§1. Đường thẳng

Lý thuyết

Mục lục

* * * * *

Bài 1 (SGK trang 80)

Lập phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau :

a) d đi qua điểm $M\left(2;1\right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(3;4\right)$

b) d đi qua điểm $M\left(-2;3\right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{n}=\left(5;1\right)$

Hướng dẫn giải

a. phương trình tham số d có dạng : $\left\{{}\begin{matrix}x=2+3t\\y=1+4t\end{matrix}\right.$

b. phương trình tham số d có dạng: $\left\{{}\begin{matrix}x=-2+5t\\y=3+t\end{matrix}\right.$

Bài 2 (SGK trang 80)

Lập phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ trong mỗi trường hợp sau :

a) $\Delta$ đi qua $M\left(-5;-8\right)$ và có hệ số góc $k=-3$

b) $\Delta$ đi qua hai điểm $A\left(2;1\right)$ và $B\left(-4;5\right)$

Hướng dẫn giải

Giải bài 2 trang 80 SGK hình học 10 | Giải toán lớp 10

Bài 3 (SGK trang 80)

Cho tam giác ABC, biết $A\left(1;4\right),B\left(3;-1\right),C\left(6;2\right)$

a) Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng AB, BC, CA

b) Lập phương trình tổng quát của đường cao AH và trung tuyến AM

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\vec{AB}$ = (2; -5). Gọi M(x; y) là 1 điểm nằm trên đường thẳng AB thì AM = (x - 1; y - 4). Ba điểm A, B, M thẳng hàng nên hai vec tơ $\vec{AB}$ và $\vec{AM}$ cùng phương, cho ta:

$\frac{x - 1}{2}$ = $\frac{y - 4}{-5}$ <=> 5x + 2y -13 = 0

Đó chính là phương trình đường thẳng AB.

Tương tự ta có phương trình đường thẳng BC: x - y -4 = 0

phương trình đường thẳng CA: 2x + 5y -22 = 0

b) Đường cao AH là đường thẳng đi qua A(1; 4) và vuông góc với BC.

$\vec{BC}$ = (3; 3) => $\vec{AH}$ ⊥ $\vec{BC}$ nên $\vec{AH}$ nhận vectơ $\vec{n}$ = (3; 3) làm vectơ pháp tuyến và có phương trình tổng quát:

AH : 3(x - 1) + 3(y -4) = 0

3x + 3y - 15 = 0

=> x + y - 5 = 0

Gọi M là trung điểm BC ta có M $\left(\dfrac{9}{2};\dfrac{1}{2}\right)$

Trung tuyến AM là đường thẳng đi qua hai điểm A, M. Theo các viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm trong câu a) ta viết được:

AM : x + y - 5 = 0

Bài 4 (SGK trang 80)

Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm $M\left(4;0\right)$ và điểm $N\left(0;-1\right)$ ?

Hướng dẫn giải

ta có $\overrightarrow{MN=}\left(-4;-1\right)$ là vecto chỉ phương của đường thẳng cần tìm ( gọi là đường thẳng d )

Khi đó phương trình đường thẳng d có dạng : $\left\{{}\begin{matrix}x=-4t\\y=-1-t\end{matrix}\right.$( khi lấy điểm N là điểm đi qua)

hoặc $\left\{{}\begin{matrix}x=4-4t\\y=-t\end{matrix}\right.$( khi lấy điểm M là điểm đi qua)

Bài 5 (SGK trang 80)

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng $d_1$ và $d_2$ sau đây :

a) $d_1:4x-10y+1=0$ và $d_2:x+y+2=0$

b) $d_1:12x-6y+10=0$ và $d_2:\left\{{}\begin{matrix}x=5+t\\y=3+2t\end{matrix}\right.$

c) $d_1:8x+10y-12=0$ và $d_2:\left\{{}\begin{matrix}x=-6+5t\\y=6-t\end{matrix}\right.$

Hướng dẫn giải

a) Xét hệ $\left\{{}\begin{matrix}4x-10y+1=0\\x+y+2=0\end{matrix}\right.$

D = 4.1 = 10.1 = -6 ≠ 0

Vậy d₁và d₂cắt nhau

b) Tương tự, ta có: d₁ :$12x-6y+10=0$ ;

d₂= $2x-y-7=0$

D = 12 . (-1) - (-6).2 = -12 + 12 = 0

Dx = (-6) . (-7) - (-1). 10 = 42 + 10 = 52 ≠ 0

Vậy d₁// d₂

c) Tương tự, ta có d₁: $8x+10y-12=0$

d₂:$4x+5y-6=0$

D = 8 . 5 - 4 . 10 = 0

Dx = 10. (-6) - (-12) . 5 = 0

D_y= (-12) . 4 - (-6) . 8 = 0

Vậy d₁trùng d_2.

