SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ - NGUYỄN MINH NHIÊN

vn to an . SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Nguyễn Minh Nhiên12 1 Bài toán chung uy en Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), xét bài toán về sự tương giao của đồ thị hai hàm số: ( (C1 ) : y = f (x) (C2 ) : y = g(x) Có thể thấy số giao điểm của (C1 ) và (C2 ) cũng chính là số nghiệm của phương trình: f (x) = g(x). (1) Khi đó, bài toán quy về việc biện luận số nghiệm của phương trình (1). Thông thường, nl • Nếu (1) quy về bậc hai thì việc giải quyết bài toán quy về việc tính toán với các nghiệm kết hợp với việc sử dụng định lý Viette. • Nếu (1) là phương trình trùng phương thì ta có thể quy về xét phương trình bậc hai. /o • Nếu (1) là phương trình bậc ba hoặc bậc cao, ta có thể hướng đến: ◦ Nếu cô lập được m đưa (1) thành F (x) = h(m) thì bài toán quy về khảo sát hàm số y = F (x). :/ ◦ Nếu phương trình có nghiệm x = x0 thì ta có thể đưa (1) về dạng (x − x0 )h(x, m) = 0 và tiếp tục biện luận với phương trình h(x, m) = 0. mx2 +x+m x−1 có đồ thị (C). Tìm m tp Ví dụ 1 (Đề thi Đại học khối A năm 2003). Cho hàm số y = để (C) cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương. ht Hướng dẫn giải. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox: ( x 6= 1 mx2 + x + m =0⇔ x−1 mx2 + x + m = 0 (1) 1 Trường THPT Quế Võ Số 1, Bắc Ninh. Bài viết được trình bày lại bằng chương trình soạn thảo LaTeX bởi can_hang2007. Đề nghị các bạn ghi rõ nguồn của http://onluyentoan.vn khi đăng tải trên các trang web khác. 2 1 Nguyễn Minh Nhiên 2 ye nt oa n. vn Đặt f (x) = mx2 + x + m. Ta có (C) cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm dương phân biệt khác 1. Điều này tương đương với     m 6= 0  m 6= 0 ∆ = 1 − 4m2 > 0 ⇔  −1 0 thì ta có y 0 > 0, ∀x ∈ R. Do đó, hàm số đồng biến trên R và như thế đồ thị của nó chỉ cắt Ox tại đúng một điểm. • Xét a < 0, ta có r 2a −a −a ⇒ y1 = +2  x1 = 3 3 3 0  r r y =0⇔ −a −2a −a x2 = − ⇒ y2 = +2 3 3 3 r  Để đồ thị hàm số cắt Ox tại đúng một điểm thì ta phải có ! ! r r 2a −a −2a −a 4a3 y1 y2 > 0 ⇔ +2 +2 >0⇔4+ > 0 ⇔ a > −3. 3 3 3 3 27 Hợp kết quả hai trường hợp, ta được a > −3 là tập hợp các giá trị thỏa mãn yêu cầu.  /o nl u (b) Cách 2. Ta có phương trình hoành độ giao điểm: x3 + ax + 2 = 0. Vì x = 0 không là nghiệm nên ta chỉ cần xét x 6= 0, lúc đó phương trình có thể được viết lại dưới dạng 2 a = −x2 − . (1) x Xét hàm số y = −x2 − x2 với x ∈ R\{0}. Ta có y 0 = −2x + lim y = −∞, x→0+ Bảng biến thiên: x −∞ y0 2 , x2 y 0 = 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = −3, lim y = +∞, x→0− 0 lim y = −∞. x→±∞ 1 +∞ tp :/ 0 − +∞ −3 y −∞ % −∞ % & −∞ + + Dựa vào bảng biến thiên dễ dàng suy ra (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi a > −3. Nhận xét. Với các hàm bậc ba f (x) = ax3 + bx2 + cx + d (a 6= 0), ∆0 = b2 − 3ac, ta có • Nếu ∆0 6 0 thì phương trình f (x) = 0 luôn có nghiệm duy nhất. • Nếu ∆0 > 0 thì hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 , x2 . Khi đó: ht ◦ Phương trình f (x) = 0 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi f (x1 )f (x2 ) > 0. ◦ Phương trình f (x) = 0 có nghiệm có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi f (x1 )f (x2 ) < 0. • Trong trường hợp f (x) = 0 có nghiệm x = x0 , ta đưa phương trình về dạng (x − x0 )g(x) = 0. Sự tương giao của hai đồ thị y = x3 − 2x2 + (1 − m)x + m, vn Ví dụ 5 (Đề thi Đại học khối A năm 2010). Cho hàm số 5 (1) ye nt oa n. trong đó m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn điều kiện x21 + x22 + x23 < 4. Hướng dẫn giải. Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là: x3 − 2x2 + (1 − m)x + m = 0. Biến đổi tương đương phương trình này: (2) (2) ⇔ x3 − 2x2 + x − mx + m = 0 ⇔ x(x2 − 2x + 1) − m(x − 1) = 0 " x=1 ⇔ (x − 1)(x2 − x − m) = 0 ⇔ x2 − x − m = 0 (3) Gọi x1 , x2 là nghiệm của (3) thì ta phải có 12 + x1 2 + x2 2 < 4 ⇔ (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 < 3 ⇔ m < 1. (4) /o nl u Yêu cầu bài toán tương đương với (3) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 6= 1 thỏa mãn điều kiện (4). Điều này xảy ra khi và chỉ khi     ∆ = 1 + 4m > 0  −1 −1 2m + 1 > 0 2 Nguyễn Minh Nhiên 6 ye nt oa n. vn √ Khi đó các nghiệm là ±1, ± 2m + 1. Bốn nghiệm này lập thành một cấp số cộng khi √ √ ( − 1 + 2m + 1 = −2 2m + 1  " √ √ √  4  − 2m + 1 + 1 = 2 2m + 1 3 2m + 1 = 1 m = − (thỏa) ( √ 9 √ ⇔ ⇔  3 = 2m + 1 − 2m + 1 + 1 = −2  m = 4 (thỏa) √ − 1 + 2m + 1 = 2 Vậy có hai giá trị thỏa mãn yêu câu đề bài là m = 4 và m = − 94 .  (b) Cách 2. Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm )và trục hoành là: x4 − 2(m + 1)x2 + 2m + 1 = 0. (1) t2 − 2(m + 1)t + 2m + 1 = 0. (2) Đặt t = x2 > 0 thì ta có Chú ý rằng (Cm ) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi có 4 nghiệm phân biệt. Điều này đồng nghĩa với việc (2) phải có hai nghiệm dương phân biệt, hay là   2 0   ∆ = (m + 1) − 2m − 1 > 0  m 6= 0 ⇔ S = 2 (m + 1) > 0   m > −1  P = 2m + 1 > 0 2 /o nl u √ Khi đó, gọi các nghiệm của (2) là t , t (0 < t < t ), ta suy ra 4 nghiệm của (1) là − t2 , 1 2 1 2 √ √ √ − t1 , t1 , t2 theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Ta có ( √ √ √ √ √ − t2 + t1 = −2 t1 ⇔ t2 = 3 t1 ⇔ t2 = 9t1 . (3) √ √ √ − t1 + t2 = 2 t1 Áp dụng định lý Viette, ta có và m+1 , 5 t2 = tp :/ Từ (3) và (4) suy ra t1 = t1 + t2 = 2m + 2 (4) t1 t2 = 2m + 1. (5) 9m+9 . 5 Thay vào (5), ta được  4 (thỏa) 9 9(m + 1) = 25(2m + 1) ⇔ 9m − 32m − 16 = 0 ⇔  m = 4 (thỏa) 2 2 m=− Như vậy, ta tìm được hai số thỏa mãn yêu cầu đề bài là m = 4 và m = − 49 . Nhận xét. ht • Phương trình ax4 + bx2 + c = 0 có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi phương trình at2 + bt + c = 0 có hai nghiệm dương t1 , t2 thỏa mãn t2 = 9t1 . • Phương trình ax3 + bx2 + cx = d = 0 (a 6= 0) có ba nghiệm lập thành cấp số cộng thì b x = − 3a là một nghiệm phương trình đó. Sự tương giao của hai đồ thị vn 2 7 Bài tập tự luyện Hy vọng qua các ví dụ trên, bạn đọc sẽ nắm được dạng toán tương giao giữa hai đồ thị hàm số. Cuối cùng mời các bạn cùng giải quyết một số bài tập sau: 2 ye nt oa n. Bài tập 1 (Đề thi Đại học khối D năm 2008). Cho hàm số y = x3 − 3x2 + 4 có đồ thị (C). Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1, 2) với hệ số góc k > −3 đều cắt đồ thị hàm số (C) tại ba điểm phân biệt I, A, B, đồng thời I là trung điểm của AB. . Xác định m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số Bài tập 2. Cho hàm số y = x +mx−1 x−1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA ⊥ OB. Bài tập 3. Cho hàm số (Cm ) : y = x3 + mx2 − x − m. Tìm m để (Cm ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt và hoành độ các giao điểm lập thành một cấp số cộng. 2 . Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của đồ thị hàm số Bài tập 4. Cho hàm số (C) : y = x −2x+2 x−1 (C). Hãy viết phương trình hai đường thẳng đi qua I sao cho chúng có hệ số góc nguyên và cắt đồ thị hàm số tại 4 điểm phân biệt là 4 đỉnh của một hình chữ nhật. Bài tập 5 (Đề thi Học viện Ngân hàng năm 1999). Xác định a để mọi đường thẳng có phương trình y = m (với −4 < m < 0) cắt đồ thị hàm số y = −x3 + ax2 − 4 tại ba điểm phân biệt. Bài tập 6 (Đề thi Đại học Kiến trúc Hà Nội năm 1994). Cho hàm số (Cm ) : y = x4 + 2mx2 + m. /o nl u Tìm m để đường thẳng y = −3 cắt (Cm ) tại 4 điểm phân biệt, trong đó một điểm có hoành độ lớn hơn 2, ba điểm còn lại có hoành độ nhỏ hơn 1. Bài tập 7. Cho hàm số y = x3 + 3x2 − 9x + m. Với những giá trị nào của m thì đồ thị hàm số cắt Ox tại: (a) Ba điểm phân biệt? (b) Một điểm duy nhất? tp :/ Bài tập 8 (Đề thi Đại học khối D năm 2009). Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng 2 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho trung điểm y = −2x + m cắt đồ thị hàm số y = x +x−1 x của đoạn thẳng AB thuộc trục tung. Bài tập 9. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số y = x2 − 1, y = 2x−m cắt x nhau tại ba điểm phân biệt. Khi đó, tìm tâm và bán kính đường tròn đi qua ba giao điểm đó. ht Bài tập 10. Cho hàm số (C) : y = mx3 − nx2 − 9mx + 9n. Tìm m, , n để trong các giao điểm của (C) với trục hoành có hai giao điểm cách nhau 9 đơn vị và khoảng cách từ tâm đối xứng của (C) đến trục hoành bằng 2 đơn vị.