THAM LUẬN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ HÀM SỐ
Gửi bởi: Thành Đạt 27 tháng 9 2020 lúc 11:29:00 | Được cập nhật: 1 giờ trước (14:23:40) Kiểu file: PDF | Lượt xem: 153 | Lượt Download: 0 | File size: 0.403929 Mb
Nội dung tài liệu
Tải xuống
Link tài liệu:
Các tài liệu liên quan
- Các đề luyện thi TNTHPT môn Toán
- Chuyên đề sự đồng biến và nghịch biến
- Chuyên đề cực trị của hàm số
- Test công thức
- 300 câu trắc nghiệm chương Đạo hàm theo chủ đề
- 520 bài tập trắc nghiệm đạo hàm
- Đề luyện tập Chuyên đề 1 - Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
- Đề luyện tập Chuyên đề 2 - Khối đa diện
- Đề luyện tập Chuyên đề 3 - Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm lôgarit
- ĐỀ 44-TỔNG HỢP (ĐẾN NGUYÊN HÀM-MẶT CẦU)
Có thể bạn quan tâm
Thông tin tài liệu
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com
SỞ GIÁO DỤC – DÀO TẠO TỈNH BÌNH PHƯỚC
TRƯỜNG THPT TX PHƯỚC LONG
----*O*----
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
GIẢI BÀI CÁC TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU,CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ KHI
KHÔNG SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ ĐẢO DẤU TAM THỨC BẬC HAI
GIÁO VIÊN : LÊ QUỐC HOÀNG
ĐƠN VỊ : TRƯỜNG THPT TX PHƯỚC LONG
NĂM HỌC : 2010 – 2011
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long
1
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com
MỞ ĐẦU
1/Lý do chọn đề tài
Như chúng ta đều biết các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số là một trong
những bài toán không thể thiếu trong các kì thi Tốt nghiệp THPT và tuyển sinh đại học.
Trong đó thường gặp nhiều bài toán “ Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu hoặc có cực trị
trong khoảng K ”. Khi giải bài toán này sẽ đưa đến vấn đề “tìm điều kiện để y’<0 (y’>0)
trên K hoặc phương trình y’= 0 có nghiệm trên K” .Đây thực chất là vấn đề so sánh
nghiệm của một phương trình bậc hai với số thực . Nếu theo chương trình sách giáo
khoa cũ lớp 10 thì học sinh có thể vận dụng định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai và
các hệ quả của nó để giải bài toán. Tuy nhiên có nhiều bài toán đưa đến việc phải xét
nhiều trường hợp do đó lời giải khá dài dòng và phức tạp. Hơn nữa , theo chương trình
sách giáo khoa mới của Bộ giáo dục đang phát hành thì phần kiến thức liên quan đến
định lí đảo và các hệ quả của nó đã được giảm tải. Do đó chúng ta gặp phải vấn đề “Làm
thế nào để giải bài toán trên một cách hiệu quả mà chỉ cần vận dụng các kiến thức
được học trình sách giáo khoa hiện hành”. Với suy nghĩ nhằm giúp các em tìm tòi,
sáng tạo và hứng thú hơn trong việc học tập môn toán đồng thời nâng cao chất lượng
giảng dạy nên tôi viết đề tài sang kiến kinh nghiệm “ Giải các bài toán về tính đơn
điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai”
2/Nội dung sáng kiến
A.Mở đầu
B.Nội dung đề tài
I.Cơ sở lý thuyết – Ví dụ minh họa
II.Bài tập thực hành
C. Kết quả và bài học kinh nghiệm
Phước Long, ngày 08 tháng 01 năm 2011.
Người viết
Lê Quốc Hoàng
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long
2
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com
NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
I.CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.Kiến thức cần nhớ
i) Phương trình bậc hai
a) Định nghĩa.
Phương trình bậc hai đối với ẩn x ( x R ) là phương trình có dạng:
ax 2 bx c 0 1
a 0
b)Cách giải.
Tính b 2 4ac
Nếu 0 thì phương trình (1) vô nghiệm.
Nếu 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép x1 x2
b
.
2a
Nếu 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
x1
b
b
, x2
2a
2a
c)Định lý Vi-et – Dấu các nghiệm.
Định lý: Nếu phương trình bậc hai ẩn x R :
ax 2 bx c 0 1 a 0 có hai nghiệm x1 , x2 thì
S x1 x2
b
c
, P x1.x2 .
a
a
Dấu các nghiệm:
Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu P 0 .
