)eeF\'(0)limlim1.x0x ++ +®®--===- Nhaän xeùt raèng F\'(0)F\'(0)1F\'(0)1.-+==Þ= Toùm laïi: xekhix0F\'(x)f(x)2x1khix0 ì³==í+<î Vaäy F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân R. Baøi toaùn 2: Xaùc ñònh caùc giaù trò cuûa tham soá ñeå F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân (a b). PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: Böôùc 1: Xaùc ñònh F’(x) treân (a b) Böôùc 2: Ñeå F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân (a b), ñieàu kieän laø: F\'(x)f(x)vôùix(a;b)=\"Î Duøng ñoàng nhaát cuûa haøm ña thöùc giaù trò tham soá. Chuù yù: Neáu thay (a b) baèng [a b] thì phaûi thöïc hieän chi tieát hôn, nhö sau: Böôùc 1: Xaùc ñònh F’(x) treân (a b) Xaùc ñònh F’(a+) Xaùc ñònh F’(b–) Böôùc 2: Ñeå F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân (a b), ñieàu kieän laø: F\'(x)f(x),x(a;b)F\'(a)f(a)F\'(b)f(b)+-=\"Îìï=íï=î giaù trò cuûa tham soá. Baøi toaùn 3: Tìm haèng soá tích phaân PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Duøng coâng thöùc ñaõ hoïc, tìm nguyeân haøm: F(x) G(x) Döïa vaøo ñeà baøi ñaõ cho ñeå tìm haèng soá C. Thay giaù trò vaøo (*), ta coù nguyeân haøm caàn tìm.