Thể tích toán 12

3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN CHƯƠNG 1. KHỐI ĐA DIỆN §3 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1. Thể tích khối chóp S Cho khối chóp có diện tích đáy S và chiều cao h tương ứng đáy. Thể tích V của khối chóp đó là V = 1 · S · h. 3 h A B SABCD C D 1..1 Thể tích khối chóp cụt Cho khối chóp cụt có diện tích hai đáy lần lượt là B, B 0 và chiều cao h tương ứng hai đáy. Thể tích V của khối chóp cụt đó là ä √ 1 Ä V = h B + B 0 + BB 0 . 3 A0 B0 D0 C0 h A B C D 2. Thể tích khối lăng trụ và khối hộp chữ nhật 2..1 Thể tích khối lăng trụ A0 Cho khối lăng trụ có diện tích đáy S và chiều cao h tương ứng đáy. Thể tích V của khối lăng trụ đó là C0 V = S · h. h A Thể tích khối hộp chữ nhật B0 A0 C0 D0 h A B H C 2..2 B0 B H D C 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN CHƯƠNG 1. KHỐI ĐA DIỆN B0 A0 a) Thể tích khối hộp chữ nhật với ba kích thước a, b, c là D C0 0 c V = abc. b) Thể tích khối lập phương cạnh a là D C0 0 A b A B0 A0 B B a D 3 V =a . D 3. Một số khái niệm và kĩ thuật cần nắm 3..1 Một số khái niệm và tính chất C C a) Tứ diện đều là tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều. b) Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau (hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đa giác đáy). c) Hình chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy thì giao tuyến của hai mặt bên đó sẽ vuông góc với mặt phẳng đáy. d) Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau: Cho hình chóp có đỉnh S có các cạnh bên có độ dài bằng nhau SA = SB = SC = SD = . . . Khi đó hình chiếu O của S lên mặt phẳng đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đi qua các đỉnh (A, B, C, D, . . .) nằm trên mặt đáy. ◦ Nếu đáy là tam giác đều thì O là trọng tâm. ◦ Nếu đáy là tam giác vuông thì O là trung điểm cạnh huyền. ◦ Nếu đáy là hình vuông, hình chữ nhật thì O là giao điểm của hai đường chéo đồng thời là trung điểm mỗi đường. e) Lặng trụ đứng là lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy. f) Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. g) Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành. h) Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật. i) Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau. 3..2 Kĩ thuật tìm đường cao bằng cách đưa về bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng a) Nếu OA k (α) thì d (O, (α)) = d (A, (α)). b) Nếu OA ∩ (α) = I thì d (O, (α)) OI = (theo định lí Ta-lét). d (A, (α)) AI A O A A O α H K α H K (α) I I O 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN CHƯƠNG 1. KHỐI ĐA DIỆN II. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho khối chóp S.ABCD có đáy√là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và khoảng a 2 cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng . Tính thể tích V của khối chóp đã cho. 2 a3 a3 a3 B. V = a3 . C. V = . D. V = . A. V = . 2 6 3 0 0 0 0 0 0 Câu 2. Cho hình hộp ABCD.A B C D có A ABD là hình chóp đều, AB = AA = a. Tính theo a 0 0 thể tích V của√khối hộp ABCD.A0 B 0 C√ D. √ √ 3 3 a 3 a 3 a3 3 a3 2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 3 9 6 2 Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Gọi điểm I thuộc cạnh AB sao cho IA = 2IB và hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của CI. Góc giữa ◦ đường thẳng SC √ và mặt phẳng (ABC) √bằng 60 . Tính theo a thể √ tích V của khối chóp 3S.ABC. √ 3 3 a 7 a 7 a3 3 a 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 24 8 4 12 Câu 4. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0 B 0 C 0 có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc 60◦ . Gọi M là trung điểm BC và I là trung điểm của AM . Biết rằng hình chiếu của điểm I lên mặt đáy (A0 B 0 C 0 ) là trọng tâm G của tam giác A0 B 0 C 0 . Tính theo a thể tích V của khối 0 0 0 lăng trụ ABC.A BC. √ √ √ √ 3 a3 3 a3 3 a3 3 3a 3 . B. V = . C. V = . D. V = . A. V = 16 48 16 4 Câu 5. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A0 B 0 C 0 có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, B 0 C 0 . Mặt phẳng (A0 N M ) cắt cạnh BC tại P . Tính thể tích V của khối đa diện M√ BP.A0 B 0 N . √ √ √ a3 3 7a3 3 7a3 3 7a3 3 . B. V = . C. V = . D. V = . A. V = 32 32 68 96 √ Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có SA = SB = SC = a 2 và đáy ABC là tam giác cân. Biết ’ = 120◦ và BC = 2a. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC. BAC √ √ √ √ a3 2 a3 2 a3 3 a3 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 9 3 2 6 Câu 7. Cho lăng trụ tam giác ABC.A0 B 0 C 0 có BB 0 = a, góc giữa đường thẳng BB 0 và (ABC) bằng ’ = 60◦ . Hình chiếu vuông góc của điểm B 0 lên (ABC) trùng 60◦ , tam giác ABC vuông tại C và BAC với trọng tâm tam giác ABC. Tính thể tích V của khối tứ diện A0 .ABC theo a. 7a3 15a3 9a3 13a3 . B. V = . C. V = . D. V = . A. V = 108 106 108 208 √ Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, AC = 2a 3, BD = 2a. Hai mặt phẳng (SAC) √ và (SBD) cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD). Biết khoảng cách từ tâm O đến (SAB) a 3 bằng . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD theo a. 4 √ √ √ √ a3 3 a3 3 a3 3 3 A. V = . B. V = a 3. C. V = . D. V = . 9 6 3 √ √ a 10 0 0 0 ◦ 0 ’ = 135 , CC = Câu 9. Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C có ACB , AC = a 2, BC = a. 4 Hình chiếu vuông góc của C 0 lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm M của đoạn thẳng AB. 0 0 0 Tính theo a thể √ tích V của khối lăng trụ √ ABC.A B C . √ √ 3 3 a 6 3a 6 a3 6 a3 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 24 8 8 8 Câu 10. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0 B 0 C 0 có đáy ABC là tam giác cân tại A, AB = AC = a, ’ = α. Gọi M là trung điểm của AA0 , tam giác C 0 M B vuông. Tính thể tích V của khối lăng trụ BAC ABC.A0 B 0 C 0 . 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN √ A. V = a3 sin α √cos α. C. V = a3 cot α sin α. CHƯƠNG 1. KHỐI ĐA DIỆN √ B. V = a3 cos α √sin α. D. V = a3 tan α cos α. Câu 11. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A0 B 0 C 0 D0 với ABCD là hình thang vuông tại A√và D, có √ 2a 5 AB = 3a, AD = a, BC = a 2. Biết khoảng cách từ B đến mặt phẳng (A0 DC) bằng . Tính 5 thể tích V của khối lăng trụ ABCD.A0 B 0 C 0 D0 . 5a3 10a3 3 3 A. V = . B. V = 5a . C. V = 10a . D. V = . 3 3 Câu 12. Cho hình chóp S.ABC có AB = 5, BC = 6, AC = 7. Các mặt bên tạo với đáy một góc 60◦ . Tính thể tích √ V của khối chóp S.ABC. √ √ √ 105 3 35 3 D. V = 8 3. A. V = . B. V = . C. V = 24 3. 