TỈ LỆ THỂ TÍCH TOÁN 12

TỈ LỆ THỂ TÍCH A- LÝ THUYẾT CHUNG 1. Hai khối chóp S.A1 A2 ...An và S.B1B2 ...Bm có chung đỉnh S và hai mặt đáy cùng nằm trên một mặt VS . A1 A2 ... An S A1 A2 ... An  phẳng, ta có: VS .B1B2 ...Bm S B1B2 ...Bm 2. Hai khối chóp tam giác S. ABC có A  SA, B  SB, C '  SC ta có: VS . A ' B 'C ' SA SB SC   . . vS . ABC SA SB SC 3. Kiến thức cần nhớ đối với khối lăng trụ tam giác và khối hộp. VA. ABC  V 2V , VA.BCC B  . 3 3 VA. ABD  V V , VBDAC   . 6 3 4. Một số công thức nhanh cho các trường hợp hay gặp 2 2 BH  AB  CH  AC  Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH có    ,  . BC  BC  CB  BC  Mặt phẳng   song song với mặt đáy của khối chóp S.A1 A2 ...An cắt SAk tại điểm M k thỏa mãn VS .M1M 2 ...M n SM k  p3 .  p, ta có SAk VS . A1 A2 ... An Hình lăng trụ tam giác ABC. ABC có AM BN CP x yz  x,  y,  z có VABC .MNP  V. AA BB CC  3 AM BN CP  x,  y,  z . Mặt phẳng  MNP  cắt DD ' tại Q thì ta AA BB CC  DQ x y  z t có đẳng thức x  z  y  t với t  và VABCD.MNPQ  V. DD 4 Hình hộp ABCD. ABCD có SM SN SP  x,  y,  z . Mặt phẳng SA SB SC SQ 1 1 1 1 thức với t  và    SD x z y t Hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và  MNP  VS .MNPQ  cắt SD tại Q thì ta có đẳng  1 1 1 1 1 xyzt     V . 4 x y z t Định lí Meneleus cho 3 điểm thẳng hàng đường thẳng AB, BC, CA lần lượt tại M , N , P. MA NB PC . .  1 với MNP là một đường thẳng cắt ba MB NC PA B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho hình chóp S. ABC .Trên cạnh SA lấy các điểm M , N sao cho SM  MN  NA .Gọi   ,    là các mặt phẳng song song với mặt phẳng  ABC  và lần lượt đi qua M , N .Khi đó hai mặt phẳng   ,    chia khối chóp đã cho thành 3 phần.Nếu phần trên cùng có thể tích là 10dm3 tích hai phần còn lại lần lượt là? Câu 2: A. 80 dm3 và 190 dm3 . B. 70 dm3 và 190 dm3 . C. 70 dm3 và 200 dm3 . D. 80 dm3 và 180 dm3 . Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng V . Gọi SM 1 SN 2 SP 1  ,  ,  . M , N , P lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB, SC sao cho SA 2 SB 3 SC 3 Mặt phẳng  MNP  cắt cạnh SD tại điểm Q . Tính thể tích khối đa diện ABCD.MNPQ . A. Câu 3: 5 V. 63 B. 10 V. 63 C. 53 V. 63 D. 58 V. 63 Cho khối chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB  3a , AD  a , SA vuông góc với đáy và SA  a . Mặt phẳng   qua A vuông góc với SC cắt SB , SC , SD lần lượt tại M , N , P . Tính thể tích khối chóp S. AMNP . 3 3a 3 A. . 40 Câu 4: B. 3a 3 . 40 3a 3 C. . 10 3a 3 D. . 30 Cho khối chóp S. ABCD có thể tích V và đáy là hình bình hành. Điểm S  thỏa mãn SS   k DC  k  0  . Biết thể tích phần chung của hai khối chóp S. ABCD và S . ABCD là 7 V . Tìm k . 25 A. k  9 . Câu 5: B. k  6 . C. k  11 . D. k  4 . Cho hình chóp S. ABC có tất cả các cạnh đều bằng a . Một mặt phẳng  P  song song với mặt đáy  ABC  cắt các cạnh SA , SB , SC lần lượt tại M , N , P . Tính diện tích tam giác MNP biết  P  chia khối chóp đã cho thành hai khối đa diện có thể tích bằng nhau. A. S MNP  Câu 6: a2. 3 . 8 B. S MNP  a3. 3 . 16 C. SMNP  a2. 3 43 2 D. SMNP  a2. 3 . 