Thể tích hình chóp đều

Lý thuyết

Bài 44 (SGK tập 2 - trang 123)

Hình 129 là một cái lều trại hè của học sinh kèm theo các kích thước

a) Thể tích không khí bên trong kều là bao nhiêu ?

b) Xác định số vải bạt cần thiết để dựng lều (không tính đến đường viền, nếp gấp,... biết \(\sqrt{5}\approx2,24\))

Hướng dẫn giải

Thể tích cần tính bằng thể tích của hình chóp có chiều cao 2cm

Đáy là hình vuông cạnh dài 2m. Diện tích đáy S_đ = 2² = 4(m²)

Thể tích hình chóp : V = .S.h = .4.2 =

b) Số vải bạt cần tính chính là diện tích của bốn mặt (hay là diện tích xung quanh) mỗi mặt là một tam giác cân.

Để tính diện tích xung quanh ta cần phải tính được trung đoạn tức là đường cao SH của mỗi mặt

SH² = SO² + OH² = SO²+ = 2² + 1² = 5

SH = √5 ≈ 2,24m

Nên S_xq = p.d = 2.4.2.24 = 8,96 (m²)

Bài 45 (SGK tập 2 - trang 124)

Tính thể tích của mỗi hình chóp đều dưới đây (h.130 và h.131)

Hướng dẫn giải

Hình 58:

Đáy của hình chóp là tam giác đều cạnh bằng 10cm

Đường cao của tam giác đều là:

HD = = = √75 ≈ 8,66 (cm)
Diện tích đáy của hình chóp đều là:

S = .BC.h = . 10. 8,66 = 43,3(cm²)

Thể tích hình chóp đều là:

V =. S. h₁ = . 43,3 .12 = 173,2(cm³)

Hình 59:

Đường cao của tam giác đều BDC:

h =

= = √48 ≈6,93(cm)

Diện tích đáy của hình chóp đều là:

S = .BC.h = .8.6,93 = 27,72(cm²)

Thể tích hình chóp đều là:

V = . S. h₁ = . 27,72. 16,2 =149,69(cm³)

Bài 46 (SGK tập 2 - trang 124)

S.MNOPQR là một hình chóp lục giác đều (h.132). Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy (đường tròn tâm H, đi qua 6 đỉnh của đáy), HM = 12 cm (h.133), chiều cao SH = 35cm. Hãy tính :

a) Diện tích đáy và thể tích của hình chóp (biết \(\sqrt{108}\approx10,39\))

b) Độ dài cạnh bên SM và diện tích toàn phần của hình chóp (biết \(\sqrt{1333}\approx36,51\) )

 

Hướng dẫn giải

a) Tam giác HMN là tam giác đều.

Luyện tập - Bài 47 (SGK tập 2 - trang 124)

Trong các miếng bìa ở hình 134, miếng nào khi gập và dán lại thì được một hình chóp đều ?

Hướng dẫn giải

Hình 1: Khi gấp lại không được hình chóp đều vì hình chóp thu được có đáy là hình chữ nhật. Không là đa giác đều.

Hình 2: Khi gấp lại ta được hình lăng trụ đứng đáy tam giác đều. Không phải là hình chóp đều

Hình 3: Khi gấp lại không được hình chop đều vì hình chóp thu được có đáy là hình ngũ giác không phải là ngũ giác đều.

Hình 4: Khi gấp lại không được hình chóp đều vì hình thu được là hình chóp đều thiếu một mặt đáy và dư một mặt bên.

Luyện tập - Bài 48 (SGK tập 2 - trang 125)

Tính diện tích toàn phần của :

a) Hình chóp tứ giác đều, biết cạnh đáy \(a=5cm\), cạnh bên \(b=5cm,\sqrt{18,75}\approx4,33\)

b) Hình chóp lục giác đều, biết cạnh đáy \(a=6cm\), cạnh bên \(b=10cm,\sqrt{3}\approx1,73,\sqrt{91}\approx9,54\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: các mặt bên của hình chóp đều là những tam giác đều cạnh 5cm. Đường cao của mỗi mặt bên:

b) Mặt bên của hình chóp lục giác đều là tam giác cân có cạnh bên 10cm, cạnh đáy 6cm.

Luyện tập - Bài 49 (SGK tập 2 - trang 125)

Tính diện tích xung quanh của các hình chóp tứ giác đều sau đây (h.135)

Hướng dẫn giải

Hình a: S_xq = p.d = .6.4. 10 = 120 (cm²)

Hình b: S_xq = p.d = \(\dfrac{1}{2}\).7,5 .4. 9,5 =142,5 (cm²)

Hình c: Độ dài trung đoạn:

\(d=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15\left(cm\right)\)

Nên S_xq = p.d = \(\dfrac{1}{2}\).16.4.15 =480 (cm²)

Luyện tập - Bài 50 (SGK tập 2 - trang 125)

a) Tính thể tích của hình chóp đều (h.136)

b) Tính diện tích xung quanh của hình chóp cụt đều (h.137)

(Hướng dẫn : Diện tích cần tính bằng tổng diện tích các mặt xung quanh. Các mặt xung quanh là những hình thang cân với cùng chiều cao, các cạnh đáy tương ứng bằng nhau, các cạnh bên b

Hướng dẫn giải

a) Diện tích đáy của hình chóp đều:

S = BC ² = 6,5² = 42,25 (m²)

Thể tích hình chóp đều:

V = . S.h = \(\dfrac{1}{3}\). 42,25 . 12 ≈ 169 (cm³)

b) Các mặt xung quanh là những hình thang cân đáy nhỏ 2cm, đáy lớn 4cm, chiều cao 3,5cm. Nên:

S_xq = \(4.\dfrac{\left(2+4\right).3,5}{2}=42\left(cm^2\right)\) = 42 (cm²)