Sổ tay Toán học lớp 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG THCS – THPT HOA SEN SỔ TAY TOÁN HỌC-12 Họ và tên: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lớp: ................................. LƯU HÀNH NỘI BỘ 1| Sổ tay toán học-12 SỔ TAY TOÁN HỌC-LỚP 12 Đạo hàm 1 (xn )0 = n.xn−1 2 (un )0 = n.u0 .un−1 √ 0 1 3 ( x) = √ 2 x Å ã0 1 1 5 =− 2 x x √ 0 u0 4 ( u) = √ 2 u Å ã0 1 u0 6 =− 2 u u 7 (sin x)0 = cos x 8 (sin u)0 = u0 . cos x 9 (cos x)0 = − sin x 10 (cos u)0 = −u0 . sin x u0 cos2 u u0 14 (cot u)0 = − 2 sin u 11 (tan x)0 = 1 cos2 x 1 13 (cot x)0 = − 2 sin x 12 (tan u)0 = 15 (ex )0 = ex 16 (eu )0 = u0 .eu 17 (ax )0 = ax ln a 18 (au )0 = u0 .au ln a 19 (ln x)0 = 1 x 21 (loga x)0 = 20 (ln u)0 = 1 x ln a u0 u 22 (loga u)0 = u0 u ln a Quy tắc tính đạo hàm 1 (u ± v)0 = u0 ± v 0 3 (u.v)0 = u0 .v + u.v 0 2 (k.u)0 = k.u0  u 0 u0 .v − u.v 0 4 = v v2 Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm trên K • Nếu f 0 (x) ≥ 0, ∀x ∈ K và f 0 (x) chỉ tại hữu hạn điểm x ∈ K thì ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 1 2| Sổ tay toán học-12 hàm số y = f (x) đồng biến trên K • Nếu f 0 (x) ≤ 0, ∀x ∈ K và f 0 (x) chỉ tại hữu hạn điểm x ∈ K thì hàm số y = f (x) nghịch biến trên K Qui tắc xét tính đơn điệu hàm số y = f (x) Bước 1: Tìm tập xác định D Bước 2: Tính đạo hàm f 0 (x) và tìm nghiệm f 0 (x) = 0, (x1 .x2 ... ∈ D ) Bước 3: Lập bảng biến thiên Bước 4: Từ bảng biến thiên và kết luận tính đơn điệu hàm số y = f (x) Cực trị hàm số Hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại x0 thì f 0 (x0 ) = 0 Qúy tắc 1 • Bước 1: Tìm tập xác định. Tính f 0 (x) • Bước 2: Tìm các điểm xi (i = 1; 2; ...) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm. • Bước 2: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu f 0 (x). Nếu f 0 (x) đổi dấu khi đi qua xi thì hàm số đạt cực trị tại xi . Qúy tắc 2 • Bước 1: Tìm tập xác định. Tính f 0 (x) • Bước 2: Tìm nghiệm xi (i = 1; 2; ...) của phương trình f 0 (x) = 0 • Bước 3: Tính f 00 (x) và tình f 00 (xi ) + Nếu f 00 (xi ) < 0 thì hàm số f (x) đạt cực đại tại xi . + Nếu f 00 (xi ) > 0 thì hàm số f (x) đạt cực tiểu tại xi . ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 2 3| Sổ tay toán học-12 Hàm bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d y0; ∆ a>0 a<0 y y O x 0 y = 0; ∆y0 > 0 (có 2 nghiệm) O x y y y 0 = 0, ∆y0 = 0 (có nghiệm kép) x O x O y y 0 = 0; ∆y0 < 0 (vô nghiệm) ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em y O x O x 3 4| Sổ tay toán học-12 Hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c y 0 ; a; b a>0 y a<0 y y 0 = 0; a.b < 0 O (có 3 cực trị) x x O y y y 0 = 0; a.b ≥ 0 O (có 1 cực trị) Hàm số hữu tỉ y = y0 = O x ad − bc >0 (cx + d)2 d y TCĐ: x = − ax + b cx + d y0 = ad − bc <0 (cx + d)2 y d TCĐ: x = − c TCN: y = x c a c O x O TCN: y = a c x Điều kiện đồng biến, nghịch biến hàm bậc 3 1 Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d, đồng biến trên R.   a > 0 a > 0 y 0 ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ⇔  0  2 ∆y ≤ 0 b − 3a.c ≤ 0 2 Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d, nghịch biến trên R. ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 4 5| Sổ tay toán học-12 y 0 ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔  a < 0 ⇔  0 ∆y ≤ 0  a < 0  2 b − 3a.c ≤ 0 Điều kiện cực trị hàm bậc 3-trùng phương 1 Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d, đạt cực đại tại x0  y 0 (x0 ) = 0 ⇔  00 y (x0 ) < 0 2 Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d, đạt cực tiểu tại x0  y 0 (x0 ) = 0 ⇔  00 y (x0 ) > 0 3 Hàm số y = ax4 + bx2 + c có 3 cực trị ⇔ a.b < 0 4 Hàm số y = ax4 + bx2 + c có 1 cực đại, 2 cực tiểu ⇔  a > 0  4 b<0 2 5 Hàm số y = ax + bx + c có 2 cực đại, 1 cực tiểu ⇔  a < 0  4 b>0 2 6 Hàm số y = ax + bx + c có 1 cực trị.   a 6= 0 a = 0 hoặc   b 6= 0 a.b ≥ 0 7 Hàm số y = ax4 + bx2 + c có 1 cực tiểu.   a = 0 a > 0 hoặc   b>0 a.b ≥ 0 8 Hàm số y = ax4 + bx2 + c có 1 cực đại. ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 5 6| Sổ tay toán học-12  a = 0  b<0 hoặc  a < 0  a.b ≤ 0 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Tính y 0 , cho y 0 = 0, nhận nghiệm x1 , x2 , · · · ∈ [a; b] Tính y(a), y(b), y(x1 ), y(x2 ), · · · So sánh y(a), y(b), y(x1 ), y(x2 ), · · · Suy ra max y; min y [a;b] [a;b] Đường tiệm cận å Ç lim y = ±∞ lim y = ±∞ ⇒ TCĐ: x = x0 x→x− 0   lim y = y0 lim y = y0 ⇒ TCN: y = y0 x→x+ 0 x→+∞ x→−∞ Lũy thừa (a > 0) 2 (a.b)n = an .bn  a  n an = n 5 b b 1 8 a−n = n a 1 am .an = am+n am 4 n = am−n a 7 (am )n = am.n √ k ak = a 2 √ k n 6 ak = a n p √ k m n 9 ak = a m.n 3 Lôrarit (0 < a 6= 1, 0 < b 6= 1) 1 loga 1 = 0 3 loga a = 1 5 loga aα = α 1 7 logx a = loga x ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 2 loga (x.y) = loga x + loga y. Å ã x 4 loga = loga x − loga y. y 6 loga xα = α loga x. 1 8 logam x = loga x. m 6 7| Sổ tay toán học-12 9 loga x = loga b. logb x 10 loga x = logb x . logb a Hàm số lũy thừa y = xα , α ∈ R y α>1 Tập xác định: α=1 • D = R khi α nguyên dương • D = R \ {0} khi α nguyên âm 0<α<1 • D = (0; +∞) khi α không 1 nguyên O α=0 α<0 x 1 Hàm số mũ y = ax a>1 01 1 1 O TCN: y = 0 O x TCN: y = 0 00 • D = (0; +∞) ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 01 x 1 O TCĐ: x = 0 TCĐ: x = 0 O 1 x 01 af (x) > ag(x) ⇔ f (x) > g(x) af (x) = ag(x) ⇔ f (x) = g(x) 0 ag(x) ⇔ f (x) < g(x) Phương trình và bất phương trình logarit Khi giải phương trình, bất phương trình logarit: Đặt điều kiện loga x = b ⇔ x = ab a>1 loga f (x) > loga g(x) ⇔ ⇔ f (x) > g(x) ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em loga f (x) = logb g(x) ⇔ f (x) = g(x) 0 loga g(x) ⇔ ⇔ f (x) < g(x) 8 9| Sổ tay toán học-12 Lãi suất ngân hàng 1 Lãi đơn: Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi không đến rút tiền ra. Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r%/kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn (n ∈ N∗ ) là Sn = A + n.A.r = A(1 + nr) 2 Lãi kép: Lãi kép là tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau. Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r%/kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn (n ∈ N∗ ) là … Å ã Sn Sn Sn n Sn = A(1 + r) ; n = log1+r −1 ; A= ; r% = n A A (1 + r)n Bảng nguyên hàm Z Z dx = x + C 1 x xn dx = +C n+1 Z dx 1 5 =− +C 2 x Z x dx 7 = ln |x| + C Z x 9 ex dx = ex + C 3 ax +C ln a Z 13 cos xdx = sin x + C Z 11 ax dx = kdx = kx + C 2 n+1 Z Z 4 Z 6 Z 8 Z 10 Z 12 Z 14 ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 1 (ax + b)n+1 (ax + b)n dx = +C a n+1 dx 1 1 =− . +C 2 (ax + b) a ax + b dx 1 = ln |ax + b| + C ax + b a 1 ax+b e dx = eax+b + C a 1 aαx+β αx+β a dx = +C α ln a 1 cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C a 9 10 | Sổ tay toán học-12 1 sin xdx = − cos x + C 16 sin(ax+b)dx = − cos(ax+b)+C a Z Z dx dx 1 17 = tan x + C 18 = tan(ax + b) + C 2 2 a Z cos x Z cos (ax + b) dx dx 1 19 = − cot x + C 20 = − cot(ax + b) + C 2 2 a Z sin (ax + b) Z sin x 1 21 tan xdx = − ln |cos x| + C 22 tan(ax + b)dx = − ln |cos x| + C a Z Z 1 23 cot xdx = ln |sin x| + C 24 cot(ax + b)dx = ln |sin x| + C a Z Z 1 1 x 1 1 x−a 25 dx = ln +C 26 dx = arctan + C 2 2 x2 − a2 2a x+a x +a a a Z Z 15 Tích phân Zb b = F (b) − F (a) f (x)dx = F (x) a a Za Zb dx = 0 1 2 a a Zb a Zb 4 b [f (x) ± g(x)] dx = Zb f (x)dx ± a Zb Zc f (x)dx = a b f (x)dx a 5 f (x)dx Za k.f (x)dx = k 3 f (x)dx = − Za Zb g(x)dx a Zb f (x)dx + f (x)dx a c Tích phân từng phần Zb b 0 − u.v dx = u.v a ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em a Zb u0 .vdx a 10 11 | Sổ tay toán học-12 Zb hay Zb b − udv = u.v v.du a a a Diện tích phẳng phẳng 1 Diện tích hình phẳng 2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi  y = f (x) giới hạn bởi  y = f (x)  y = 0; x = a; x = b y  y = g(x); x = a; x = b y = f (x) y y = f (x) y = g(x) O a Zb S= x b a O Zb |f (x)| dx S= a y c 4 Diện tích hình phẳng y y = f (x) b x c |h(x)| dx + a Zd Zc S= b x f (x)dx− a Zd f (x)dx+ c f (x)dx b Zb h(x)dx − a |h(x)| dx c Zc S= Zb d a O S= |f (x) − g(x)| dx y = h(x) a Zc x a 3 Diện tích hình phẳng O b h(x)dx c ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 11 12 | Sổ tay toán học-12 Thể tích vật thể tròn xoay 1 Thể tích của vật thể giới 2 Thể tích của vật thể giới bạn bởi  (P ), (Q)⊥Ox bạn bởi  y = f (x), Ox  x = a; x = b  x = a; x = b Zb V = Zb V = π. S(x)dx a f 2 (x)dx a Số phức 1 Định nghĩa và tính chất • z = a + bi, (i2 = −1) là số phức – Phần thực: a – Phần ảo: b • Cho z = a + bi và z 0 = a0 + b0 i thì – z + z 0 = (a + a0 ) + (b + b0 )i – z − z 0 = (a − a0 ) + (b − b0 )i – z.z 0 = (aa0 − bb0 ) + (ab0 + a0 b)i z aa0 + bb0 a0 b − a − b0 – 0 = 02 + z a + b02 a02 + b02 2 Số phức liên hợp • Cho z = a + bi thì z = a − bi là số phức liên hợp của z. • Tính chất ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 12 13 | Sổ tay toán học-12 2 2 – z.z Å = ã a + b ; z1 + z2 = z1 + z2 ; z1 .z2 = z1 .z2 z1 z1 = ; z + z = 2a; z − z = 2bi – z2 z2 3 Môdun số phức √ • Cho z = a + bi thì |z| = a2 + b2 • |z| = |z|; |z1 .z2 | = |z1 |.