43 4 Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  a, AD  b và cạnh bên SA  c vuông góc với mặt phẳng  ABCD  . Gọi M là một điểm trên cạnh SA sao cho AM  x  0  x  c  . Tìm x để mặt phẳng  MBC  chia khối chóp thành hai khối đa diện có thể tích bằng nhau. A. x  Câu 7: SM 3  13  . SA 2  2  3  ab . 2c C. x  3  5  c . 2 D. x    5  1 ab 2c . B. SM 4  26 .  SA 2 C. SM 3  17  . SA 2 D. SM 3  23 .  SA 2 Cho điểm M trên cạnh SA , điểm N trên cạnh SB của hình chóp tam giác S. ABC có thể tích SM 1 SN bằng V sao cho  ,  x . Mặt phẳng  P  qua MN và song song với SC chia khối SA 3 SB chóp S. ABC thành hai khối đa diện có thể tích bằng nhau. Tính x . A. x  Câu 9: 2 B. x  Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang với AB / /CD và CD  4 AB .Gọi M SM là 1 điểm trên cạnh SA sao cho 0  AM  SA . Tìm tỉ số sao cho mặt phẳng  CDM  SA chia khối chóp đã cho thành hai khối đa diện có thể tích bằng nhau: A. Câu 8: 3  2  c . 4 5 3 B. x  8  10 6 C. x  4 5 6 D. x  8  10 9 Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a , Gọi M , N là trung điểm các cạnh AB , BC svà BD E là điểm thuộc tia đối DB sao cho  k . Tìm k để mặt phẳng  MNE  chia khối tứ BE diện thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh B có thể tích là A. k  6 . 5 B. k  6 . C. k  4 . 11 2a 3 . 294 D. V  5 . Câu 10: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng 2cm. Gọi M , N , P lần lượt là trọng tâm của ba tam giác ABC, ABD, ACD. Tính thể tích V của khối chóp AMNP. A. V  2 cm3 . 162 B. V  2 2 3 cm . 81 C. V  4 2 3 cm . 81 D. V  2 cm3 . 144 Câu 11: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc 60 . Gọi M là điểm đối xứng của C qua D , N là trung điểm SC. Mặt phẳng  BMN  chia khối chóp S. ABCD thành hai phần. Tỉ số thể tích giữa hai phần (phần lớn trên phần bé) bằng: A. 7 . 5 B. 1 . 7 C. 7 . 3 D. 6 . 5 Câu 12: (Hình học không gian) Cho tứ diện ABCD và M , N , P lần lượt thuộc BC, BD, AC sao cho BC  4BM , BD  2BN , AC  3 AP. Mặt phẳng  MNP  cắt AD tại Q. Tính tỷ số thể tích hai phần khối tứ diện ABCD bị chia bởi mặt phẳng  MNP  . A. 2 3 B. 7 13 C. 5 13 D. 1 3 Câu 13: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ', có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a 2 . Lấy M, N lần lượt trên cạnh AB ', A ' C sao cho AM A ' N 1   . Tính thể tích V của khối AB ' A ' C 3 BMNC ' C. A. a3 6 108 B. 2a 3 6 27 C. 3a 3 6 108 D. a3 6 27 Câu 14: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, góc giữa mặt bên 1 và phẳng đáy là  thỏa mãn cos = . Mặt phẳng  P  qua AC và vuông góc với mặt 3 phẳng  SAD  chia khối chóp S. ABCD thành hai khối đa diện. Tỉ lệ thể tích hai khối đa diện là gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau: A. 0,11 B. 0,13 C. 0,7 D. 0,9 Câu 15: Cho tứ diện S. ABC , M và N là các điểm thuộc các cạnh SA và SB sao cho MA  2SM , SN  2 NB , ( ) là mặt phẳng qua MN và song song với SC . Kí hiệu ( H1 ) và ( H2 ) là các khối đa diện có được khi chia khối tứ diện S. ABC bởi mặt phẳng ( ) , trong đó, ( H1 ) chứa điểm S , ( H2 ) chứa điểm A ; V1 và V2 lần lượt là thể tích của ( H1 ) và ( H2 ) . Tính tỉ số A. 4 5 B. 5 4 C. 3 4 D. V1 . V2 4 3 Câu 16: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a 3 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a. A. 3 3a 3 20 3a 3 20 B. Câu 17: Cho tứ diện đều C C 3 3a 3 10 D. cạnh a. Mặt phẳng (P) chứa cạnh C cắt cạnh tại . iết góc 5 2 . 