Bài 6 (SGK trang 80)

Cho đường thẳng d có phương trình tham số $\left\{{}\begin{matrix}x=2+2t\\y=3+t\end{matrix}\right.$

Tìm điểm M thuộc d và cách điểm $A\left(0;1\right)$ một khoảng bằng 5 ?

Hướng dẫn giải

Ta có : $MA=5\leftrightarrow x^2+\left(y-1\right)^2=5^2$

Thay tọa độ điểm x,y vào tham số t vào pt trên ta được :

$\left(2+2t\right)^2+\left(3+t-1\right)^2=25$

$\Leftrightarrow4t^2+8t+4+4+4t+t^2=25$

$\Leftrightarrow5t^2+12t-17=0\rightarrow t_1=1;t_2=-\dfrac{17}{5}$

Với $t_1=1$, ta được điểm $x=4;y=4\Rightarrow M_1\left(4;4\right)$

Với $t_2=-\dfrac{17}{5}$ta được điểm $x=-\dfrac{24}{5};y=-\dfrac{2}{5}\Rightarrow M_2\left(-\dfrac{24}{5};-\dfrac{2}{5}\right)$

Bài 7 (SGK trang 81)

Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ lần lượt có phương trình :

$d_1:4x-2y+6=0$

$d_2:x-3y+1=0$

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức cos $\varphi$ = $\frac{|a_{1}.a_{2}+b_{1}.b_{2}|}{\sqrt{{a_{1}}^{2}+{b_{1}}^{2}}\sqrt{{a_{2}}^{2}+{b_{2}}^{2}}}$

ta có cos $\varphi$ = $\frac{|4.1+(-2 ).(-3)|}{\sqrt{4^{2}+(-2)^{2}}\sqrt{1^{2}+(-3)^{2}}}$

=> cos $\varphi$ = $\frac{10 }{\sqrt{20}\sqrt{10}}$ = $\frac{10 }{10\sqrt{2}}$ = $\frac{1 }{\sqrt{2}}$ => $\varphi$ = 45⁰

Vậy số đo góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ là 45 độ.

Bài 8 (SGK trang 81)

Tìm khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng trong các trường hợp sau :

a) $A\left(3;5\right)$ $\Delta:4x+3y+1=0$

b) $B\left(1;-2\right)$ $d:3x-4y-26=0$

c) $C\left(1;2\right)$ $m:3x+4y-11=0$

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức:

d(M_{0 ;}∆) = $\dfrac{\left|ax_0+by_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

a) d(M_{0 ;}∆) = $\dfrac{\left|4\cdot3+3\cdot5+1\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\dfrac{28}{5}$

b) d(B_;d) = $\dfrac{\left|3\cdot1-4\cdot\left(-2\right)-26\right|}{\sqrt{3^2+\left(-4\right)^2}}=-\dfrac{15}{5}=\dfrac{15}{5}=3$

c) Dễ thấy điểm C nằm trên đường thẳng m : C ε m

Bài 9 (SGK trang 81)

Tìm bán kính của đường tròn tâm $C\left(-2;-2\right)$, tiếp xúc với đường thẳng $\Delta:5x+12y-10=0$

Hướng dẫn giải

Giải :

Bán kính R của đường tròn tâm C(-2; -2) và tiếp xúc với đường thẳng

∆ : 5x + 12y - 10 = 0 thì bằng khoảng cách từ C đến ∆

R = d(C_;∆) = $\frac{|5.(-2) +12.(-2)-10|}{\sqrt{5^{2}+12^{2}}}$

=> R = $\frac{|-44|}{\sqrt{169}}$ = $\frac{44}{13}$ .