2 2 Câu 13. Cho hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3. Gọi G1 , G2 , G3 , G4 lần lượt là trọng tâm của bốn mặt√của tứ diện ABCD. Tính √ thể tích V của khối tứ√diện G1 G2 G3 G4 . √ 9 2 2 2 2 . B. V = . C. V = . D. V = . A. V = 4 18 32 12 Câu 14. Hình lăng trụ đứng ABC.A0 B 0 C 0 có diện tích đáy bằng 4, diện tích ba mặt bên lần lượt là 9, 18 và 10. Thể tích khối lăng trụ ABC.A0 B 0 C 0 bằng √ √ 4 √ √ 11951 11951 4 A. 11951. B. . C. 11951. D. . 2 2 √ ’ = BAS ’ = BCS ’ = 90◦ . Câu 15. Cho hình chóp S.ABC có AB = a, AC = a 3, SB >√2a và ABC 11 Sin của góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) bằng . Tính thể tích V của khối chóp 11 S.ABC. √ √ √ √ a3 3 a3 6 a3 6 2a3 3 . B. . C. . D. . A. 9 9 6 3 Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm SB, N là điểm thuộc cạnh SD sao cho SN = 2N D. Tính thể tích V của khối tứ diện ACM N . a3 a3 a3 a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 12 6 8 36 Câu 17. A C Cho khối lăng trụ ABC.A0 B 0 C 0 . Gọi M là trung điểm của BB 0 , N là 0 0 điểm trên cạnh CC sao cho CN = 3N C . Mặt phẳng (AM N ) chia khối lăng trụ thành hai phần có thể tích V1 và V2 như hình vẽ. Tính tỉ V2 B V1 số . V2 M N V1 5 V1 3 V1 4 V1 7 A0 A. = . B. = . C. = . D. = . V 1 V2 3 V2 2 V2 3 V2 5 C0 B0 Câu 18. 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ’ = 60◦ và SA vuông góc với thoi cạnh a, BAD mặt phẳng (ABCD). Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng 45◦ . Gọi M là điểm đối xứng của C qua B và N là trung điểm của SC. Mặt phẳng (M N D) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh S có thể tích V1 , khối đa diện còn lại có thể tích V2 (tham khảo hình vẽ bên). V1 Tính tỉ số . V2 V1 12 V1 5 A. = . B. = . V2 7 V2 3 1 V1 7 V1 = . D. = . C. V2 5 V2 5 CHƯƠNG 1. KHỐI ĐA DIỆN S N A K D I M B C Câu 19. Cho hình lăng trụ ABC.A0 B 0 C 0 có thể tích bằng V . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BB 0 , A0 C 0 . Thể tích của khối tứ diện CM N P bằng 5 1 7 1 V. B. V . C. V. D. V . A. 24 4 24 3 √ 0 0 0 Câu 20. Cho khối lăng trụ ABC.A B C , khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng BB 0 bằng 5, khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB 0 và CC 0 lần lượt bằng √ 1 và 2, hình chiếu vuông góc của 15 A lên mặt phẳng (A0 B 0 C 0 ) là trung điểm M của B 0 C 0 và A0 M = . Thể tích của khối lăng trụ 3 đã cho √ bằng √ √ √ 2 5 2 15 15 . B. . C. 5. D. . A. 3 3 3 Câu 21. S Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD với BC = 2AB, SA ⊥ (ABCD) và M là điểm trên cạnh AD sao cho AM = AB. Gọi V1 , V2 V1 bằng lần lượt là thể tích của hai khối chóp S.ABM và S.ABC thì V2 M 1 1 1 1 D A. . B. . C. . D. . A 8 2 4 6 B C Câu 22. Cho tứ diện ABCD. Gọi B 0 và C 0 lần lượt là trung điểm của AB và AC. Khi đó tỉ số thể tích của khối tứ diện AB 0 C 0 D và khối tứ diện ABCD bằng 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 2 6 8 A B D C Câu 23. Cho tứ diện M N P Q. Gọi I; J; K lần lượt là trung điểm của các cạnh M N ; M P ; M Q. V1 Gọi V1 là thể tích của M JIK và V2 là thể tích của M N P Q. Tính tỉ số . V2 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 8 4 6 3 Câu 24. Cho tứ diện ABCD. Các điểm M , N , P lần lượt thuộc các cạnh AB, AC, AD sao cho M A = M B, N A = 2N C, P A = 3P D. Biết thể tích khối tứ diện AM N P bằng V thì khối tứ diện ABCD tính theo V có giá trị là A. 4V . B. 6V . C. 12V . D. 8V . 