0
.
P 0
Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu
0
Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dương P 0 .
S 0
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long
3
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com
0
Phương trình (1) có hai nghiệm cùng âm P 0 .
S 0
ii)Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) đồng biến trên K là f '( x) 0, x K
đồng thời f '( x) 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc K.
Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) nghịch biến trên K là f '( x) 0, x K
đồng thời f '( x) 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc K.
iii) Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị
Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x0 , khi đó nếu f có đạo hàm tại x0
thì f '( x0 ) 0
Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa x0 và có đạo hàm
trên các khoảng (a;x0) và (x0;b) klhi đó :
Nếu f '( x) 0, x (a; x0 ) và f '( x) 0, x ( x0 ; b) thì hàm số đạt cực tiểu
tại x0.
Nếu f '( x) 0, x (a; x0 ) và f '( x) 0, x ( x0 ; b) thì hàm số đạt cực đại
tại x0.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long
4
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com
2. Phương pháp giải toán
*Bài toán 1: Cho hàm số : y = ax3 + bx2 + cx + d (1) (a 0)
Tìm điều kiện để hàm số (1) :
a) Đồng biến trên (; ) .
b) Đồng biến trên ( ; ) .
c) Đồng biến trên ( ; ) .
Lời giải thường gặp
Lời giải đề nghị
Txđ: D = R
Txđ: D = R
y ' f ( x) 3ax 2bx c
a)Hàm số (1) đồng biến trong
khoảng (; )
f ( x) 0, x (; )
2
a 0
0
a 0
0
f ( ) 0
S 2 0
y ' f ( x) 3ax 2 2bx c
TH1: Nếu bpt: f ( x) 0 h(m) g ( x) (i )
a)Hàm số(1) đồng biến trong khoảng (; )
h(m) g ( x) , x (; )
h(m) Max g ( x)
( ; ]
b)Hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( ; )
h(m) g ( x) , x ( ; )
h(m) Max g ( x)
[ ; )
c) Hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( ; )
h(m) g ( x) , x ( ; )
h(m) Max g ( x)
[ ; ]
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long
5
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com
b) Hàm số (1) đồng biến trong
khoảng ( ; )
f ( x) 0, x ( ; )
a 0
0
a 0
0
f ( ) 0
S 2 0
c) Hàm số(1) đồng biến trong
khoảng ( ; )
f ( x) 0, x ( ; )
a 0
0
a 0
f ( ) 0
S 2 0
f ( ) 0
S 2 0
0
a 0
f ( ) 0
f ( ) 0
TH2: Nếu bpt: f ( x) 0 không đưa được về
dạng (i) thì ta đặt : t = x -
Khi đó ta có:
y ' g (t ) 3at 2 2(3a b)t 3a 2 2b c .
a)Hàm số (1) đồng biến trong khoảng (; )
g (t ) 0, t 0.
a 0
0
a 0
0
S 0
P 0
b)Hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( ; )
g (t ) 0, t 0
a 0
0
a 0
0
S 0
P 0
Nhận xét: Khi nhìn vào bài toán nhiều người sẽ nghĩ ngay đến việc sử dụng định lí đảo
về dấu của tam thức bậc hai và các hệ quả của nó. Nhưng với cách làm như trên ta đã
hướng dẫn học sinh giải quyết bài toán một cách dễ dàng bằng cách ứng dụng đạo hàm
hoặc sử dụng định lý Viet, tránh sử dụng các kiến thức đã được giảm tải trong sách
giáo khoa.
1
*Ví dụ 1: Cho hàm số : y = m 1 x 3 2m 1 x 2 3 2m 1 x 1 (1) (m 1)
3
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long
6
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com
Tìm các giá trị của m để hàm số:
a) Đồng biến trên khoảng (; 1) .
b) Đồng biến trên khoảng (1; ) .
c) Đồng biến trên khoảng (1;1) .
Lời giải thường gặp
Lời giải đề nghị
Txđ: D = R
Txđ: D = R
(m 1) x 2(2m 1) x 3(2m 1)
a)Hàm số (1) đồng biến trong khoảng
(; 1)
f ( x) 0, x (; 1)
(m 1) x 2 2(2m 1) x 3(2m 1)
Ta có: y ' 0 f ( x) 0.