Bài 3.1 (SBT trang 142)

Lập phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau :

a) d đi qua điểm $A\left(-5;-2\right)$ và vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(4;-3\right)$

b) d đi qua 2 điểm $A\left(\sqrt{3};1\right)$ và $B\left(2+\sqrt{3};4\right)$

Hướng dẫn giải

a) $\left\{{}\begin{matrix}x=-5+4t\\y=-2-3t\end{matrix}\right.$

b) $\left\{{}\begin{matrix}x=\sqrt{3}+2t\\y=1+3t\end{matrix}\right.$

Bài 3.2 (SBT trang 143)

Cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình tham số : $\left\{{}\begin{matrix}x=2+2t\\y=3+t\end{matrix}\right.$

a) Tìm điểm M nằm trên $\Delta$và cách điểm $A\left(0;1\right)$ một khoảng bằng 5

b) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng $\Delta$với đường thẳng $x+y+1=0$

c) Tìm điểm M trên $\Delta$ sao cho AM ngắn nhất

Hướng dẫn giải

Phương trình tổng quát $\Delta$:

$\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-3}{1}$=> x-2y+4=0

a. Vì M $\in$ $\Delta$=> M (2y-4;y)

Theo giả thiết, MA=5 <=> $\sqrt{(-2y+4)^{2}+(1-y)^{2}}$=5

<=> $5y^2-18y-8=0$

<=>y=4 và y=$\dfrac{-2}{5}$

Vậy M₁(4;4) và M₂($\dfrac{-24}{5};\dfrac{-2}{5}$)

b. Gọi I là tọa độ giao điểm của đường thẳng $\Delta$với đường thẳng (d): x+y+1=0

Ta có hệ phương trình:

$\begin{cases} x-2y+4=0\\ x+y+1=0 \end{cases}$

$\begin{cases} x=-2\\ y=1 \end{cases}$

=> I(-2;1) là giao điểm của đường thẳng $\Delta$với đường thẳng d

c. Nhận thấy, điểm A$\notin$$\Delta$

Để AM ngắn nhất <=> M là hình chiếu của A trên đường thẳng $\Delta$

Vì M$\in\Delta$=> M(2y-4;y)

Ta có: Vectơ chỉ phương của $\overrightarrow{AM}$là $\overrightarrow{u}$(2;1)

$\overrightarrow{AM}$ (2y-4;y-1)

Vì A là hình chiếu của A trên $\Delta$nên $\overrightarrow{AM}$$\perp\Delta$

<=> $\overrightarrow{AM}$$\perp\overrightarrow{u}$

<=> $\begin{matrix}\overrightarrow{AM}&\overrightarrow{u}\end{matrix}$ =0

<=> 2(2y-4)+(y-1)=0

<=> 5y-9=0

<=> y= $\dfrac{9}{5}$

=> B ($\dfrac{-2}{5}$;$\dfrac{4}{5}$)

Bài 3.3 (SBT trang 143)

Lập phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ trong mỗi trường hợp sau :

a) $\Delta$ đi qua điểm $M\left(1;1\right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(3;-2\right)$

b) $\Delta$ đi qua điểm $A\left(2;-1\right)$ và có hệ số góc $k=-\dfrac{1}{2}$

c) $\Delta$ đi qua hai điểm $A\left(2;0\right)$ và $B\left(0;-3\right)$

Hướng dẫn giải

a,$\Delta_a$ : 3 (x-1) - 2 (y-1) =3x-2y-1=0

b, $\Delta_b$ : y=-$\dfrac{1}{2}$(x-2) =-$\dfrac{1}{2}$x =>$\Delta_b$ : x+2y=0

c,$\overrightarrow{AB}$=(-2;-3) =>vtpt $\overrightarrow{n}$=(3;-2)

=>$\Delta_c$: 3 (x-2) - 2(y-0) =0

=>$\Delta_c$: 3x-2y-6=0

Bài 3.4 (SBT trang 143)

Lập phương trình ba đường trung trục của một tam giác có trung điểm các cạnh lần lượt là $M\left(-1;0\right);N\left(4;1\right);P\left(2;4\right)$

Hướng dẫn giải

gọi $\Delta_1,\Delta_2,\Delta_3$ lần lược là các đường trung trực đi qua M,N,P.

ta có : $\overrightarrow{n}_{\Delta_1}=\overrightarrow{NP}=\left(-2;3\right).$

vậy $\Delta_1$ có phương trình $-2\left(x+1\right)+3y=0\Leftrightarrow2x-3y+2=0$

ta có : $\overrightarrow{n}_{\Delta_2}=\overrightarrow{MP}=\left(3;4\right).$

vậy $\Delta_2$ có phương trình $3\left(x-4\right)+4\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow3x+4y-16=0$

ta có : $\overrightarrow{n}_{\Delta_3}=\overrightarrow{MN}=\left(5;1\right).$

vậy $\Delta_3$ có phương trình $5\left(x-2\right)+\left(y-4\right)=0\Leftrightarrow5x+y-14=0$

Bài 3.5 (SBT trang 143)

Cho điểm $M\left(1;2\right)$. Hãy lập phương trình của đường thẳng qua M và chắn trên hai trục tọa độ hai đoạn có độ dài bằng nhau ?

