Ôn tập Căn bậc hai. Căn bậc ba

Lý thuyết

Câu 1 (SGK trang 39)

Nêu điều kiện để \(x\) là căn bậc hai số học của số a không âm. Cho ví dụ ?

Hướng dẫn giải

Để x là căn bậc hai số học của số a không âm là x \(\ge\) a và x² = a.

Ví dụ 2 là căn bậc hai số học của 4 vì 2 > 0 và 2² = 4.

Câu 2 (SGK trang 39)

Chứng minh \(\sqrt{a^2}=\left|a\right|\) với mọi số a

Hướng dẫn giải

Câu 3 (SGK trang 39)

Biểu thức A phải thỏa mãn điều kiện gì để \(\sqrt{A}\) xác định ?

Hướng dẫn giải

\(\sqrt{ }\)A xác định khi A > 0 hay nói cách khác : điều kiện xác định của căn bậc hai là biểu thức lấy căn không âm.

Câu 4 (SGK trang 39)

Phát biểu và chứng minh định lí về mối liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương. Cho ví dụ ?

Hướng dẫn giải

Câu 5 (SGK trang 39)

Phát biểu và chứng minh định lí về mối liên hệ giữa phép chia và phép khai phương. Cho ví dụ ?

Hướng dẫn giải

Bài 70 (SGK trang 40)

Tìm giá trị các biểu thức sau bằng cách biến đổi rút gọn thích hợp :

a) \(\sqrt{\dfrac{25}{81}.\dfrac{16}{49}.\dfrac{196}{9}}\)

b) \(\sqrt{3\dfrac{1}{16}.2\dfrac{14}{25}.2\dfrac{34}{81}}\)

c) \(\dfrac{\sqrt{640}.\sqrt{34,3}}{\sqrt{567}}\)

d) \(\sqrt{21,6}.\sqrt{810}.\sqrt{11^2-5^2}\)

Hướng dẫn giải

Bài 71 (SGK trang 40)

Rút gọn các biểu thức sau :

a) \(\left(\sqrt{8}-3\sqrt{2}+\sqrt{10}\right)\sqrt{2}-\sqrt{5}\)

b) \(0,2\sqrt{\left(-10\right)^2.3}+2\sqrt{\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)^2}\)

c) \(\left(\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{1}{2}}-\dfrac{3}{2}\sqrt{2}+\dfrac{4}{5}\sqrt{200}\right):\dfrac{1}{8}\)

d) \(2\sqrt{\left(\sqrt{2}-3\right)^2}+\sqrt{2.\left(-3\right)^2}-5\sqrt{\left(-1\right)^4}\)

Hướng dẫn giải

Bài 72 (SGK trang 40)

Phân tích thành nhân tử ( với các số x, y, a, b không âm và \(a\ge b\))

a) \(xy-y\sqrt{x}+\sqrt{x}-1\)

b) \(\sqrt{ax}-\sqrt{by}+\sqrt{bx}-\sqrt{ay}\)

c) \(\sqrt{a+b}+\sqrt{a^2-b^2}\)

d) \(12-\sqrt{x}-x\)

Hướng dẫn giải

Bài 73 (SGK trang 40)

Rút gọn rồi tính giá trị của các biểu thức sau :

a) \(\sqrt{-9a}-\sqrt{9+12x+4a^2}\) tại \(a=-9\)

b) \(1+\dfrac{3m}{m-2}\sqrt{m^2-4m+4}\) tại \(m=1,5\)

c) \(\sqrt{1-10a+25a^2}-4a\) tại \(a=\sqrt{2}\)

d) \(4x-\sqrt{9x^2+6x+1}\) tại \(x=-\sqrt{3}\)

Hướng dẫn giải

a) \(\sqrt{-9a}-\sqrt{9+12a+4a^2}\) \(=\sqrt{9.\left(-a\right)}-\sqrt{\left(3+2a\right)^2}=3\sqrt{-a}-\left|3+2a\right|\)

\(=3\sqrt{9}-\left|3+2\left(-9\right)\right|=3.3-15=-6\)

b) \(1+\dfrac{3m}{m-2}\sqrt{m^2-4x+4}=1+\dfrac{3m}{m-2}\sqrt{\left(m-2\right)^2}=1+\dfrac{3m\left|m-2\right|}{m-2}\)