7 ọi thể tích của hai giữa hai mặt phẳng (P) và ( C ) có số đo là  thỏa mãn tan   tứ diện A. 3 8 3 5a 3 10 C và tứ diện C B. lần lượt là V1 và V2 . Tính tỷ số 1 8 C. 3 5 V1 . V2 D. 5 8 Câu 18: Cho khối chóp S. ABC có SA  6, SB  2, SC  4, AB  2 10 và SBC  90 , ASC  120 . Mặt phẳng  P  qua B và trung điểm N của SC và vuông góc với mặt phẳng  SAC  cắt cạnh SA tại M . Tính tỉ số thể tích VS .MBN . VS . ABC A. 2 . 9 B. 2 . 5 C. 1 . 6 D. 1 . 4 Câu 19: Khối tứ diện ABCD có thể tích V , khối tứ diện A1B1C1D1 có thể tích V1 , các đỉnh A1 , B1 , C1 , D1 lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, CDA, DAB,ABC . Khối tứ diện A2 B2C2 D2 có thể tích V2 , các đỉnh A2 , B2 , C2 , D2 lần lượt là trọng tâm của các tam giác B1C1D1 , C1D1 A1 , D1 A1B1 , A1B1C1 . Cứ tiếp tục như thế ta được khối tứ diện An BnCn Dn có thể tích Vn , các đỉnh An , Bn , Cn , Dn lần lượt là trọng tâm của các tam giác Bn1Cn1Dn1 , Cn1Dn1 An1 , Dn1 An1Bn1 , An1Bn1Cn1 . Tính S  V1  V2  ...  V2018 ? 3 A. S  2018  1V 2.32018  27 C. S  2018 .  1 V 26.27 2018  27 B. S  2019  1V 26.27 2019 3 D. S   1V 2019 . 2019 2.3 . . Câu 20: Cho khối lăng trụ tam giác ABC. ABC . Gọi M , N lần lượt thuộc các cạnh bên AA, CC sao cho MA  MA; NC  4 NC . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Hỏi trong bốn khối tứ diện GABC, BBMN , ABBC và ABCN , khối tứ diện nào có thể tích nhỏ nhất? A. Khối ABCN . B. Khối GABC . C. Khối ABBC . D. Khối BBMN . Câu 21: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A’B’C’ , có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a 2 . Lấy M , N lần lượt trên cạnh AB’, A’C sao cho AM AB ' A'N A 'C 1 . Tính thể tích V của khối 3 BMNC’C. 2a 3 6 B. 27 a3 6 A. 108 3a 3 6 C. 108 a3 6 D. 27 Câu 22: Cho khối lập phương ABCD. ABCD cạnh a . Các điểm E và F lần lượt là trung điểm của CB và C D . Mặt phẳng  AEF  cắt khối lập phương đã cho thành hai phần, gọi V1 là thể tich khối chứa điểm A và V2 là thể tich khối chứa điểm C ' . Khi đó A. 25 . 47 B. 1. C. 17 . 25 V1 là V2 D. 8 . 17 Câu 23: Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' cạnh a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của A ' B ' và BC. Mặt phẳng  DMN  chia khối lập phương đã cho thành hai khối đa diện. Gọi H  A. là khối đa diện chứa đỉnh A,  H ' là khối đa diện còn lại. Tính tỉ số V H  V H '  37 48 B. V H  V H '  55 89 C. V H  V H '  2 3 V H  V H ' D. . V H  V H '  1 2 Câu 24: Cho hình lập phương ABCD. ABCD cạnh a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC . Mặt phẳng ( DMN ) chia hình lập phương thành 2 phần. Gọi V1 là thể tích của phần chứa đỉnh A, V2 là thể tích của phần còn lại. Tính tỉ số A. 2 . 3 B. 55 . 89 C. 37 . 48 V1 . V2 D. 1 . 2 Câu 25: Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’. Gọi M là trung điểm ’ ’. Mặt phẳng (P) qua M đồng thời song song với B’D’. Biết mặt phẳng (P) chia khối hộp thành hai khối có thể tích là V V1 ,V2 (Trong đó V1 là thể tích khối chứa A). Tính tỉ số F  1 . V2 A. 7 . 