Hướng dẫn giải

Lời giải

đường thẳng chắn trên hai trucj tọa đọ hai đoạn thẳng = nhau => Hệ số góc k=-1 hoặc 1

$\left\{{}\begin{matrix}y=x+b\\y=-x+b\end{matrix}\right.$ đi qua điểm M $\left\{{}\begin{matrix}b=2-1=1\\b=2+1=3\end{matrix}\right.$

Phương trình hệ số đường thẳng cần tìm

$\begin{matrix}d1:y=x+1\\d2:y=-x+3\end{matrix}$

Phương trình tổng quát

d1: x-y-1=0

d2:x+y-3=0

Bài 3.6 (SBT trang 143)

Cho tam giác ABC, biết phương trình AB : $x-3y+11=0$, đường cao $AH = 3x+7y-15=0$, đường cao BH : $3x-5y+13=0$. Tìm phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh còn lại của tam giác ?

Hướng dẫn giải

AB giao AH $\Rightarrow A=\left\{{}\begin{matrix}x-3y+11=0\\3x+7y-15=0\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow A\left(-2;3\right)$

AB giao BH $\Rightarrow B=\left\{{}\begin{matrix}x-3y+11=0\\3x-5y+13=0\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow B\left(4;5\right)$

*$AH\perp BC\Rightarrow BC:7x-3y+a=0$

Mà BC đi qua B $\Rightarrow7\times4-3\times5+c=0\Rightarrow c=-13$

BC: $7x-3y-13=0$

*$BH\perp AC\Rightarrow AC:5x+3y+c=0$

Mà AC đi qua A $\Rightarrow5\times\left(-2\right)+3\times3+c=0\Rightarrow c=1$

AC: $5x+3y+1=0$

Bài 3.7 (SBT trang 143)

Cho tam giác ABC có $A\left(-2;3\right)$ và hai đường trung tuyến : $2x-y+1=0$ và $x+y-4=0$. Hãy viết phương trình ba đường thẳng chứa 3 cạnh của tam giác ?

Hướng dẫn giải

hai đường trung tuyến đã cho đều không phải là đường trung tuyến xuất phát từ A vì tọa độ của A không thỏa mãn các phương trình của chúng .

đặc BM : $2x-y+1=0$ và CN : $x+y-4=0$ là 2 trung tuyến của tam giác ABC

đặc B$\left(x;y\right)$ , ta có N $\left(\dfrac{x-2}{2};\dfrac{y+3}{2}\right)$ và $\left\{{}\begin{matrix}B\in BM\\N\in CN\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-y+1=0\\\dfrac{x-2}{2}+\dfrac{y+3}{2}-4=0\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-y=-1\\x+y=7\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=5\end{matrix}\right.$

vậy phương trình đường thẳng chứa cạnh AB là : $2x-4y+16=0$ $\Leftrightarrow x-2y+8=0$

tương tự ta có phương trình đường thẳng chứa cạnh AC là : $2x+5y-11=0$ phương trình đường thẳng chứa cạnh BC là : $4x+y-13=0$

Bài 3.8 (SBT trang 143)

Với giá trị nào của tham số m thì hai đường thẳng sau đây vuông góc ?

$\Delta_1:mx+y+q=0$

$\Delta_2:x-y+m=0$

Hướng dẫn giải

gọi vtpt $\Delta_1$là $\overrightarrow{n_1}$=(m;1)

vtpt$\Delta_2$ là $\overrightarrow{n_2}$=(1;-1)

để hai đường thẳng vuông góc thì $\overrightarrow{n_1}$$\times$$\overrightarrow{n_2}$=$\overrightarrow{0}$<=>m$\times$1-1=0<=> m=1

Bài 3.9 (SBT trang 143)

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây :

a) $d:\left\{{}\begin{matrix}x=-1-5t\\y=2+4t\end{matrix}\right.$ và $d':\left\{{}\begin{matrix}x=-6+5t'\\y=2-4t'\end{matrix}\right.$

b) $d:\left\{{}\begin{matrix}x=1-4t\\y=2+2t\end{matrix}\right.$ và $d':2x+4y-10=0$

c) $d:x+y-2=0$ và $d'=2x+y-3=0$

Hướng dẫn giải

a)$\Rightarrow d:4x+5y+14=0$

$d':4x+5y+14=0$

Ta có: $\dfrac{4}{4}=\dfrac{5}{5}=\dfrac{14}{14}$ $\Rightarrow d\equiv d'$

b) $\Rightarrow d:x+2y-5=0$

Ta có: $\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{-5}{-10}$ $\Rightarrow d\equiv d'$

c) Ta có: $\dfrac{1}{2}\ne\dfrac{1}{1}$ $\Rightarrow d$ cắt $d'$

Bài 3.10 (SBT trang 144)

Tìm góc giữa hai đường thẳng :

$d_1:x+2y+4=0$ và $d_2:2x-y+6=0$

Hướng dẫn giải

ta có vtpt của d1 : n=(1;2) và vtpt của d2: n'=(2;-1)

ta có cos$\alpha$=$\dfrac{|\overrightarrow{n}\times\overrightarrow{n'}|}{\overrightarrow{|n|}\times|\overrightarrow{n'}|}$=$\dfrac{\left(1\times2\right)-\left(2\times1\right)}{\sqrt{1^2+2^2}\times\sqrt{\left(-1\right)^2+2^2}}$=0

=>$\alpha$=$90^0$

Bài 3.11 (SBT trang 144)

Tính bán kính của đường tròn có tâm là điểm $I\left(1;5\right)$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta:4x-3y+1=0$ ?

Hướng dẫn giải

R=$d_{\left(I,\Delta\right)}=\dfrac{\left|4\times1-3\times5+1\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=2$

Bài 3.12 (SBT trang 144)

Lập phương trình các đường phân giác của các góc giữa hai đường thẳng :

$\Delta_1:2x+4y+7=0$

$\Delta_2:x-2y-3=0$

Hướng dẫn giải

Giả sử: $d_{\left(M,\Delta_1\right)}=d_{\left(M,\Delta_2\right)}$

$\Rightarrow\dfrac{\left|2x+4y+7\right|}{\sqrt{2^2+4^2}}=\dfrac{\left|x-2y-3\right|}{\sqrt{1^2+2^2}}$

$\Rightarrow\sqrt{5}\left|2x+4y+7\right|=2\sqrt{5}\left|x-2y-3\right|$

$\Rightarrow\left|2x+4y+7\right|=2\left|x-2y-3\right|$

* $2x+4y+7=2\left(x-2y-3\right)$

$\Rightarrow8y+13=0$

*$2x+4y+7=-2\left(x-2y-3\right)$

$\Rightarrow4x+1=0$

Bài 3.13 (SBT trang 144)

Tìm phương trình của tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng :

$\Delta_1:5x+3y-3=0$

$\Delta_2:5x+3y+7=0$

Hướng dẫn giải

lời giải

$\Delta_1$ //$\Delta_2$

Vậy $\Delta_3$ cách đều phải //$\Delta_2$ và $\Delta_1$ và giữa $\Delta_1\&\Delta_2$

M(0,b)

x=0 =>$\left\{{}\begin{matrix}\Delta_1=y=1\\\Delta_2\Rightarrow y=-\dfrac{7}{3}\end{matrix}\right.$

=> b=$\dfrac{\dfrac{3}{3}-\dfrac{7}{3}}{2}=\dfrac{-2}{3}$

$M=\left(0,-\dfrac{2}{3}\right)$

$\Delta_3$ phải đi qua M

=>$\Delta_3$=5x+3(y+2/3)=5x+3y+2=0

Đáp số: $\Delta_3$=5x+3y+2=0

Bài 3.14 (SBT trang 144)

Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $M\left(2;5\right)$ và cách đều hai điểm $A\left(-1;2\right)$ và $B\left(5;4\right)$ ?

Hướng dẫn giải

pt đường thẳng (AB)d: (x+1)-3(y-2)=x-3y+7=0

đường thẳng (d1) qua M// AB => d1//d

đảm bảo yêu cầu đầu bài

d1: (x-2)-3(x-5)=x-3y+13=0

Có thể bạn quan tâm