THỂ TÍCH LĂNG TRỤ

HÌNH LĂNG TRỤ A - LÝ THUYẾT TÓM TẮT 1. Thể tích khối lăng trụ: V= B.h h với B là diện tích đáy, h là chiều cao B 2) Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c với a, b, c là ba kích thước 3) Thể tích khối lập phương: V = a3 với a là độ dài cạnh B – BÀI TẬP THỂ TÍCH LĂNG TRỤ ĐỨNG 3 Câu 1: Thể tích (cm ) khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy và cạnh bên cùng bằng 2 cm là: 2 6 3 A. B. C. 2 D. 2 2 2 Hướng dẫn giải: 6 Dễ dàng tính được V = 2 Chọn đáp án A Câu 2: Thể tích khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a là: a3 2 a3 3 a3 3 a3 3 A. B. C. D. 3 6 2 4 Hướng dẫn giải: a2 3 a3 3 V  S ABC .AA '  .2a  nên chọn C. 4 2 Chọn đáp án C. Câu 3: Cho lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. AB = 2a, BC = a, AA  2a 3 . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC. ABC . 2a 3 3 3 Hướng dẫn giải: A. B. a3 3 3 C. 4a3 3 D. 2a3 3 1 V  SABC . AA '  2a.a.2a 3  2a 3 3 2 Chọn đáp án D. Câu 4: Gọi V là thể tích của hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . V1 là thể tích của tứ diện A ' ABD . Hệ thức nào sau đây là đúng ? A. V  6V1 B. V  4V1 C. V  3V1 D. V  2V1 Hướng dẫn giải: Ta có hình vẽ sau: 1 Ta có V  S ABCD . AA'; V1  .S ABD . AA ' 3 1 V 2.S ABD . AA ' Mà S ABD  S ABCD   6 2 V1 1 S . AA ' ABD 3  V  6V1 Chú ý nhiều độc giả tư duy nhanh nên chỉ xét tỉ số giữa diện 1 tích đáy mà quên mất rằng với khối chóp thì còn tích với 3 nữa, và nhanh chóng chọn ý D là sai. Vì thế, nhanh nhưng cần phải chính xác bạn nhé. Chọn đáp án A. Câu 5: Cho h nh lập phương ABCD.A B C D có diện tích mặt ch o ACC A bằng 2 2a 2 . Thể tích của khối lập phương ABCD.A'B'C'D' là: A. 2 2a3 B. 2a3 C. 2a 3 D. a 3 Hướng dẫn giải: Để tính được thể tích của hình lập phương th ta cần biết cạnh của hình lập phương đó, từ dữ liệu diện tích mặt ch o A ACC ta sẽ tính được cạnh của hình lập phương Gọi cạnh của hình lập phương là x suy ra A ' C '  x 2 . Diện tích mặt ch o A ACC là x.x 2  2 2a 2  x  a 2 . Thể tích hình lập phương là V  x3  2 2a3 Chọn đáp án A. Câu 6: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a biết rằng (A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc 45o.Thể tích lăng tru là: a3 2 a3 3 A. B. C. a3 3 D. a 3 2 2 3 Hướng dẫn giải: - ABC  450 - AC  AB 2  2a  AB 2  AB  BC  AA '  a 2 1 - V  AB.BC. AA '  a3 2 2 Chọn đáp án D. Câu 7: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC. A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AA1. Thể tích khối chóp M.BCA1 là: a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. V  B. V  C. V  D. V  12 24 6 8 Hướng dẫn giải: a2 3 ABC là tam giác đều cạnh a nên có diện tích S ABC  4 AA1 a Ta có AM   2 2 Hai tứ diện MABC và MA1BC có