\(=\left\{{}\begin{matrix}1+3m\left(nếu\left(m-2\right)>0\right)\\1-3m\left(nến\left(m-2\right)< 0\right)\end{matrix}\right.\) \(=\left\{{}\begin{matrix}1+3m\left(nếu\left(m>2\right)\right)\\1-3m\left(nếu\left(m< 2\right)\right)\end{matrix}\right.\)

ta có : \(m=1,5< 2\) vậy giá trị của biểu thức tại m = 1,5 là \(1-3m\) = \(1-3.1,5=-3,5\)

c) \(\sqrt{1-10a+25a^2}-4a=\sqrt{\left(1-5a\right)^2}-4a=\left|1-5a\right|-4a\)

\(=\left\{{}\begin{matrix}1-9a\left(nếu\left(1-5a\right)\ge0\right)\\a-1\left(nếu\left(1-5a\right)< 0\right)\end{matrix}\right.\) \(=\left\{{}\begin{matrix}1-9a\left(nếu\left(a\le\dfrac{1}{5}\right)\right)\\a-1\left(nếu\left(a>\dfrac{1}{5}\right)\right)\end{matrix}\right.\)

ta có : \(a=\sqrt{2}>\dfrac{1}{5}\) vậy giá trị của biểu thức tại \(a=\sqrt{2}\) là a - 1 = \(\sqrt{2}-1\)

d) \(4x-\sqrt{9x^2+6x+1}=4x-\sqrt{\left(3x+1\right)^2}=4x-\left|3x+1\right|\)

\(=\left\{{}\begin{matrix}x-1\left(nếu\left(x\ge-\dfrac{1}{3}\right)\right)\\7x+1\left(nếu\left(x< -\dfrac{1}{3}\right)\right)\end{matrix}\right.\)

ta có : \(x=-\sqrt{3}< -\dfrac{1}{3}\) vậy giá trị của biểu thức tại \(x=-\sqrt{3}\) là \(7.\left(-\sqrt{3}\right)+1=1-7\sqrt{3}\)

Bài 74 (SGK trang 40)

Tìm \(x\), biết :

a) \(\sqrt{\left(2x-1\right)^2}=3\)

b) \(\dfrac{5}{3}\sqrt{15x}-\sqrt{15x}-2=\dfrac{1}{3}\sqrt{15x}\)

Hướng dẫn giải

Bài 75 (SGK trang 40)

Chứng minh các đẳng thức sau :

a) \(\left(\dfrac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{8}-2}-\dfrac{\sqrt{216}}{6}\right).\dfrac{1}{\sqrt{6}}=-1,5\)

b) \(\left(\dfrac{\sqrt{14}-\sqrt{7}}{1-\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}}\right):\dfrac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}=-2\)

c) \(\dfrac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}:\dfrac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=a-b\) với a, b dương và \(a\ne b\)

d) \(\left(1+\dfrac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}\right)\left(1-\dfrac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\right)=1-a\) với \(a\ge0\) và \(a\ne1\)

Hướng dẫn giải

Bài 76 (SGK trang 41)

Cho biểu thức :

\(Q=\dfrac{a}{\sqrt{a^2-b^2}}-\left(1+\dfrac{a}{\sqrt{a^2-b^2}}\right):\dfrac{b}{a-\sqrt{a^2-b^2}}\) với \(a>b>0\)

a) Rút gọn Q

b) Xác định giá trị của Q khi \(a=3b\)

Hướng dẫn giải

a)

$\begin{array}{c}Q=\frac{a}{\sqrt{a^2-b^2}}-\left(1+\frac{a}{\sqrt{a^2-b^2}}\right):\frac{b}{a-\sqrt{a^2-b^2}}\\ =\frac{a}{\sqrt{a^2-b^2}}-\frac{a^2-\left(a^2-b^2\right)}{b\sqrt{a^2-b^2}}\\ =\frac{a}{\sqrt{a^2-b^2}}-\frac{a^2-a^2+b^2}{b\sqrt{a^2-b^2}}\\ =\frac{a-b}{\sqrt{a^2-{\mathrm{Có\; thể\; bạn\; quan\; tâm}}^{}}}\end{array}$

---