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN CHƯƠNG 1. KHỐI ĐA DIỆN Câu 25. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tính tỉ số thể tích của khối chóp S.M N P Q và khối chóp S.ABCD. 1 1 1 1 B. . C. . D. . A. . 4 36 8 2 Câu 26. Cho hình chóp S.ABC có thể tích V . Điểm M là trung điểm đoạn thẳng AB, N nằm giữa V1 đoạn AC sao cho AN = 2N C. Gọi V1 là thể tích khối chóp S.AM N . Tính tỷ số . V V1 1 V1 2 V1 1 V1 1 A. = . B. = . C. = . D. = . V 3 V 3 V 2 V 6 Câu 27. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng (α) đi qua A, B và trung điểm M của SC. Tỷ số thể tích của hai phần khối chóp (phần trên chứa điểm S chia phần dưới) bị phân chia bởi mặt phẳng (α) là 3 5 3 1 B. . C. . D. . A. . 4 8 8 5 Câu 28. Cho hình chóp tam giác S.ABC có M là trung điểm của SB, N là điểm trên cạnh SC sao cho N S = 2N C, P là điểm trên cạnh SA sao cho P A = 2P S. Ký hiệu V1 , V2 lần lượt là thể tích của V1 khối tứ diện BM N P và SABC. Tính tỷ số . V2 V1 V1 V1 V1 1 3 2 1 A. B. C. D. = . = . = . = . V2 9 V2 4 V2 3 V2 3 Câu 29. Cho hình chóp tam giác S.ABC và một điểm M nằm trong tam giác ABC. Đường thẳng qua M song song với SA cắt mặt phẳng (SBC) tại A0 . Tỉ số thể tích giữa hai khối chóp M.SBC và S.ABC bằng M A0 M A0 M A0 SM A. . B. . C. . D. . 0 SM SA SA SA0 Câu 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD, SA ⊥ (ABCD). Mặt phẳng qua SM VS.ABM N 11 AB cắt SC và SD lần lượt tại M và N sao cho = x. Tìm x biết . = SC VS.ABCD 200 A. 0,25. B. 0,2. C. 0,3. D. 0,1. Câu 31. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc bằng 60◦ . Mặt phẳng (P ) qua BC và vuông góc với SA, (P ) cắt SA tại D. Tính tỉ số thể tích giữa hai khối chóp S.BCD và S.ABC. 5 5 5 5 A. . B. . C. . D. . 7 8 9 11 Câu 32. Cho khối hộp ABCD.A0 B 0 C 0 D0 . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AB, AD và AA0 . Tính tỉ số thể tích k của khối chóp A.M N P và khối hộp đã cho. 1 1 1 1 A. k = . B. k = . C. k = . D. k = . 12 48 8 24 ’ = BSC ’ = CSA ’ = 60◦ , SA = 2, SB = 3, SC = 6. Tính Câu 33. Cho hình chóp S.ABC có ASB thể tích√của khối chóp S.ABC. √ √ √ A. 6 2. B. 18 2. C. 9 2. D. 3 2. Câu 34. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình bình hành có thể tích bằng V . Lấy điểm B 0 , D0 lần lượt là trung điểm của SB và SD. Mặt phẳng (AB 0 D0 ) cắt cạnh SC tại C 0 . Tính thể tích khối chóp S.AB 0 C 0 B 0 theo V . V V 2V V3 A. . B. . C. . D. . 6 3 3 3 Câu 35. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A0 B 0 C 0 cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng 2a. Mặt phẳng (P ) qua B 0 và vuông góc với A0 C chia lăng trụ thành hai khối có thể tích là V1 và V2 với V1 < V2 . V1 Tính tỉ số . V2 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 47 23 11 7 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN CHƯƠNG 1. KHỐI ĐA DIỆN Câu 36. Thể tích của khối lăng trụ có chiều cao là h và diện tích đáy bằng B là 1 1 D. V = Bh. A. V = Bh. B. V = 3Bh. C. V = Bh. 6 3 Câu 37. Nếu tăng chiều dài hai cạnh đáy của khối hộp chữ nhật lên 10 lần thì thể tích tăng lên bao nhiêu lần? A. 100. B. 20. C. 10. D. 1000. Câu 38. Cho khối lăng trụ ABC.A0 B 0 C 0 có thể tích là V . Thể tích của khối tứ diện CA0 B 0 C 0 bằng 2V V V V A. . B. . C. . D. . 