Cộng, trừ đa thức

Lý thuyết

Bài 29 (SGK - tập 2 trang 40)

Tính :

a) \(\left(x+y\right)+\left(x-y\right)\)

b) \(\left(x+y\right)-\left(x-y\right)\)

Hướng dẫn giải

a) (x + y) + (x - y)

= x + y + x - y = 2x;

b) (x + y) - (x - y)

= x + y - x + y = 2y.

Bài 30 (SGK - tập 2 trang 40)

Tính tổng của hai đa thức :

                \(P=x^2y+x^3-xy^2+3\)

                 \(Q=x^3+xy^2-xy-6\)

Hướng dẫn giải

Ta có: P = x²y + x³ – xy² + 3 và Q = x³ + xy² - xy - 6

nên P + Q = (x²y + x³ – xy² + 3) + (x³ + xy² - xy - 6)

= x²y + x³ – xy² + 3 + x³ + xy² - xy - 6

= (x³ + x³) + x²y + (xy² - xy²) - xy + (3 - 6)

= 2x³ + x²y - xy -3.

Bài 31 (SGK - tập 2 trang 40)

Cho hai đa thức :

\(M=3xyz-3x^2+5xy-1\)

\(N=5x^2+xyz-5xy+3-y\)

Tính :

\(M+N;M-N;N-M\)

Hướng dẫn giải

Ta có:

M = 3xyz - 3x² + 5xy - 1

N = 5x² + xyz - 5xy + 3 - y

M + N = 3xyz - 3x² + 5xy - 1 + 5x² + xyz - 5xy + 3 - y

= -3x² + 5x² + 3xyz + xyz + 5xy - 5xy - y - 1 + 3

= 2x² + 4xyz - y +2.

M - N = (3xyz - 3x² + 5xy - 1) - (5x² + xyz - 5xy + 3 - y)

= 3xyz - 3x² + 5xy - 1 - 5x² - xyz + 5xy - 3 + y

= -3x² - 5x² + 3xyz - xyz + 5xy + 5xy + y - 1 - 3

= -8x² + 2xyz + 10xy + y - 4.

N - M = (5x² + xyz - 5xy + 3 - y) - (3xyz - 3x² + 5xy - 1)

= 5x² + xyz - 5xy + 3 - y - 3xyz + 3x² - 5xy + 1

= 5x² + 3x² + xyz - 3xyz - 5xy - 5xy - y + 3 + 1

= 8x² - 2xyz - 10xy - y + 4.

Bài 32 (SGK - tập 2 trang 40)

Tìm đa thức P và đa thức Q biết :

a) \(P+\left(x^2-2y^2\right)=x^2-y^2+3y^2-1\)

b) \(Q-\left(5x^2-xyz\right)=xy+2x^2-3xyz+5\)

Hướng dẫn giải

a) P + (x² – 2y²) = x² – y² + 3y² – 1

P = (x² – y² + 3y² – 1) - (x² – 2y²)

P = x² – y² + 3y² – 1 - x² + 2y²

P = x² – x² – y² + 3y² + 2y² – 1

P = 4y² – 1.

Vậy P = 4y² – 1.

b) Q – (5x² – xyz) = xy + 2x² – 3xyz + 5

Q = (xy + 2x² – 3xyz + 5) + (5x² – xyz)

Q = xy + 2x² – 3xyz + 5 + 5x² – xyz

Q = 7x² – 4xyz + xy + 5

Vậy Q = 7x² – 4xyz + xy + 5.

Bài 33 (SGK - tập 2 trang 40)

Tính tổng của hai đa thức :

a) \(M=x^2y+5xy^3-7,5x^3y^2+x^3\) và \(N=3xy^3-x^2y+5,5x^3y^2\)

b) \(P=x^5+xy+0,3y^2-x^2y^3-2\) và \(Q=x^2y^3+5-1,3y^2\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có M = x²y + 0,5xy³ – 7,5x³y² + x³ và N = 3xy³ – x²y + 5,5x³y².

=> M + N = x²y + 0,5xy³ – 7,5x³y² + x³ + 3xy³ – x²y + 5,5x³y²

= – 7,5x³y² + 5,5x³y² + x²y – x²y + 0,5xy³ + 3xy³ + x³

= -2x³y² + 3,5xy³ + x³

b) P = x⁵ + xy + 0,3y² – x²y³ – 2 và Q = x²y³ + 5 – 1,3y².