chung đỉnh C, diện tích hai đáy MAB và MA1B bằng nhau nên có thể tích bằng nhau, suy ra 1 a3 3 VM . BCA1  VM . ABC  AM .S ABC  3 24 Chọn đáp án B. Câu 8: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A B C , cạnh đáy bằng a. Gọi N, I lần lượt là trung điểm của AB, BC; góc giữa hai mặt phẳng (C AI) và (ABC) bằng 60o . Tính theo a thể tích khối chóp NAC I? a3 3a 3 3a 3 A. 32 3a3 B. C. D. 32 4 32 Hướng dẫn giải: Ta có   C ' AI  ,  ABC    CIC  60 o CC ' a 3  CC '  CI .tan CIC '  CI 2 2 2 1 1 a 3 a 3  Ta có S ANI  S ABC  . 4 4 4 16 3 1 1 a 3 a 3 a3  VC '. NAI  CC '.S NAI  . .  3 3 2 2 32 Chọn đáp án B. Mặt khác tan CIC '  Câu 9: Cho lăng trụ đứng ABC. A B C có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, BA  BC  a, A B tạo với (ABC) một góc 600. Thể tích của khối lăng trụ ABC. A B C là: a3 3a 3 3a 3 A. B. C. 3a3 D. 2 6 4 Hướng dẫn giải: Góc giữa A”B và đáy là góc ABA '  600 , AA '  a 3 a2 a3 3 . Vậy thể tích của lăng trụ là : V  S ABC . AA '  . 2 2 Chọn đáp án A. S ABC  Câu 10: Cho h nh lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a và  ABC  hợp với mặt đáy ABC một góc 300 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC. ABC là 3a 3 a3 3 a3 3 a3 5 A. B. C. D. 12 24 24 24 Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Ta có SA   ABC   AM là hình chiếu vuông góc của AM trên  ABC  , nên  ABC  ,  ABC  bằng góc AMA  300 Xét AMA vuông tại A . Ta có a 3 a AA  AM .tan AMA  .tan 300  2 2 2 1 a 3 a 3 S . .a  2 2 4 1 1 a 2 3 a a3 3 .  Vậy VA. ABC  .S ABC . AA  . 3 3 4 2 24 Chọn đáp án B. Câu 11: Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a . Mặt phẳng  AB ' C ' tạo với mặt đáy góc 600 . Tính theo a thể tích lăng trụ ABC. A ' B ' C ' . a3 3 a3 3 3a 3 3 A. V  . B. V  . C. V  . 2 8 4 Hướng dẫn giải: Vì ABC. A ' B ' C ' là lăng trụ đứng nên AA '   ABC  . Gọi M là trung điểm B ' C ' , do tam giác A ' B ' C ' đều Nên suy ra A ' M  B ' C ' . Khi đó 600   AB ' C ' ,  A ' B ' C '  AM , A ' M  AMA ' . Tam giác AA ' M , có a 3 3a A' M  ; AA '  A ' M .tan AMA '  . 2 2 a2 3 Diện tích tam giác đều S A ' B ' C '  . 4 3a 3 3 Vậy V  SABC . AA '  (đvtt). 8 Chọn đáp án D. 3a 3 3 D. V  . 8 C A B C' A' M B' Câu 12: Cho lăng trụ đứng ABC. A/B/C/ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=3a, BC= a 2 , mặt bên (A/BC) hợp với mặt đáy (ABC) một góc 600 . Tính thể tích khối lăng trụ. 9 6a 3 7 6a 3 a3 6 a3 6 A. B. C. D. 2 2 2 6 Hướng dẫn giải: 1 1 3a 2 2 SABC  AB.BC  .3a.a 2  2 2 2 / o Đường cao AA  AB tan60  3a 3 3a 2 2 9a 3 6 .3a 3  Vậy V  S ABC .AA  . 