3 2 6 3 √ Câu 39. √ Thể tích hình lập phương cạnh 3 là √ √ A. 3. B. 3. C. 6 3. D. 3 3. Câu 40. Cho hình lập phương có thể tích bằng 27. Diện tích toàn phần của hình lập phương là A. 36. B. 72. C. 45. D. 54. Câu 41. Tính thể tích của khối lập phương có diện tích toàn phần bằng 24a2 . A. 8a3 . B. 64a3 . C. 4a3 . D. a3 . √ 0 0 0 0 0 Câu 42. Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A B C D có đường chéo AC = √ √ √ 6. √ B. V = 2 3. C. V = 2. D. V = 2 2. A. V = 3 3. Câu 43. Tính thể tích hình hộp chữ nhật ABCD.A0 B 0 C 0 D0 biết AB = 3a, AC = 5a, AA0 = 2a. A. 12a3 . B. 30a3 . C. 8a3 . D. 24a3 . Câu 44. Biết thể tích của khối lăng trụ tam giác ABC.A0 B 0 C 0 bằng 2022. Thể tích khối tứ diện A0 ABC 0 là A. 764. B. 674. C. 1348. D. 1011. Câu 45. Diện tích ba mặt của hình hộp chữ nhật lần lượt là 15 cm2 , 24 cm2 , 40 cm2 . Thể tích của khối hộp đó là A. 120 cm3 . B. 100 cm3 . C. 140 cm3 . D. 150 cm3 . Câu 46. Cho lăng √ trụ đứng ABC.A0 B 0 C 0 có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Biết AB = a, 0 0 0 0 BC = 2a, AA = 2a 3. Tính thể tích √ B C theo a. √ V của khối lăng trụ ABC.A √ √ 2 3 3 3 3 A. V = 2 3a3 . B. V = a. C. V = a. D. V = 4 3a3 . 3 3 0 0 0 0 Câu 47. Thể tích của khối lăng trụ đứng ABCD.A B C D có đáy là hình vuông cạnh a, A0 B = 2a. √ √ √ √ a3 3 a3 3 a3 3 . B. V = . C. V = . D. V = a3 3. A. V = 3 6 2 √ 0 0 0 Câu 48. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a 3. Diện tích toàn phần S của lăng trụ là √ √ √ 2 2 2 √ 7a 3 3a 3 13a 3 A. S = 3a2 3. B. S = . C. S = . D. S = . 2 2 4 Câu 49. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0 B 0 C 0 có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính thể tích V của khối lăng trụ √ đó theo a. √ √ √ a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 12 6 2 4 Câu 50. Cho khối hộp ABCD.A0 B 0 C 0 D0 có thể tích bằng 60. M là một điểm thuộc mặt phẳng (ABCD). Thể tích khối chóp M.A0 B 0 C 0 D0 bằng bao nhiêu? A. 10. B. 20. C. 30. D. 40. Câu 51. Cho lăng trụ đứng ABC.A0 B 0 C 0 có đáy tam giác ABC vuông cân tại B, BA = BC = a, ◦ 0 0 0 A0 B tạo √ với3 đáy (ABC) một góc √ 603 . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A B C3 . √ 3a 3a a A. . B. . C. 3a3 . D. . 2 6 4 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN CHƯƠNG 1. KHỐI ĐA DIỆN Câu 52. Cho lăng trụ ABC.A1 B1 C1 có diện tích mặt bên ABB1 A1 bằng 4; khoảng cách giữa cạnh CC1 và mặt phẳng (ABB1 A1 ) bằng 7. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A1 B1 C1 . 14 28 . C. . D. 28. A. 14. B. 3 3 Câu 53. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0 B 0 C 0 có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, ’ = 60◦ . Đường chéo BC 0 của mặt bên (BB 0 C 0 C) tạo với mặt phẳng (AA0 C 0 C) một góc 30◦ . ACB Tính thể tích của √ √ √ khối lăng trụ theo a. √ 4a3 6 a3 6 2a3 6 3 . B. V = a 6. . D. V = . C. V = A. V = 3 3 3 Câu 54. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A0 B 0 C 0 có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt phẳng (A0 BC) và mặt phẳng (ABC) bằng 45◦ . Thể tích của khối√lăng trụ ABC.A0 B 0 C 0 bằng √ √ a3 3 3a3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 2 8 8 4 Câu 55. Cho khối lăng trụ và khối chóp có diện tích đáy bằng nhau, chiều cao của khổi lăng trụ bằng nửa chiều cao khối chóp. Tỉ số thể tích giữa khối lăng trụ và khối chóp đó là 1 1 1 3 B. . C. . D. . A. . 2 2 3 6 0 0 0 Câu 56. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có cạnh đáy bằng a và khoảng cách từ A đến a mặt phẳng (A0 BC) bằng . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A0 B 0 C 0 . 2 √ √ √ √ 3 3 2a3 3 2a3 3 2a3 2a . B. . C. . D. . A. 16 48 16 12 Câu 57. Cho hình lăng trụ ABC.A0 B 0 C 0 . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BB 0 và CC 0 . Mặt V1 phẳng (AEF ) chia khối trụ thành hai phần có thể tích V1 và V2 như hình vẽ. Tỉ số là V2 1 1 1 A. 1. B. . C. . D. . 3 4 2 0 0 0 0 Câu 58. Cho hình lăng trụ ABCD.A B C D có đáy là hình vuông. Hình chiếu vuông góc của A0 lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của AB, góc giữa mặt phẳng (A0 CD) và mặt phẳng (ABCD) là 60◦ . Tính √ theo a độ dài đoạn√thẳng AC. √ A. 2a 3 2. B. 2a. C. 2a. D. 2 2a. Câu 59. Cho lăng trụ đứng ABC.A0 B 0 C 0 có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a. Góc giữa đường thẳng A0 B và mặt (ABC) bằng 60◦ . Gọi G là trọng tâm tam giác ACC 0 . Thể tích 0 của khối √ √ √ √ tứ diện GABA là 3 3 2 3 3 2 3 3 3 3 A. a. B. a. C. a. D. a. 9 3 9 6 0 0 0 Câu √ 60. Cho lăng trụ 0tam giác ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = a 3, hình chiếu của √ A xuống mặt đáy (ABC) là trung điểm H của đoạn AC. Biết thể tích khối 3 a 3 lăng trụ đã cho là . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A0 BC). 6 √ √ √ √ a 13 a 3 2a 3 2a 3 A. . B. . C. . D. . 13 3 3 13 Câu 61. Cho hình hộp chữ nhật có độ dài các cạnh là 3, 4, 5. Nối tâm 6 mặt của hình hộp chữ nhật ta được khối 8 mặt. Thể tích của khối 8 mặt đó là √ 75 C. 12. D. A. 10. B. 10 2. . 12 Câu 62 (Thi thử L1, Chuyên Đại học Vinh, Nghệ An). 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN CHƯƠNG 1. KHỐI ĐA DIỆN Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0 B 0 C 0 có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a. Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng (ACC 0 ) và (AB 0 C 0 ) bằng 60◦ (tham khảo hình vẽ bên). Tính thể tích khối chóp B 0 .ACC 0 A0 . √ a3 a3 a3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 3 6 2 3 A C B A0 C0 B0 Câu 63. Cho lăng trụ tam giác ABC.A0 B 0 C 0 có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A0 lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB. Nếu AC 0 và A0 B vuông góc với nhau thì khối lăng trụ ABC.A√0 B 0 C 0 có thể tích√là √ 3 √ 3 6a3 6a3 6a 6a A. . B. . C. . D. . 2 4 8 24 A0 B0 C0 A B C Câu 64. Cho một hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều. Người ta ấn (đẩy) lăng trụ đó trở thành một lăng trụ xiên (vẫn giữ nguyên đáy và cạnh bên như hình vẽ ) để thể tích giảm đi một nửa lúc ban đầu. Hỏi cạnh bên của lăng trụ xiên lúc này tạo với đáy góc α bằng bao nhiêu? α A. 60◦ . B. 30◦ . H C. 45◦ . D. 40◦ . Câu 65. Với một tấm bìa hình vuông, người ta cắt bỏ ở mỗi góc tấm bìa một hình vuông cạnh 12 cm rồi gấp lại thành một hình hộp chữ nhật không có nắp (hình vẽ). Giả sử thể tích của cái hộp đó là 4800 cm3 thì cạnh của tấm bìa ban đầu có độ dài là bao nhiêu? A. 44 cm. B. 42 cm. C. 36 cm. D. 38 cm. ’ = 120◦ và đường thẳng A0 C Câu 66. Cho lăng trụ đứng ABC.A0 B 0 C 0 có AC = a, BC = 2a, ACB ◦ 0 0 0 tạo với mặt phẳng (ABB A ) một√góc 30 . Thể tích của khối lăng trụ ABC.A0 B 0 C √ là √ √ 3 3 3 3 a 105 a 105 a 35 a 105 A. . B. . C. . D. . 