=> P + q = (x⁵ + xy + 0,3y² – x²y³ – 2) + (x²y³ + 5 – 1,3y²)

= x⁵ + xy + 0,3y² – x²y³ – 2 + x²y³ + 5 – 1,3y²

= x⁵ – x²y³ + x²y³ + 0,3y² – 1,3y² + xy - 2 + 5

= x⁵ - y² + xy + 3.

Luyện tập - Bài 34 (SGK - tập 2 trang 40)

Tính tổng của các đa thức :

a) \(P=x^2y+xy^2-5x^2y^2+x^3\) và \(Q=3xy^2-x^2y+x^2y^2\)

b) \(M=x^3+xy+y^2-x^2y^2-2\) và \(N=x^2y^2+5-y^2\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: P = x²y + xy² – 5x²y² + x³ và Q = 3xy² – x²y + x²y²

=> P + Q = x²y + xy² – 5x²y² + x³ + 3xy² – x²y + x²y²

= x³ – 5x²y² + x²y² + x²y – x²y + xy² + 3xy²

= x³ – 4x²y² + 4xy²

b) Ta có: M = x³ + xy + y² – x²y² – 2 và N = x²y² + 5 – y².

=> M + N = x³ + xy + y² – x²y² – 2 + x²y² + 5 – y²

= x³ – x²y² + x²y² + y² – y² + xy - 2 + 5

= x³ + xy + 3.

Luyện tập - Bài 35 (SGK - tập 2 trang 40)

Cho hai đa thức :

\(M=x^2-2xy+y^2\)

\(N=y^2+2xy+x^2+1\)

a) Tính M + N

b) Tính M - N

Hướng dẫn giải

Luyện tập - Bài 36 (SGK - tập 2 trang 41)

Tính giá trị của mỗi đa thức sau :

a) \(x^2+2xy-3x^3+2y^3+3x^3-y^3\) tại \(x=5;y=4\)

b) \(xy-x^2y^2+x^4y^4-x^6y^6+x^8y^8\) tại \(x=-1;y=-1\)

Hướng dẫn giải

a) A = x² + 2xy – 3x³ + 2y³ + 3x³ – y³ tại x = 5 và y = 4.

Trước hết ta thu gọn đa thức

A = x² + 2xy – 3x³ + 2y³ + 3x³ – y³ = x² + 2xy + y³

Thay x = 5; y = 4 ta được:

A = 5² + 2.5.4 + 4³ = 25 + 40 + 64 = 129.

Vậy A = 129 tại x = 5 và y = 4.

b) M = xy - x²y² + x⁴y⁴ – x⁶y⁶ + x⁸y⁸ tại x = -1 và y = -1.

Thay x = -1; y = -1 vào biểu thức ta được:

M = (-1)(-1) - (-1)².(-1)² + (-1)^4. (-1)⁴-(-1)⁶.(-1)⁶ + (-1)⁸.(-1)⁸

= 1 -1 + 1 - 1+ 1 = 1.

Luyện tập - Bài 37 (SGK - tập 2 trang 41)

Viết một đa thức bậc 3 với hai biến x, y và có ba hạng tử ?

Hướng dẫn giải

2x³+5y-\(\dfrac{1}{3}\)y²

Luyện tập - Bài 38 (SGK - tập 2 trang 41)

Cho các đa thức :

                \(A=x^2-2y+xy+1\)

                \(B=x^2+y-x^2y^2-1\)

Tìm đa thức C sao cho 

a) \(C=A+B\)

b) \(C+A=B\)

Hướng dẫn giải

a) \(C=A+B\)

\(\Rightarrow C=\left(x^2-2y+xy+1\right)+\left(x^2+y-x^2y^2-1\right)\)

\(C=x^2-2y+xy+1+x^2+y-x^2y^2-1\)

\(C=\left(x^2+x^2\right)+\left(-2y+y\right)+\left(1-1\right)+xy-x^2y^2\)

\(C=2x^2-y+xy-x^2y^2\)

b) \(C+A=B\)

\(\Rightarrow C=B-A\)

\(C=\left(x^2+y-x^2y^2-1\right)-\left(x^2-2y+xy+1\right)\)

\(C=x^2+y-x^2y^2-1-x^2+2y-xy-1\)

\(C=\left(x^2-x^2\right)+\left(y+2y\right)+\left(-1-1\right)-x^2y^2-xy\)

\(C=3y-2-x^2y^2-xy\)