§2. Đường tròn

Lý thuyết

Mục lục

* * * * *

Bài 1 (SGK trang 83)

Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau :

a) $x^2+y^2-2x-2y-2=0$

b) $16x^2+16y^2+16x-8y-11=0$

c) $x^2+y^2-4x+6y-3=0$

Hướng dẫn giải

a) Ta có : -2a = -2 => a = 1

-2b = -2 => b = 1 => I(1; 1)

R² = a² + b² – c = 1² + 1² – (-2) = 4 => R = 2

b) Tương tự, ta có : I $\left(-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{4}\right)$; R = 1

c) I(2; -3); R = 4

Bài 2 (SGK trang 83)

Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau :

a) (C) có tâm $I\left(-2;3\right)$ và đi qua $M\left(2;-3\right)$

b) (C) có tâm $I\left(-1;2\right)$ và tiếp xúc với đường thẳng $x-2y+7=0$

c) (C) có đường kính AB với $A=\left(1;1\right)$ và $B=\left(7;5\right)$

Hướng dẫn giải

a) Ta tìm bán kính R² = IM² => R²= IM = (2 + 2)² + (-3 -3²) = 52

Phương trình đường tròn (C): (x +2)² + (y – 3)² =52

b) Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng d nên khoảng cách từ tâm I tới đường thẳng d phải bằng bán kính đường tròn:

d(I; d) = R

Ta có : R = d(I; d) = $\frac{|-1-2.2+7|}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}$ $=$ $\frac{2}{\sqrt{5}}$

Phương trình đường tròn cần tìm là:

(x +1)² + (y – 2)²= $(\frac{2}{\sqrt{5}})^{2}$ =>( x +1)² + (y – 2)²= $\frac{4}{5}$

<=> 5x² + 5y² +10x – 20y +21 = 0

c) Tâm I là trung điểm của AB, có tọa độ :

x = $\dfrac{1+7}{2}$ = 4; y = $\dfrac{1+5}{2}$ = 3 => I(4; 3)

AB = $2\sqrt{13}$ => R =$\sqrt{13}$

=> (x -4 )² + (y – 3)² =13

Bài 3 (SGK trang 83)

Lập phương trình đường tròn đi qua 3 điểm :

a) $A\left(1;2\right);B\left(5;2\right);C\left(1;-3\right)$

b) $M\left(-2;4\right);N\left(5;5\right);P\left(6;-2\right)$

Hướng dẫn giải

a) Sử dụng phương trình đường tròn : x² - y² - ax – 2by +c = 0

Đường tròn đi qua điểm A(1; 2):

1² + 2² – 2a -4b + c = 0 <=> 2a + 4b – c = 5

Đường tròn đi qua điểm B(5; 2):

5² + 2² – 10a -4b + c = 0 <=> 10a + 4b – c = 29

Đường tròn đi qua điểm C(1; -3):

1² + (-3)² – 2a + 6b + c = 0 <=> 2a - 6b – c = 10

Để tìm a, b, c ta giải hệ: $\left\{\begin{matrix} 2a + 4b- c = 5 (1) & & \\ 10a +4b - c= 29 (2) & & \\ 2a- 6b -c =10 (3) & & \end{matrix}\right.$

Lấy (2) trừ cho (1) ta được phương trình: 8a = 24 => a = 3

Lấy (3) trừ cho (1) ta được phương trình: -10b = 5 => b = - 0,5

Thế a = 3 ; b = -0.5 vào (1) ta tính được c = -1

Ta được phương trình đường tròn đi qua ba điểm A, B, C là :

x² + y² - 6x + y - 1 = 0.

b) Tương tự ta tính được I(2; 1), R= 5

Phương trình đường tròn đi qua ba điểm M(-2; 4); N(5; 5); P(6; -2) là:

(x - 2)² + (y – 1)² = 25 <=> x² - y² - 4x – 2y - 20 = 0

Bài 4 (SGK trang 83)

Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy và đi qua điểm $M\left(2;1\right)$ ?

Hướng dẫn giải

Đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ nên tâm I của nó phải cách đều hai trục tọa độ. Đường tròn này lại đi qua điểm M(2 ; 1), mà điểm M này lại là góc phần tư thứ nhất nên tọa độ của tâm I phải là số dương.

x_I= y_I > 0

gọi x_I= y_I = a. Như vậy phương trình đường tròn cần tìm là :

(2 - a)² + (1 – a)² = a²

a² – 6a + 5 = 0 => a = 1 hoặc a = 5

Từ đây ta được hai đường tròn thỏa mãn điều kiện

+ Với a = 1 => (C₁) => (x - 1 )² + (y – 1)² = 1

x² + y² - 2x – 2y + 1 = 0

+ Với a = 1 => (C₂) => (x - 5 )² + (y – 5)² = 25

x² + y² - 10x – 10y + 25 = 0

Bài 5 (SGK trang 83)

Lập phương trình của đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳng $4x-2y-8=0$ ?