7 14 7 28 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN CHƯƠNG 1. KHỐI ĐA DIỆN Câu 67. Cho khối lăng trụ ABC.A0 B 0 C 0 có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (A0 B 0 C 0 ) trùng với trọng tâm của tam giác A0 B 0 C 0 , mặt phẳng (ABB 0 A0 ) tạo với ◦ đáy một góc 60 . Tính thể tích V của √ khối lăng trụ đã cho. √ √ √ 3 3 a 3 a3 3 a3 3 a 3 . B. V = . C. V = . D. V = . A. V = 3 8 6 24 √ Câu 68. Cho lăng trụ đứng ABC.A0 B 0 C 0 có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh BC = a 6. Góc giữa mặt phẳng (AB 0 C) và mặt phẳng (BCC 0 B 0 ) bằng 60◦ . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A0 B 0 C 0 . √ √ √ √ a3 3 3a3 3 3a3 3 2a3 3 . B. V = . C. V = . D. V = . A. V = 3 2 4 2 0 AB ’ DAA ’0 , A ’ Câu 69. Cho hình hộp ABCD.A0 B 0 C 0 D0 có độ dài tất cả các cạnh bằng a và các góc BAD, 0 0 đều bằng 60◦ .√Tính thể tích V của tứ diện √ ACB D theo a. 3 √ √ 3 3 a 2 a 2 a3 2 a 2 . B. V = . C. V = . D. V = . A. V = 24 36 6 12 Câu 70. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0 B 0 C 0 có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Khoảng cách a từ tâm O của tam giác ABC đến mặt phẳng (A0 BC) bằng . Tính thể tích khối lăng trụ. 6 √ √ √ √ 3a3 2 3a3 2 3a3 2 3a3 2 . B. . C. . D. . A. 28 8 16 4 Câu 71. Cho hình lăng trụ ABC.A0 B 0 C 0 có đáy là tam giác đều cạnh 2a. Hình chiếu vuông góc của A0 lên (ABC) trùng √ với trọng tâm G của tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng a 3 AA0 và BC bằng . Tính thể tích V của hình lăng trụ. 2 √ √ √ √ a3 3 a3 3 2a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 12 3 3 24 Câu 72. Cho lăng trụ ABC.A0 B 0 C 0 có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, hình chiếu của A0 lên đáy (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy là 60◦ . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A0 B 0 C√0 . √ √ √ a3 3 a3 3 . B. . C. 4a3 3. D. 2a3 3. A. 4 2 Câu 73. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A0 B 0 C 0 có cạnh đáy bằng a. Góc giữa mặt phẳng ◦ 0 0 0 (A0 BC) và mặt . Tính thể tích V của khối √ phẳng (ABC) bằng 603 √ √ chóp A .BCC B . 3 √ 3 3 3a 3 3a 3 a 3 a 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 8 4 8 4 Câu 74. Cho hình lăng trụ ABC.A0 B 0 C 0 có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A0 xuống (ABC) là trung điểm của AB. Mặt bên (ACC 0 A0 ) tạo với đáy góc 45◦ . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A0 B 0 C 0 . √ √ 3a2 a3 3 2a3 3 a3 A. . B. . C. . D. . 16 3 3 16 Câu 75. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A0 B 0 C 0 có góc giữa hai mặt phẳng (A0 BC) và (ABC) 0 0 0 bằng 60◦ , cạnh BC. √ AB = a. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A √ √ 3 3 3 3 3 3 3 A. V = a. B. V = a . C. V = a. D. V = 3a3 . 4 4 8 0 0 0 Câu B C có đáy ABC là một tam giác vuông cân tại A, AA0 = √ 76. Cho lăng trụ tam giác ABC.A a 3, hình chiếu vuông góc của A0 lên (ABC) là trung điểm cạnh AC. Biết góc giữa AA0 và mặt 0 0 0 phẳng (ABC) bằng 45◦ . Tính thể√tích của khối lăng trụ ABC.A BC. √ √ 3 3 √ a 3 3a 6 a3 6 3 B. A. a 6. . C. . D. . 4 2 3 Câu 77 (THPT Quốc gia 2018). Cho khối lăng trụ ABC.A0 B 0 C 0 , khoảng cách từ C đến √ đường thẳng BB 0 bằng 2, khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB 0 và CC 0 lần lượt bằng 1 và 3, hình