17 B. 1. C. 17 . 25 D. 8 . 17 Câu 26: Cho khối lăng trụ tam giác ABC. A’B’C’. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AA’ và B’C’. Mặt phẳng (IJK) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó. A. 25 . 47 B. 1. C. 49 . 95 D. 8 . 17 CỰC TRỊ TỈ LỆ THỂ TÍCH Câu 27: Cho hình chóp tứ giác S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Các điểm A , C thỏa 1 1 mãn SA  SA, SC   SC . Mặt phẳng  P  chứa đường thẳng AC cắt các cạnh SB, SD 3 5 V lần lượt tại B, D và đặt k  S . ABC D . Giá trị nhỏ nhất của k là bao nhiêu? VS . ABCD A. 1 . 60 B. 1 . 30 C. 4 . 15 D. 15 . 16 Câu 28: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi C là trung điểm cạnh SC . V Mặt phẳng  P  chứa đường thẳng AC  cắt các cạnh SB, SD tại B, D . Đặt m  S . BC D . VS . ABCD Giá trị nhỏ nhất của m bằng : A. 2 . 27 B. 4 . 27 C. 1 . 9 D. 2 . 9 Câu 29: Cho khối tứ diện đều S. ABC cạnh bằng a . Mặt phẳng  P  đi qua S và trọng tâm của tam giác ABC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M , N . Đặt m  bằng VS . AMN . Giá trị nhỏ nhất của m VS . ABC A. 2 . 3 B. 2 . 9 C. 4 . 9 D. 1 . 3 Câu 30: Cho hình chóp S. ABCD có thể tích V và đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng qua A và trung điểm N cạnh SC cắt cạnh SB, SD lần lượt tại M , P . Tính thể tích nhỏ nhất của khối chóp S. AMNP . A. V . 8 B. 3V . 8 C. V . 4 D. V . 3 Câu 31: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình hình hành. Các điểm A , C thỏa 1 1 mãn SA  SA, SC   SC . Mặt phẳng  P  chứa đường thẳng AC cắt các cạnh SB, SD 3 5 V lần lượt tại B, D và đặt k  S . ABC D . Tính giá trị lớn nhất của k là bao nhiêu? VS . ABCD A. 4 . 105 B. 1 . 30 C. 4 . 15 D. 4 . 27 Câu 32: Cho hình chóp S. ABCD có ABCD là hình bình hành và có thể tích V . Gọi M , N thứ tự là các điểm di động trên các cạnh AB, AD sao cho AB 2 AD   4 . Gọi V ' là thể tích khối AM AN chóp S. AMN . Tìm giá trị nhỏ nhất của V ' . A. 1 V 4 B. 1 V 6 1 C. V 8 1 D. V 3 Câu 33: Cho hình chóp S. ABCD có ABCD là hình bình hành và có thể tích V . Gọi M , N thứ tự là các điểm di động trên các cạnh AB, AD sao cho AB 2 AD   4 . Gọi V ' là thể tích khối AM AN chóp S.MBCDN . Tìm giá trị lớn nhất của V ' . A. 1 V 4 B. 2 V 3 C. 3 V 4 1 D. V 3 Câu 34: Cho hình chóp S. ABCD có thể tích V , đáy là hình bình hành. Mặt phẳng   đi qua A , trung điểm I của SO cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại M , N , P . Tính thể tích nhỏ nhất của khối chóp S. AMNP . A. V . 18 B. V . 3 C. V . 6 D. 3V . 8 Câu 35: Cho hình chóp S. ABCD, SA là đường cao, đáy là hình chữ nhật với SA  a, AB  b, AD  c. Trong mặt phẳng  SDB  lấy G là trọng tâm tam giác SDB , qua G kẻ đường thẳng d cắt cạnh BS tại M, cắt cạnh SD tại N, mp  AMN  cắt SC tại K. Xác định M thuộc SB sao cho VSAMKN đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đó. A. VSAMKN max  abc abc ,VSAMKN min  8 9 B. VSAMKN max  abc abc ,VSAMKN min  8 10 C. VSAMKN max  abc abc ,VSAMKN min  9 10 D. VSAMKN max  abc abc ,VSAMKN min  10 11 Câu 36: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Các điểm A ', C ' thỏa mãn 1 1 SA '  SA , SC '  SC . Mặt phẳng  P  chứa đường thẳng A ' C ' cắt các cạnh SB, SD lần 3 5 V lượt tại B ', D ' và đặt k  S . A ' B 'C ' D ' . Giá trị lớn nhất của k là? VS . ABCD A. 4 . 105 B. 1 . 30 C. 4 . 15 D. 4 . 27 Câu 37: Cho khối chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Một mặt phẳng song song với đáy cắt các cạnh bên SA , SB , SC , SD lần lượt tại M , N , P , Q . Gọi M  , N  , P  , Q lần lượt là hình chiếu của M , N , P , Q trên mặt phẳng đáy. Tìm tỉ số SM để thể tích khối đa diện SA MNPQ.M N PQ đạt giá trị lớn nhất. A. 3 . 4 B. 2 . 3 C. 1 2 D. 1 . 3 Câu 38: Cho khối chóp S. ABC . Một mặt phẳng song song với đáy cắt các cạnh bên SA , SB , SC lần lượt tại M , N , P . Gọi M  , N  , P  lần lượt là hình chiếu của M , N , P trên mặt phẳng SM đáy. Tìm tỉ số để thể tích khối đa diện MNP. M N P đạt giá trị lớn nhất. SA A. 3 . 4 B. 2 . 3 C. 1 . 2 D. . . . Câu 39: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V . Điểm P là trung điểm của SC, một mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD và SB lần lượt tại M và N . Gọi V1 là thể tích của khối chóp S. AMPN . Tìm giá trị nhỏ nhất của A. 1 . 8 B. 2 . 3 C. V1 ? V 3 . 8 D. 1 . 3  Câu 40: Cho hình chóp S.ABC có ASB  BSC  CSA  30 và SA  SB  SC  a . Mặt phẳng  P  qua A cắt hai cạnh SB, SC lần lượt tại B, C sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất. Gọi V1 ,V2 lầ lượt là thể tích các khối chóp S. ABC, S. ABC . Tính tỉ số V1 . V2 V1  3 1 . V2 D. A. V1  3 2 2 . V2 B. C. V1  42 3 . V2 V1  2 1 . V2 Câu 41: Cho khối chóp S.ABC có SA  SB  SC  a ASB  60 , BSC  90 , ASC  120 . Gọi CN AM . Khi khoảng cách giữa  M , N lần lượt là các điểm trên cạnh AB và SC sao cho SC AB M và N nhỏ nhất, tính thể tích V của khối chóp S. AMN . A. 2a 3 . 72 B. 5 2a 3 . 72 C. 5 2a 3 . 432 D. 2a 3 . 432 C – HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Cho hình chóp S.ABC .Trên cạnh SA lấy các điểm M , N sao cho SM  MN  NA .Gọi   ,    là các mặt phẳng song song với mặt phẳng  ABC  và lần lượt đi qua M , N .Khi đó hai mặt phẳng   ,    chia khối chóp đã cho thành 3 phần.Nếu phần trên cùng có thể tích là 10dm3 tích hai phần còn lại lần lượt là? A. 80 dm3 và 190dm3 . B. 70 dm3 và 190dm3 . C. 70 dm3 và 200 dm3 . D. 80 dm3 và 180dm3 . Hướng dẫn giải: Chọn B S Đặt V  VS . ABC ,V1  SS .MNP ta có: M Q 3 V1  SM SP SQ 1 1 . . .V    V  V  V  270 dm3 . SA SB SC 27  3 N F P C Tương tự ta có : E 3 SN SE SF 8 2 V1  V2  . . .V    V  V  80 dm3 . SA SB SC 27 3 B Do đó: V2  80  V1  70 dm3 , V3  V  V1  V2  190 dm3 . Chọn B. Câu 2: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng V . Gọi SM 1 SN 2 SP 1  ,  ,  . M , N , P lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB, SC sao cho SA 2 SB 3 SC 3 Mặt phẳng  MNP  cắt cạnh SD tại điểm Q . Tính thể tích khối đa diện ABCD.MNPQ . A. 5 V. 63 B. 10 V. 63 Hướng dẫn giải: Chọn D Đặt x  t SM 1 SN 2 SP 1  , y  , z  , SA 2 SB 3 SC 3 SQ . SD Ta có 1 1 1 1 3 1 2     23   t  . x z y t 2 t 7 C. 53 V. 63 D. 58 V. 63