2 2 Chọn đáp án C. / Câu 13: Cho h nh lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC  a, ACB  600 . Đường chéo BC' của mặt bên (BB'C'C) tạo với mặt phẳng mp  AA ' C ' C  một góc 300. Tính thể tích của khối lăng trụ theo a là: 4 6 2 6 6 A. V  a 3 B. V  a3 6 C. V  a 3 D. V  a 3 3 3 3 Hướng dẫn giải: a2 3 Tính được AB = a 3 ; SABC = ; Góc AC B = 300 nên AC = 3a. 2 Pitago cho tam giác vuông ACC tính được CC = 2a 2 . Từ đó V  a3 6 . Chọn đáp án B. Câu 14: Cho h nh lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC  a, ACB  600 . Đuòng ch o B C của mặt bên (BB C C) tạo với mặt phẳng (AA C C) một góc 300. Tính thể tích của khối lăng trụ theo a. a 3 15 a 3 15 a 3 15 A. B. a3 6 C. D. 3 12 24 Hướng dẫn giải: Vì A ' B '   ACC '  suy ra B ' CA '  300 chính là góc tạo bởi đường ch o BC của mặt bên (BB C C) và mặt phẳng a 3 (AA C C). Trong tam giác ABC ta có AB  AB sin 600  2 Mà AB  A ' B '  A'B'  a 3 A' B Trong tam giác vuông A B C ta có: A ' C   3a . tan 300 Trong tam giác vuông A AC ta có: AA '  A ' C 2  AC 2  2a 2 Vậy VLT  AA '.S ABC  2a 2. a2 3  a3 6 2 Chọn đáp án B. Câu 15: Hình lập phương ABCD.A B C D có độ dài đường chéo bằng a. Khi đó thể tích khối tứ diện AA B C là. a2 a3 a3 a2 A. B. C. D. 18 3 6 3 18 3 3 3 Hướng dẫn giải: Gọi x là cạnh hình lập phương ta có AA'2  A' C '2  AC '2 x 2  ( x 2)2  a 2  x  a / 3 1 1 a3 S A ' B ' C ' AA '  x3  3 6 18 3 Chọn đáp án B. V= Câu 16: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB  a, BC  2a, AA '  a . Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho AM  3MD . Tính thể tích khối chóp M.AB C. a3 a3 3a3 3a3 A. VM . AB ' C  B. VM . AB ' C  C. VM . AB ' C  D. VM . AB ' C  2 4 4 2 Hướng dẫn giải: Thể tích khối chóp M.AB C bằng thể tích khối chóp B .AMC 3 3a 2 Ta có : SAMC  SADC  4 4 3a3 Do đó VM . AB ' C  VB '.AMC  4 Chọn đáp án C. Câu 17: Khối lập phương ABCD.A B C D có thể tích bằng a 3 . Tính độ dài của A C. A. A' C  a 3 B. A ' C  a 2 C. A ' C  a D. A ' C  2a Hướng dẫn giải: Ta có: A ' C  AB 2  AD 2  AA '2 Mà AB  AD  AA ',V  AB.AD.AA '  a3 AB  a, AD  a, AA '  a . Suy ra A' C  a 3 Chọn đáp án A. Câu 18: Cho hình lập phương ABCD.A B C D . Tính thể tích V của hình lập phương biết rằng a khoảng cách từ trung điểm I của AB đến mặt phẳng A B CD bằng 2 3 a A. V  B. V  a3 C. V  2a3 D. V  a3 2 3 Hướng dẫn giải: Gọi các điểm như h nh vẽ bên trong đó IH  I ' J . Đặt cạnh x a AB  x suy ra IH    x  a . Vậy V  a3 2 2 Chọn đáp án B. Câu 19: Cho hình hộp đứng ABCD.A B C D có đáy là h nh vuông cạnh a. Khoảng cách từ điểm A a 3 đến mặt phẳng (A BCD ) bằng . Tính thể tích hình hộp theo a. 2 a3 3 a 3 21 3 3 A. V  a B. V  C. V  a 3 D. V  3 7 Hướng dẫn giải: Gọi H là hình chiếu của A lên cạnh A B a 3  AH  A ' BCD '  AH  2 Gọi AA '  x  0 . Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác AA B: 1 1 1 4 1 1    2  2 2 2 2 2 AH AA ' AB 3a x a 2 2  x  3a  x  a 3 VABCD. A ' B ' C ' D '  AA '. AB. AD  a 3.a.a  a 3 3 Chọn đáp án C. Câu 20: Người ta gọt một khối lập phương bằng gỗ để lấy khối tám mặt đều nội tiếp nó ( tức là khối cố các đỉnh là các tâm của các mặt khối lập phương). Biết cạnh của khối lập phương bằng a. Hãy tính thể tích của khối tám mặt đều đó: a3 a3 a3 a3 A. B. C. D. 6 12 4 8 Hướng dẫn giải: a Tính tính được cạnh của hình bát diện đều bằng . 2 3  a    2 a3 a 2   Thể tích hình bát diện đều có cạnh là V  3 6 2 nên Nhận xét: Ta có công thức tính thể tích của hình bát diện đều x3 2 cạnh x là V  3 Chọn đáp án A. Câu 21: Đường chéo của một hình hộp chữ nhật bằng d, góc giữa đường chéo và mặt đáy là  , góc nhọn giữa hai đường chéo của đáy bằng  . Thể tích của hình hộp đó là: 1 1 A. d 3cos 2 sin  sin  B. d 3cos 2 sin  sin  2 3 1 C. d 3 sin 2 cos sin  D. d 3 sin 2 cos sin  2 Hướng dẫn giải: 1 Tính được: BD  d cos   OD= d cos  và DD'  d sin  2 1   Tính được : HD  d cos  sin  CD  d cos  sin 2 2 2  Tính được: BC  BD 2  CD 2  d cos cos … 2 Chọn đáp án A. Câu 22: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có cạnh đáy là a và khoảng cách từ A đến mặt a phẳng ( A ' BC ) bằng . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' . 2 3 3 2a 3 2a 3a 3 2 3a 3 2 A. B. C. D. 12 16 48 16 Hướng dẫn giải: HS tự vẽ hình Đặt chiều cao của lăng trụ là h và gọi M là trung điểm của BC thì ta có hệ thức 1 1 1 1 4 4 8 a 6 a 2 3 a 6 3a3 2        h   V  S . h  .  d 2  A, A ' BC  h 2 AM 2 h 2 a 2 3a 2 3a 2 4 4 4 16 Chọn đáp án D. Câu 23: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a , một mặt phẳng (  ) cắt các cạnh 1 2 AA’; BB’;CC’; DD’ lần lượt tại M, N,P,Q. Biết AM= a , CP = a . Thể tích khối đa diện 3 5 ABCD.MNPQ là: a3 2a 3 11 3 11 3 A. B. C. D. a a 15 30 3 3 Hướng dẫn giải: Tứ giác MNPQ là hình bình hành có tâm là I thuộc đoạn OO . AM  CP 11 a Ta có: OI   a B 2 30 2 C Gọi O1 là điểm đối xứng O qua I thì : O 11 OO1=2OI = a < a. Vậy O1 nằm trong đoạn OO . A D 15 N Vẽ mặt phẳng qua O1 song song với (ABCD) cắt I các cạnh AA’; BB’;CC’; DD’ lần lượt tại M P A1, B1,C1, D1. Khi đó I là tâm của hình hộp ABCD.A B1C1D1. Vậy V(ABCD. MNPQ)=V( O1 Q MNPQ.A1 B1C1D1) = B C 1 1 2 11 3 O V ( ABCD. A1B1C1D1 )  a OO1  a 2 2 30 A Chọn đáp án A. D . . . . Câu 24: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , D  600 và SA vuông góc với a3  ABCD  . Biết thể tích của khối chóp S.ABCD bằng . Tính khoảng cách k từ A đến mặt phẳng 2  SBC  . A. k  3a 5 B. k  a 3 5 C. k  2a 5 D. k  a 2 3 Hướng dẫn giải: Diện tích đáy S ABCD  a2 3 2 a3 1 1 V  B.h  B.SA  SA  2 2  a 3 3 3 a 3 2 BC  AM    BC   SAM  1 BC  SA  3. BC   SBC   2 Từ 1 và  2    SAM    SBC   SAM   SBC   SM . Kẻ AH  SM  AH  d  A,  SBC   Xét SAM vuông tại A . Ta có 3a 2 3 1 1 1 1 4 5 2  AH   AH  k  a      2 2 2 2 2 2 AH SA AM 3a 3a 3a 5 5 Chọn đáp án B. Câu 25: Cho h nh lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bàng a . Mặt bên ABBA có diện tích bằng a 2 3 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, AC . Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp A.AMN và A.ABC . V 1 V 1 V 1 V 1 A. A. AMN  B. A. AMN  C. A. AMN  D. A. AMN  VA. ABC 2 VA. ABC 3 VA. ABC 4 VA. ABC 5 Hướng dẫn giải: V AM AN Ta có : A. AMN  . VA. ABC AB AC AM 1 M là trung điểm của AB   AB 2 AN 1 N là trung điểm của AC   AC 2 VA. AMN 1 1 1  .  VA. ABC 2 2 4 Chọn đáp án C. Câu 26: Cho lăng trụ tam giác đều ABCD. A ' B ' C ' có tất cả các cạnh bằng a. M là trung điểm cạnh AB. Mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với CB , cắt các cạnh BC, CC , AA lần lượt tại N, E, F. Xác định N, E, F và tính thể tích khối chóp C.MNEF . 7a3 7a3 7 3a 3 21 3a 3 A. B. C. D. 128 128 128 128 3 Hướng dẫn giải: Xác định N , E, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm BC, CC . Khi đó mp ( AIJ )  B ' C . Suy ra mp (P) qua M và song song mặt phẳng mp(AIJ). Do đó MN AI , NE IJ;EF AJ Tính thể tích khối chóp C.MNEF. Thấy ngay ENC là góc giữa mặt phẳng (P) và mp(ABC). Tứ giác MNCA là hình chiếu vuông góc của tứ giác MNEF trên mp(ABC). dt ( MNCA) Suy ra dt ( MNEF )  cos ENC  a2 3 Ta có ENC  , dt ( ABC )  4 4 a2 3 a2 3  2 dt ( ABC )  dt ( BMN ) 32  7 6a  4 Suy ra: dt ( MNEF )   1 32 cos 4 2 3 a 3 2a  Mặt khác d (C , mp( MNFEF ))  . 4 2 8 1 7 6a 2 3 2a 7 3a 3 .  Gọi V là thể tích khối chóp C.MNEF, ta có: V  . 3 32 8 128 Chọn đáp án B. Câu 27: Cho hình hộp đứng ABCD.A B C D có đáy là h nh thoi diện tích S1, các tứ giác ACC A và BDD B có diện tích lần lượt là S2, S3. Thể tích khối hộp ABCD.A B C D tính theo S1, S2, S3 là ? S1S2 S3 S1S2 S3 S1S2 S3 2 A. B. C. D. S1S2 S3 2 3 2 3 Hướng dẫn giải: Gọi đáy của hình hộp có độ dài 2 đường chéo là AC  a, BD  b và đường cao hình hộp là AA  BB  c a 2b 2 c 2 1 Suy ra được S1  ab ; S2  AC.AA'  ac ; S3  BD.BB '  bc  S1S2 S3  2 2 2 2 2 1 1 abc SS S Thể tích khối hộp là: V  S1.c  abc   1 2 3 2 2 2 2 Chọn đáp án A. Câu 28: Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A B C D có đáy là h nh vuông có thể tích là V. Để diện tích toàn phần của lăng trụ nhỏ nhất thì cạnh đáy của lăng trụ bằng: V 3 A. 3 B. V 2 C. 3 V D. V 2 Hướng dẫn giải: V Gọi x, h lần lượt là cạnh đáy và chiều cao của lăng trụ. Có V  x 2 h  h  2 x V V V V V  Stp  2 x 2  4 xh  2 x 2  4  2  x 2     2.3 3 x 2 . .  6 3 V 2 x x x x x  V Dấu “=” xảy ra  x 2   x  3 V x Chọn đáp án C. Câu 29: Cho hình lập phương ABCD.A B C D . Mặt phẳng (BDC ) chia khối lập phương thành 2 phần có tỉ lệ thể tích phần nhỏ so với phần lớn là : 1 1 1 2 A. B. C. D. 3 6 4 10 Hướng dẫn giải: