Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

Mục lục

* * * * *

Bài 28 (SGK trang 18)

Tính:

a. $\sqrt{\dfrac{289}{225}};$ b. $\sqrt{2\dfrac{14}{25}};$ c. $\sqrt{\dfrac{0,25}{9}};$ d. $\sqrt{\dfrac{8,1}{1,6}}.$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{17}{15}$ ; b) $\frac{8}{5}$ ;

c) $\frac{1}{6}$ ; d) $\frac{9}{4}$ .

Bài 29 (SGK trang 19)

Tính:

a. $\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{18}};$ b. $\dfrac{\sqrt{15}}{\sqrt{735}};$ c. $\dfrac{\sqrt{12500}}{\sqrt{500}};$ d. $\dfrac{\sqrt{6^5}}{\sqrt{2^3.3^5}}.$

Hướng dẫn giải

a.$\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{18}}=\sqrt{\dfrac{2}{18}}=\sqrt{\dfrac{1}{9}}=\dfrac{1}{3}$

b.$\dfrac{\sqrt{15}}{\sqrt{735}}=\sqrt{\dfrac{15}{735}}=\sqrt{\dfrac{1}{49}}=\dfrac{1}{7}$

c.$\dfrac{\sqrt{12500}}{\sqrt{500}}=\sqrt{\dfrac{12500}{500}}=\sqrt{25}=5$

d.$\dfrac{\sqrt{6^5}}{\sqrt{2^3.33^5}}=\sqrt{\dfrac{2^5.3^5}{2^3.3^5}}=\sqrt{2^2}=2$

Bài 30 (SGK trang 19)

Rút gọn các biểu thức sau:

a. $\dfrac{y}{x}.\sqrt{\dfrac{x^2}{y^4}}$ với x > 0; $y\ne0;$ b. $2y^2.\sqrt{\dfrac{x^4}{4y^2}}$ với y < 0;

c. $5xy.\sqrt{\dfrac{25x^2}{y^6}}$ với x < 0, y > 0; d. $0,2x^3y^3.\sqrt{\dfrac{16}{x^4y^8}}$ với $x\ne0;y\ne0.$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{y}{x}.\sqrt{\frac{x^{2}}{y^{4}}}$ = $\frac{y}{x}$ . $\frac{\sqrt{x^{2}}}{\sqrt{y^{4}}}$ = $\frac{y}{x}$ . $\frac{\left | x \right |}{y^{2}}$ = $\frac{x}{xy}$ vì x > 0.

Do đó $\frac{y}{x}.\sqrt{\frac{x^{2}}{y^{4}}}$ = $\frac{1}{y}$ .

b) $2y^{2}.\sqrt{\frac{x^{4}}{4y^{2}}}$ = $2y^{2}$ . $\frac{\sqrt{x^{4}}}{\sqrt{4y^{2}}}$ = $2y^{2}$ . $\frac{x^{2}}{2\left | y \right |}$ .

Vì y < 0 nên │y│= -y. Do đó $2y^{2}.\sqrt{\frac{x^{4}}{4y^{2}}}$ = $2y^{2}$ . $\frac{x^{2}}{-2y}$ = $-x^{2}y$ .

c) 5xy. $\sqrt{\frac{25x^{2}}{y6}}$ = 5xy. $\frac{\sqrt{25x^{2}}}{\sqrt{y^{6}}}$ = 5xy. $\frac{5\left | x \right |}{\left | y^{3} \right |}$ .

Vì x < 0, y > 0 nên $\left | x \right |$ = -x và $\left | y^{3} \right |$ = $y^{3}$ .

Do đó: 5xy $\sqrt{\frac{25x^{2}}{y6}}$ = 5xy. $\frac{-5x}{y^{3}}$ = - $\frac{25x^{2}}{y^{2}}$ .

d) 0,2 $x^{3}y^{3}.\sqrt{\frac{16}{x^{6}y^{8}}}$ = $0,2x^{3}y^{3}\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{x^{6}y^{8}}}$ = 0,2 $0.2 x^{3}y^{3}\frac{4}{\left | x^{3} \right |y^{4}}$ = $\frac{0,8x^{2}}{\left | x^{3} \right |y}$

Nếu x > 0 thì $x^{3}$ > 0 nên $\left | x^{3} \right |= x^{3}$ . Do đó 0,2 $x^{3}y^{3}.\sqrt{\frac{16}{x^{6}y^{8}}}$ = $\frac{0,8}{y}$ .

Nếu x < 0 thì $x^{3}$ < 0 nên $\left | x^{3} \right |= -x^{3}$ . Do đó 0,2 $x^{3}y^{3}.\sqrt{\frac{16}{x^{6}y^{8}}}$ = - $\frac{0,8}{y}$ .

Bài 31 (SGK trang 19)

a. So sánh $\sqrt{25-16}$ và $\sqrt{25}-\sqrt{16};$

b. Chứng minh rằng, với a > b > 0 thì $\sqrt{a}-\sqrt{b}< \sqrt{a-b}.$

Hướng dẫn giải

a) HD: Thực hiện phép khai căn rồi so sánh kết quả.

Trả lời: $\sqrt{25 - 16}$ > √25 - √16;.

b) HD: Ta có thể chứng minh rằng √a < $\sqrt{a - b}$ + √b.

Nhưng điều này suy ra từ kết quả bài tập 26.b) SGK nếu lưu ý rằng

√a = $\sqrt{(a - b)+b}$ .

Bài 32 (SGK trang 19)

Tính:

a. $\sqrt{1\dfrac{9}{16}.5\dfrac{4}{9}.0,01};$ b. $\sqrt{1,44.1,21-1,44.0,4};$

c. $\sqrt{\dfrac{165^2-124^2}{164}};$ d. $\sqrt{\dfrac{149^2-76^2}{457^2-384^2}}.$

Hướng dẫn giải

a) HD: Đổi hỗn số và số thập phân thành phân số.

ĐS: $\frac{35}{120}$ .

b) $\sqrt{1,44.1,21-1,44.0,4}$ = $\sqrt{\frac{144}{100}.\frac{121}{100}-\frac{144}{100}.\frac{40}{100}}$

= $\sqrt{\frac{144}{100}\left ( \frac{121}{100} -\frac{40}{100}\right )}$ = $\sqrt{\frac{144.81}{100.100}}$ = $\frac{\sqrt{144.81}}{100}$

= $\frac{12.9}{100}=\frac{18}{100}=\frac{27}{25}$ .

d) ĐS: $\frac{15}{29}$ .

Bài 33 (SGK trang 19)

Giải phương trình:

a. $\sqrt{2}.x-\sqrt{50}=0;$ b. $\sqrt{3}.x+\sqrt{3}=\sqrt{12}+\sqrt{27};$

c. $\sqrt{3}.x^2-\sqrt{12}=0;$ d. $\dfrac{x^2}{\sqrt{5}}-\sqrt{20}=0.$

Hướng dẫn giải

a) √2.x - √50 = 0 $\Leftrightarrow$ √2.x = √50 $\Leftrightarrow$ x = $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow$ x = $\sqrt{\frac{50}{2}}$ = √25 = 5.

b) ĐS: x = 4.

c) √3. $x^{2}$ - √12 = 0 $\Leftrightarrow$ √3. $x^{2}$ = √12 $\Leftrightarrow$ $x^{2}$ = $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$ $\Leftrightarrow$ $x^{2}$ = $\sqrt{\frac{12}{3}}$

$\Leftrightarrow$ $x^{2}$ = √4 $\Leftrightarrow$ $x^{2}$ = 2 $\Leftrightarrow$ x = √2 hoặc x = -√2.

d) ĐS: x = √10 hoặc x = -√10.

Bài 34 (SGK trang 19)

Rút gọn các biểu thức sau:

a. $ab^2.\sqrt{\dfrac{3}{a^2b^4}}$ với a < 0, $b\ne0;$ b. $\sqrt{\dfrac{27\left(a-3\right)^2}{48}}$ với a > 3;

c. $\sqrt{\dfrac{9+12a+4a^2}{b^2}}$ với $a\ge-1,5$ và b < 0;

d. $\left(a-b\right).\sqrt{\dfrac{ab}{\left(a-b\right)^2}}$ với a < b <0.

Hướng dẫn giải

a,$ab^2\sqrt{\dfrac{3}{a^2b^4}}=ab^2.\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{a^2b^4}}=ab^2.\dfrac{\sqrt{3}}{ab^2}=\sqrt{3}$

b,$\sqrt{\dfrac{27\left(a-3\right)^2}{48}}=\dfrac{3\sqrt{3}\left(a-3\right)}{4\sqrt{3}}=\dfrac{3}{4}\left(a-3\right)$

c,$\sqrt{\dfrac{9+12a+4a^2}{b^2}}=\dfrac{\sqrt{\left(3+2a\right)^2}}{\sqrt{b^2}}=\dfrac{3+2a}{b}$

d, $\left(a-b\right).\sqrt{\dfrac{ab}{\left(a-b\right)^2}}=\left(a-b\right).\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{\left(a-b\right)^2}}=\left(a-b\right).\dfrac{\sqrt{ab}}{\left(a-b\right)}=\sqrt{ab}$

Bài 35 (SGK trang 20)

Tìm x biết:

a. $\sqrt{\left(x-3\right)^2}=9;$ b. $\sqrt{4x^2+4x+1}=6.$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt{\left(x-3\right)^2}=9$

$\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-3\right)^2}^2=9^2$

$\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2=81$

$\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-3=9\\x-3=-9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=12\\x=-6\end{matrix}\right.$

b) $\sqrt{4x^2+4x+1}=6$

$\Leftrightarrow\sqrt{4x^2+4x+1}^2=6^2$

$\Leftrightarrow4x^2+4x+1-36=0$

$\Leftrightarrow4x^2+4x-35=0$

$\Leftrightarrow4\cdot\left(x-\dfrac{5}{2}\right)\cdot\left(x+\dfrac{7}{2}\right)=0$

$\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-\dfrac{5}{2}=0\\x+\dfrac{7}{2}=0\end{matrix}\right.\rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{2}\\x=-\dfrac{7}{2}\end{matrix}\right.$