(m 1) x 2 2(2m 1) x 3(2m 1) 0.
y ' f ( x)
2
a 0
' 0
a 0
' 0
f (1) 0
S 2(1) 0
m 1 0
2
2 m 7 m 4 0
m 1 0
2 m 2 7 m 4 0
11m 4 0
m
0
m 1
1
m 2
4
m
11
4 m 1
11
2
4
thì hàm số (1) đồng
Kết luận : m
11
biến trong khoảng (; 1)
y ' f ( x)
x2 2 x 3
.
x2 4 x 6
x2 2 x 3
Đặt : g ( x) 2
.
x 4x 6
6 x 2 18
.
g '( x) 2
( x 4 x 6) 2
a)Hàm số(1) đồng biến trong khoảng
(; 1) y ' 0, x (1; )
m g ( x), x (; 1)
m Max g ( x)
m
( ;1]
Xét : y g ( x) , x (; 1]
Ta có bảng biến thiên:
x
g’(x)
g(x)
-1
+
4
11
-1
Từ bảng biến thiên ta được : m
Kết luận : m
4
11
4
thì hàm số (1) đồng
11
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long
7
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com
b)Hàm số đồng biến trong khoảng
(1; )
f ( x) 0, x (1; ).
a 0
' 0
a 0
' 0
f (1) 0
S 2.1 0
m 1 0
2
2m 7m 4 0
m 1 0
2m 2 7m 4 0
3m 0
m 2
0
m 1
1
m 2
m0
1
0 m
2
Kết luận : m 0 thì hàm số (1) đồng
biến trong khoảng (1; )
c)Hàm số đồng biến trong khoảng (1;1)
f ( x) 0, x (1;1)
biến trong khoảng (; 1)
b)Hàm số đồng biến trong khoảng (1; )
y ' 0, x (1; )
m g ( x), x (1; )
m Max g ( x)
[1; )
Xét : y g ( x) , x [1; )
Ta có bảng biến thiên:
1
x
g’(x)
g(x) 0
-
3
0
+
-1
-4
Từ bảng biến thiên ta được : m 0
Kết luận : m 0 thì hàm số (1) đồng
biến trong khoảng (1; )
c)Hàm số đồng biến trong khoảng (1;1)
y ' 0, x (1;1)
m g ( x), x (1;1)
m Max g ( x)
[ 1;1]
Xét : y g ( x) , x [1;1].
Ta có bảng biến thiên:
x
-1
0
1
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long
8
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com
a 0
' 0
a 0
f (1) 0
S 2(1) 0
f (1) 0
S 2.1 0
' 0
a 0
f (1) 0
f (1) 0
+
g’(x)
g(x)
0
-
1
2
4
11
Từ bảng biến thiên ta được : m
0
1
2
1
thì hàm số (1) đồng
2
biến trong khoảng (1;1)
Kết luận : m
m 1 0
2 m 2 7 m 4 0
2 m 2 7 m 4 0
3m 0
m 2
0
1
m 1
m
11m 4 0
2
m 0
m 1
m 1 0
m 1 0
3m 0
11m 4 0
1
thì hàm số (1) đồng
2
biến trong khoảng (1;1)
Kết luận : m
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long
9
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com
Nhận xét: Với bài toán này nếu sử dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai thì ta
đã phải sử dụng kiến thức đã được giảm tải hơn nữa lời giải khá phức tạp, với cách giải
quyết như trên ta có được lời giải khá ngắn gọn và dễ hiểu sẽ tạo được nhiều hứng thú
cho học sinh.
*Bài toán 2: Cho hàm số : y = ax3 + bx2 + cx + d (1) (a 0)
a)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến trên (; ) .
b)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến trên ( ; ) .
c)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến trên ( ; ) .
Lời giải thường gặp
Lời giải đề nghị
Txđ: D = R
Txđ: D = R
y ' f ( x) 3ax 2bx c
a)Hàm số (1) nghịch biến trong
khoảng (; )
f ( x) 0, x (; )
2
a 0
0
a 0
0
f ( ) 0
S 2 0
y ' f ( x) 3ax 2 2bx c
TH1: Nếu bpt: f ( x) 0 g ( x) h(m) (i )
a)Hàm số(1) nghịch biến trong khoảng
(; )
h(m) g ( x) , x (; )
h(m) Max g ( x)
( ; ]
b)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
( ; )
h(m) g ( x) , x ( ; )
h(m) Max g ( x)
[ ; )
c) Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng ( ; )
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 10
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long