Hướng dẫn giải

Vì đường tròn cần tìm tiếp xúc với hai trục tọa độ nên các tọa độ x_I,y_I của tâm I có thể là x_I= y_I hoặc x_I= -y_I

Đặt x_I = a thì ta có hai trường hợp I(a ; a) hoặc I(-a ; a). Ta có hai khả năng:

Vì I nằm trên đường thẳng 4x – 2y – 8 = 0 nên với I(a ; a) ta có:

4a – 2a – 8 = 0 => a = 4

Đường tròn cần tìm có tâm I(4; 4) và bán kính R = 4 có phương trình:

(x - 4 )² + (y – 4)² = 4²

x² + y² - 8x – 8y + 16 = 0

+ Trường hợp I(-a; a):

-4a - 2a - 8 = 0 => a = $\frac{-4}{3}$

Ta được đường tròn có phương trình:

$(x -\frac{4}{3})^{2}$ + $(y +\frac{4}{3})^{2}$ = $(\frac{4}{3})^{2}$

Bài 6 (SGK trang 83)

Cho đường tròn C) có phương trình :

a) Tìm tọa độ tâm và bán kính của (C)

b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm A$\left(-1;0\right)$

c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với đường thẳng $3x-4y+5=0$

Hướng dẫn giải

Đề bài thiếu :

Cho đường tròn (C) có phương trình: x² + y² - 4x + 8y - 5 = 0

Giải :

a) Tâm I(2 ; -4), R = 5

b) Đường tròn có phương trình: (x - 2 )² + (y + 4)² = 25

Thế tọa độ A(-1 ; 0) vào vế trái, ta có :

(-1- 2 )² + (0 + 4)² = 3² + 4² = 25

Vậy A(-1 ;0) là điểm thuộc đường tròn.

Áp dụng công thức tiếp tuyến (Xem sgk)

Ta được pt tiếp tuyến với đường tròn tai A là:

(-1 - 2)(x - 2) + (0 + 4)(y + 4) = 25 <=> 3x - 4y + 3 = 0

Bài 3.15 (SBT trang 150)

Trong mặt phẳng Oxy, hãy lập phương trình của đường tròn (C) có tâm điểm $\left(2;3\right)$ và thỏa mãn điều kiện sau :

a) (C) có bán kính là 5

b (C) đi qua gốc tọa độ

c) (C) tiếp xúc với trục Ox

d) (C) tiếp xúc với trục Oy

e) (C) tiếp xúc với đường thẳng $\Delta:4x+3y-12=0$

Hướng dẫn giải

câu a : $\left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2=25$

câu b : $\left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2=13$

câu c : $\left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2=9$

câu d : $\left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2=4$

câu e : $\left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2=1$

Bài 3.16 (SBT trang 150)

Cho 3 điểm $A\left(1;4\right);B\left(-7;4\right);C\left(2;-5\right)$ :

a) Lập phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC

b) Tìm tâm và bán kính của (C)

Hướng dẫn giải

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Bài 3.17 (SBT trang 151)

Cho đường tròn (C) đi qua hai điểm $A\left(-1;2\right);B\left(-2;3\right)$ và có tâm trên đường thẳng $\Delta:3x-y+10=0$

a) Tìm tọa độ tâm của (C)

b) Tính bán kính R của (C)

c) Viết phương trình của (C)

Hướng dẫn giải

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Bài 3.18 (SBT trang 151)

Cho ba đường thẳng :

$\Delta_1:3x+4y-1=0$

$\Delta_2:4x+3y-8=0$

$d:2x+y-1=0$

a) Lập phương trình các đường phân giác của các góc hợp bởi $\Delta_1$ và $\Delta_2$

b) Xác định tọa độ tâm I của đường tròn (C) biết rằng I nằm trên d và (C) tiếp xúc với $\Delta_1$ và $\Delta_2$

c) Viết phương trình của (C)

Hướng dẫn giải

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Bài 3.19 (SBT trang 151)

Lập phương trình của đường tròn (C) đi qua hai điểm $A\left(1;2\right);B\left(3;4\right)$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta:3x+y-3=0$

Hướng dẫn giải

Đường tròn tâm O(a,b)

$\Delta_1$ đi qua $AB..\Delta_1:\left(x-1\right)-\left(y-2\right)=x-y+1=0$

$\Delta_2$ trung trực AB: $\Delta_2:\left(x-2\right)+\left(y-3\right)=x+y-5=0$

Tâm (c) phải thuộc $\Delta_2$ =>O(a,5-a)