|z2 | z1 |z1 | • = ; |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |; |z1 − z2 | ≥ |z1 | − |z2 | z2 |z2 | 4 Biểu diễn hình học số phức y z = a + bi ⇒ M (a; b) b M 2 2 + b p a = O | |z = M a O x 5 Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0, (a 6= 0), ∆ = b2 − 4ac. √ −b ± ∆ • ∆ > 0 phương trình có 2 nghiệm thực: x1,2 = 2a p −b ± |∆|i • ∆ < 0 phương trình có 2 nghiệm phức: x1,2 = 2a Khối đa diện đều Số Tên Số Số Mặt Loại Hình đỉnh cạnh mặt đ.x 1 Khối tứ {3; 3} 4 6 4 6 diện đều ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 13 14 | Sổ tay toán học-12 2 Khối lập {4; 3} 8 12 6 9 {3; 4} 6 12 8 9 {5; 3} 20 30 12 15 {3; 5} 12 30 20 15 phương 3 Khối bát diện đều 4 Khối 12 mặt đều 5 Khối 20 mặt đều Thể tích khối đa diện 1 Thể tích khối lập phương cạnh a: V = a3 2 Diện tích xung quanh: Sxq = 4a2 3 Diện tích toàn phần: Stp = 6a2 ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 14 15 | Sổ tay toán học-12 4 Thể tích khối hộp chữ nhật V = a.b.c 5 Diện tích xung quanh: Sxq = 2(a.c + c.b) 6 Diện tích toàn phần: Stp = 2(a.c + c.a + a.b) 7 Thể tích khối lăng trụ V = Sđáy .h Sđáy : Diện tích đáy h: chiều cao lăng trụ 8 Thể tích khối chóp 1 V = Sđáy .h 3 Sđáy : Diện tích đáy h: chiều cao lăng trụ 9 Tỉ số thể tích khối chóp Hình chóp S.ABC, gọi A0 , B 0 , C 0 lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA, SB, SC VS.A0 B 0 C 0 SA0 SB 0 SC 0 = VS.ABC SA SB SC SA SB SC SD ,b = ,c = ,d = SA0 SB 0 SC 0 SD0 VS.A0 B 0 C 0 D0 a+b+c+d = VS.ABCD 4abcd 10 a = ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 15 16 | Sổ tay toán học-12 AM BN CP ,b = ,c = 0 0 AA BB CC 0 a+b+c VABC.M N P = 0 0 0 VABC.A B C 3 11 a = BN CP DQ AM ,b = ,c = ,d = AA0 BB 0 CC 0 DD0 và a + c = b + d a+b+c+d VABCD.M N P Q = VABCD.A0 B 0 C 0 D0 4 12 a = Khối tròn xoay 1 Diện tích mặt cầu: S = 4πR2 4 2 Thể tích khối cầu: V = πR3 3 3 Thể tích chỏm cầu: Å ã
h πh V = πh2 R − = 3r2 + h2 3 6 4 Diện tích xung quanh chỏm cầu
Sxq = 2πRh = π r2 + h2 ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 16 17 | Sổ tay toán học-12 5 Diện tích xung quanh: Sxq = 2πRl 6 Diện tích toàn phần: Stp = 2πR(l + R) 7 Thể tích khối trụ: V = πR2 h 8 Diện tích xung quanh: Sxq = πRl 9 Diện tích toàn phần: Stp = πR(l + R) 1 10 Thể tích khối nón: V = πR2 .h 3 √ √ l = h2 + R2 ; h = l2 − R2
π.h 2 R + r2 + R.r 3 = π (R + r) l 11 V = 12 Sxq 13 Stp = π R2 + r2 + R.l + r.l
Thiết diện của mặt phẳng cắt hình tròn xoay Hình trụ có thiết diện qua trục OO0 là hình chữ nhật ABB 0 A0 • Chiều rộng: AB = 2R • Chiều dài: AA0 = h = l • Diện tích: SABB 0 A0 = AB.AA0 = 2.R.l ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 17 18 | Sổ tay toán học-12 Hình nón có thiết diện qua trục SO là tam cân SAB tại S • Cạnh bên: SA = SB = l • Cạnh đáy: AB = 2R • Diện tích: S4SAB = R.h Hình học phẳng • 4ABC vuông tại A: BC 2 = AB 2 + AC 2 1 1 1 • = + 2 2 AH AB AC 2 1 • Diện tích: S4ABC = AB.AC 2 • 4ABC vuông cân tại tại A BC 2 + S4ABC = √4 + BC = AB 2 1 1 1 • S4ABC = ha .a = hb .b = hc .c 2 2 2 • S4ABC = • S4ABC = • • • • 1 1 1 bc sin A = ca sin B = ab sin C 2p 2 2 p(p − a)(p − b)(p − c) a+b+c S4ABC = pr, p = 2 abc S4ABC = 4R a2 = b2 + c2 − 2b.c cos A a b c = = = 2R sin A sin B sin C ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 18 19 | Sổ tay toán học-12 • Hình vuông ABCD cạnh a √ + AC = BD = a 2 + SABCD = a2 • Tam giác ABC đều cạnh√a a 3 + Đường cao: AM = 2√ a 3 + GA = GB = GC = 3√ a2 3 + Diện tích: S4ABC = 4 Công thức tính nhanh thể tích 1 Hình chóp S.ABC có SA = c, AB = a, AC = b đôi một vuông abc góc: VS.ABC = 6 2 Hình chóp S.ABC có đáy 4ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên bằng b: √ a2 3b2 − a2 VS.ABC = 12 √ a3 2 Khi a = b thì VS.ABC = 12 ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 19 20 | Sổ tay toán học-12 3 Hình chóp tam giác đều có cạnh đáy a, cạnh bên tạo với đáy 1 góc α: a3 tan α VS.ABC = 12 4 Hình chóp tam giác đều có cạnh bên b, cạnh bên tạo với đáy 1 góc α: √ 3 3b sin α cos2 α VS.ABC = 4 5 Hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với đáy 1 góc α: a3 tan α VS.ABC = 24 6 Hình chóp đều S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên b: √ a2 4b2 − 2a2 VS.ABCD = 6 √ a3 2 Khi a = b thì VS.ABCD = 6 ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 20 21 | Sổ tay toán học-12 7 Hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng √ a3 2 tan α α: VS.ABCD = 6 8 Hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên bằng b, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 4b3 . tan α α: VS.ABCD = » 3 3 (2 + tan2 α) 9 Hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng √ a2 tan2 α − 1 α: VS.ABCD = 6 10 Hình nón nội tiếp hình chóp đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng … a a2 b: r = , h = SO = b2 − 2 … 2 a2 πa2 b2 − 2 Thể tích nón: Vnón = 12 √ πa3 2 Khi a = b: Vnón = 24 ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 21 22 | Sổ tay toán học-12 11 Hình nón ngoại tiếp hình chóp đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng … √ a2 a 2 b: r = , h = SO = b2 − 2 2 … a2 πa2 b2 − 2 Thể tích nón: Vnón = 6 √ πa3 2 Khi a = b: Vnón = 12 12 Hình nón nội tiếp hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bằng a, cạnh bên bằng … √ a 3 a2 b: r = , h = SO = b2 − 6 √ √3 a 6 πa3 6 Khi a = b: h = ,V = 3 108 13 Hình nón ngoại tiếp hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bằng a, cạnh bên bằng … √ a 3 a2 b: r = , h = SO = b2 − 3 3 √ √ a 6 πa3 6 Khi a = b: h = ,V = 2 27 ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 22 23 | Sổ tay toán học-12 14 Hình nón nội tiếp hình lập phương cạnh a. r = πa3 a , h = a, V = 2 12 15 Hình cầu nộp tiếp hình lập phương cạnh a r= πa3 a ,V = 2 6 16 Hình cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật √ a2 + b2 + c2 có cạnh a, b, c: R = 2 √ √ a 3 πa3 3 Khi a = b = c: r = ,V = 2 2 ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 23 24 | Sổ tay toán học-12 17 Hình cầu ngoại tiếp tứ diện đều cạnh √ √ a 6 , V = πa3 6 a: r = 4 18 Hình cầu nội tiếp tứ diện đều cạnh a: √ √ a 6 πa3 6 r= ,V = 12 216 Hệ tọa độ trong không gian 1 Tọa độ vec-tơ • Vec-tơ đơn vị: #» #» #» i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1) #» #» #» • Vec-tơ #» a = a1 . i + a2 . j + a2 + a3 . k ⇒ #» a = (a1 ; a2 ; a3 ) #» • Tính chất: Cho hai vec-tơ #» a = (a1 ; a2 ; a3 ), b = (b1 ; b2 ; b3 ) ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 24 25 | Sổ tay toán học-12 #» + Tổng-hiệu: #» a ± b = (a1 ± b1 ; a2 ± b2 ; a3 ± b3 ) + Tích 1 số với 1 vec-tơ: k #» a = (k.a1 ; k.a2 ; k.a3 ) p + Độ dài vec-tơ: | #» a | = a21 + a22 + a23 #» + Hai vec bằng nhau: #» a = (a1 ; a2 ;a3 ), b = (b1 ; b2 ; b3 )   a1 = b1    #» #» a = b ⇔ b1 = b2     a = b 3 3 #» #» + Hai vec-tơ cùng phương: a = k. b a2 a3 a1 = = =k ⇔ b1 b2 b3 + Tích vô hướng của hai vec-tơ #» #» a . b = a .b + a .b + a .b 1 1 2 2 3 3 #» + Vec-tơ #» a vuông góc b #» #» #» a ⊥ b ⇔ #» a . b = 0 ⇔ a1 .b1 + a2 .b2 + a3 .b3 = 0 + Tích có hướng của 2 vec-tơ î #»ó #» a, b = Ñ a2 a3 b2 b3 ; a3 a1 b3 b1 ; a1 a2 b1 é b2 = (a2 b3 − a3 b2 ; a3 b1 − a1 b3 ; a1 b2 − a2 b1 ) + Góc giữa hai vec-tơ: 0◦ ≤ α ≤ 180◦ Ä #»ä a1 .b1 + a2 .b2 + a3 .b3 p cos α = cos #» a, b = p 2 a1 + a22 + a23 . b21 + b22 + b23 2 Tọa độ điểm ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 25 26 | Sổ tay toán học-12 # » #» #» #» • OM = x. i + y. j + z. j ⇒ M (x; y; z). • Tính chất: Cho các điểm A (xA ; yA ; zA ); B (xB ; yB ; zB ); C (xC ; yC ; zC ) + Độ dài đoạn thẳng AB » AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2 + Tọa độ trung điểm I củađoạn thẳng AB xA + xB   xI =   2   y A + yB I : yI =  2    z + zB A  zI = 2 # » # » + Điểm chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k: M A = k.M B xA − k.xB yA − k.yB zA − k.zB xM = ; yM = ; zM = 1−k 1−k 1−k + Tọa độ trong tâm G của4ABC xA + xB + xC   xG =   3   yA + yB + yC G : yG =  3    zA + zB + zC   zG = 3 ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 26 27 | Sổ tay toán học-12 Ứng dụng tích có hướng của 2 vec-tơ î #»ó #» #» 1 #» a và b cùng phương: #» a, b = 0 î #»ó #» 2 #» a , b , #» c đồng phẳng: #» a , b . #» c =0 3 Diện tích 4ABC: S4ABC = 1 î # » # »ó AB, AC 2 4 Diện tích hình bình hành ABCD: î # » # »ó S4ABCD = AB, AC 5 Thể tích hình hộp ABCD.A0 B 0 C 0 D0 : î # » # »ó # » V = AB, AC .AA0 6 Thể tích tứ diện 1 V = 6 ABCD: î # » # »ó # » AB, AC .AD Phương trình mặt cầu 1 Mặt cầu (S) :  tâm I(a; b; c)  bán kính R (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 2 Phương trình: x2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 với điều kiện: a2 + b2 + c2 − d > 0 là phương trình mặt cầu (S) ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 27 28 | Sổ tay toán học-12  tâm I(a; b; c) p  bán kình R = a2 + b2 + c2 − d Phương trình mặt phẳng 1 Phương trình tổng quát mặt phẳng (P ): Ax + By + Cz + D = 0 có vec-tơ pháp tuyến #» n = (A; B; C) 2 Mặt phẳng  qua M (x0 ; y0 ; z0 ) (P ) :  vtpt #» n = (A; B; C) A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 3 Mặt phẳng (P ) có cặp vec-tơ chỉ phương î #»ó #» #» a và b thì vtpt của (P ) là #» n = #» a, b 4 Mặt phẳng (ABC) với A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) x y z (ABC) : + + = 1 a b c ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 28 29 | Sổ tay toán học-12 5 Các mặt phẳng đặc biệt (Oyz) : x = 0 (Oxz) : y = 0 (Oxy) : z = 0 (Oyz) ∥ x = a (Oxz) ∥ y = b (Oxy) ∥ z = c 6 Khoảng cách từ điểm M0 (x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng (P ) : Ax + By + Cz + D = 0 |A.x0 + B.y0 + C.z0 + D| √ d(M0 , (P )) = A2 + B 2 + C 2 7 Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng (P1 ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, n#»1 = (A1 ; B1 ; C1 ) (P ) : A x + B y + C z + D = 0, n#» = (A ; B ; C ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 B1 C1 D1 A1 = = 6= . • (P1 ) ∥ (P2 ): A2 B2 C2 D2 A1 B1 C1 D1 • (P1 ) ≡ (P2 ): = = = . A2 B2 C2 D2 • (P1 )⊥(P2 ): A1 .A2 + B1 .B2 + C1 .C2 = 0 • Góc giữa 2 mặt phẳng: 0◦ ≤ ((P1 ), (P2 )) ≤ 90◦ |A1 .A2 + B1 .B2 + C1 .C2 | p cos((P1 ), (P2 )) = p 2 A1 + B12 + C12 . A22 + B22 + C22 Phương trình đường thẳng 1 Phương trình tham số  qua M0 (x0 ; y0 ; z0 ) Đường thẳng (∆) :  vtcp: #» u = (a; b; c)    x = x0 + a.t    Phương trình tham số (∆) : y = y0 + b.t , (t ∈ R)     z = z + c.t 0 ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 29 30 | Sổ tay toán học-12 2 Phương trình chính tắc: x − x0 y − y0 z − z0 (∆) : = = a b c 3 Vị trí tươngđối của 2 đường thẳng  0 0 0     x = x0 + a.t x = x0 + a .t     (∆) : y = y0 + b.t , (∆0 ) : y = y00 + b0 .t0           z = z0 + c.t z = z00 + c0 .t0    x0 + at = x00 + a0 t    • (∆) cắt (∆0 ): y0 + bt = y00 + b0 t có đúng 1 nghiệm t, t0     z + ct = z 0 + c0 t 0 0   x0 + at = x00 + a0 t    • (∆) chéo (∆0 ): y0 + bt = y00 + b0 t vô nghiệm     z + ct = z 0 + c0 t 0 0 b c a và 0 6= 0 6= 0 a b c  x0 + at = x00 + a0 t    0 • (∆) ∥ (∆ ): y0 + bt = y00 + b0 t vô nghiệm     z + ct = z 0 + c0 t 0 0 a b c và 0 = 0 = 0 a b c   x0 + at = x00 + a0 t    • (∆) ≡ (∆0 ): y0 + bt = y00 + b0 t vô số nghiệm     z + ct = z 0 + c0 t 0 0 4 Góc giữa 2 đường thẳng: (0◦ ≤ (∆, ∆0 ) ≤ 90◦ ) |a.a0 + b.b0 + c.c0 | √ cos(∆; ∆0 ) = √ a2 + b2 + c2 . a02 + b02 + c02 5 Vị trị tương đối của đường thẳng và mặt phẳng ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 30 31 | Sổ tay toán học-12    x = x0 + a.t    (∆) : y = y0 + b.t và (P ) : Ax + By + Cz + D = 0     z = z + c.t 0 Thế (∆) vào (P ) A(x0 + a.t) + B(y0 + b.t) + C(z0 + c.t) + D = 0 (1) + Nếu (1) có đúng nghiệm t = t0 suy ra (∆) cắt (P ) tại điểm M0 (x0 + at0 ; y0 + bt0 ; z0 + zt0 ) + Nếu (1) vô nghiệm thì (∆) ∥ (P ) + Nếu (1) vô số nghiệm thì (∆) thuộc (P ) 6 Góc của đường thẳng và mặt phẳng: (0◦ ≤ (∆, (P )) ≤ 180◦ ) |A.a + B.b + C.c| √ sin(∆, (P )) = √ 2 A + B 2 + C 2 . a2 + b2 + c2 7 Đường thẳng song song (vuông góc) với mặt phẳng (∆) có vtcp: #» u = (a; b; c); (P ) có vtpt: #» n = (A; B; C) • (∆) ∥ (P ) khi A.a + B.b + C.c = 0 A B C • (∆)⊥(P ) khi = = . a b c ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 31