Gọi I là điểm tiếp xúc $\Delta$ và (C) ta có hệ pt

$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}OA=OB=\sqrt{\left(a-1\right)^2+\left(5-a-3\right)^2}=R\\OI=\left|3a+\left(5-a\right)-3\right|=\sqrt{10}R\end{matrix}\right.$

$\left\{{}\begin{matrix}a^2-2a+1+a^2-4a+4=R^2\\\left(2a+2\right)^2=10R^2\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a^2-6a+5=R^2\\4a^2+8a+4=10R^2\end{matrix}\right.$

Lấy [(1) nhân 5] trừ [(2) chia 2]

$\Leftrightarrow8a^2-32a+23=0\left\{\Delta=16^2-8.23=8.32-8.23=8\left(32-23\right)=2.4.9\right\}$ đề số lẻ thế nhỉ

$\Rightarrow a=\left[{}\begin{matrix}\dfrac{16-6\sqrt{2}}{8}=2-\dfrac{3\sqrt{2}}{4}\\\dfrac{16+6\sqrt{2}}{8}=2+\dfrac{3\sqrt{2}}{4}\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow b=\left[{}\begin{matrix}3+\dfrac{3\sqrt{2}}{4}\\3-\dfrac{3\sqrt{2}}{4}\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow R^2=\left[{}\begin{matrix}\dfrac{\left(6-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2}{10}\\\dfrac{\left(6+\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2}{10}\end{matrix}\right.$

Bài 3.20 (SBT trang 151)

Lập phương trình của đường tròn đường kính AB trong các trường hợp sau :

a) A có tọa độ $\left(-1;1\right)$, B có tọa độ $\left(5;3\right)$

b) A có tọa độ $\left(-1;-2\right)$, B có tọa độ $\left(2;1\right)$

Hướng dẫn giải

a) $x^2+y^2-4x-4y+2=0$

b) $x^2+y^2-x+y-4=0$

Bài 3.21 (SBT trang 151)

Lập phương trình của đường tròn (C) tiếp xúc với các trục tọa độ và đi qua điểm $M\left(4;2\right)$

Hướng dẫn giải

Gọi $I (a; b)$ là tâm đường tròn $(C)$ . Do $(C)$ tiếp xúc với các trục tọa độ nên $| a | = | b |$

Lại có $C$ đi qua $M (4; 2)$ nên $a, b > 0$ . Khi đó $I (a; a)$

Pt $(C)$ có dạng $(C) : (x - a)^{2} + (y - a)^{2} = a^{2}$

Thay $x = 4; y = 2$ vào rồi giải ra $a ⟶$

$a ⟶$

Bài 3.22 (SBT trang 151)

Cho đường tròn (C) : $x^2+y^2-x-7y=0$ và đường thẳng d : $3x+4y-3=0$

a) Tìm tọa độ giao điểm của (C) và d

b) Lập phương trình tiếp tuyến với (C) tại các giao điểm đó

c) Tìm tọa độ giao điểm của hai tiếp tuyến

Hướng dẫn giải

a) Tọa độ giao điểm của (C) và d là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2-x-7y=0\left(1\right)\\3x+4y-3=0\left(2\right)\end{matrix}\right.$

Từ (2) => $x=\dfrac{3-4y}{3}$ thay vào (1) ta được:

$\left(\dfrac{3-4y}{3}\right)^2+y^2-\dfrac{3-4y}{3}-7y=0$

<=> 16y²-24y+9+9y²-9+12y-63y=0

<=>25y²-75y=0

<=> y=0=>x=1

hoặc y=3=>x=-3

Gọi 2 giao điểm là M và N =>tọa độ M(1;0) và N(-3;3)

b) Viết lại phương trình (C): $\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y-\dfrac{7}{2}\right)^2=\dfrac{25}{2}$

=>tọa độ tâm I(0,5;3,5)

Gọi d₁,d₂ là các tiếp tuyến tại M và N

VTPT của d₁ là: $\overrightarrow{IM}=\left(\dfrac{1}{2};-\dfrac{7}{2}\right)$ và M thuộc d₁

=> phương trình d₁: $\dfrac{1}{2}\left(x-1\right)-\dfrac{7}{2}y=0$

hay d₁: x-7y-1=0

Bằng cách tính tương tự ta được phương trình tiếp tuyến d₂:

d₂:7x+y+18=0

c)Tọa độ giao điểm d₁ và d₂ là nghiệm của hệ:

$\left\{{}\begin{matrix}x-7y-1=0\\7x+y+18=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{5}{2}\\y=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.$

=>tọa độ giao điểm là (-2,5;-0,5)