Hệ thức Vi-et và ứng dụng

Lý thuyết

Bài 41 (Sách bài tập - tập 2 - trang 58)

Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau :

a) \(u+v=14,uv=40\)

b) \(u+v=-7,uv=12\)

c) \(u+v=-5,uv=-24\)

d) \(u+v=14,uv=19\)

e) \(u-v=10,uv=24\)

f) \(u^2+v^2=85,uv=18\)

Hướng dẫn giải

- Nếu u + v = -11 và uv = 18 thì u và v là hai nghiệm của phương trình \(x^2+11x+18=0\). Suy ra u = - 2, v = -9 hoặc u = -9; v = -2

Bài 6.3 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 58)

Dùng định lí Vi - ét, hãy chứng tỏ rằng nếu tam thức \(ax^2+bx+c\) có hai nghiệm \(x_1,x_2\) thì nó được phân tích thành :

              \(ax^2+bx+c=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\)

Áp dụng :

Phân tích các tam thức sau thành tích :

a) \(x^2-11+30\)

b) \(3x^2+14x+8\)

c) \(5x^2+8x-4\)

d) \(x^2-\left(1+2\sqrt{3}\right)x-3+\sqrt{3}\)

Hướng dẫn giải

ax²+bx+c=a(x²+\(\dfrac{b}{a}\)x+\(\dfrac{c}{a}\))
=a(x²-(x₁+x₂)x+x₁x₂)
=a(x-x₁)(x-x₂)

Áp dụng:
Câu a: Ptr có 2 nghiệm là 5,6=>x²-11x+30=(x-5)(x-6)
Câu b: Ptr có 2 nghiệm là \(\dfrac{-2}{3}\),-4=>3x²+14x+8=3(x+\(\dfrac{2}{3}\))(x+4)
Câu c: Ptr có 2 nghiệm là \(\dfrac{2}{5}\),-2=>5x²+8x-4=5(x-\(\dfrac{2}{5}\))(x+2)
Câu d: Ptr có 2 nghiệm là 3+\(\sqrt{3}\),-2+\(\sqrt{3}\)=>
x²-(1+2\(\sqrt{3}\))x-3+\(\sqrt{3}\)=(x-3-\(\sqrt{3}\))(x+2-\(\sqrt{3}\))

Bài 43 (Sách bài tập - tập 2 - trang 58)

Cho phương trình \(x^2+px-5=0\) có nghiệm là \(x_1\) và \(x_2\). Hãy lập phương trình có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau :

a) \(-x_1\) và \(-x_2\)

b) \(\dfrac{1}{x_1}\) và \(\dfrac{1}{x_2}\)

Hướng dẫn giải

Câu a: -x₁,-x₂ là nghiệm của ptr x²-(-x₁-x₂)x+x₁x₂=0
<=>x²-px-5=0(x₁+x₂=-p,x₁x₂=-5)

Câu b: \(\dfrac{1}{x_{1}}\),\(\dfrac{1}{x_{2}}\)là nghiệm của ptr: t²-(\(\dfrac{1}{x_{1}}\)+\(\dfrac{1}{x_{2}}\))+\(\dfrac{1}{x_{1}x_{2}}\)=0
<=>t²-\(\dfrac{p}{5}\)x-\(\dfrac{1}{5}\)=0

Bài 37 (Sách bài tập - tập 2 - trang 57)

Tính nhẩm nghiệm của phương trình :

a) \(7x^2-9x+2=0\)

b) \(23x^2-9x-32=0\)

c) \(1975x^2+4x-1979=0\)

d) \(\left(5+\sqrt{2}\right)x^2+\left(5-\sqrt{2}\right)x-10=0\)

e) \(\dfrac{1}{3}x^2-\dfrac{3}{2}x-\dfrac{11}{6}=0\)

f) \(31,1x^2-50,9x+19,8=0\)

Hướng dẫn giải

Bài 36 (Sách bài tập - tập 2 - trang 57)

Không giải phương trình, dùng hệ thức Vi - ét, hãy tính tổng và tích các nghiệm của mỗi phương trình :

a) \(2x^2-7x+2=0\)

b) \(2x^2+9x+7=0\)

c) \(\left(2-\sqrt{3}\right)x^2+4x+2+\sqrt{2}=0\)

d) \(1,4x^2-3x+1,2=0\)

e) \(5x^2+x+2=0\)

Hướng dẫn giải

a) ta có : \(S=x_1+x_2=\dfrac{7}{2};P=x_1x_2=1\)

b) ta có \(S=x_1+x_2=\dfrac{-9}{2};P=x_1x_2=\dfrac{7}{2}\)

c) ta có : \(S=x_1+x_2=\dfrac{-4}{2-\sqrt{3}};P=x_1x_2=\dfrac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{3}}\)

d) ta có : \(S=x_1+x_2=\dfrac{3}{1,4}=\dfrac{15}{7};P=x_1x_2=\dfrac{1,2}{1,4}=\dfrac{6}{7}\)

e) ta có : \(S=x_1+x_2=\dfrac{-1}{5};P=x_1x_2=\dfrac{2}{5}\)

Bài 6.4* - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 59)

Cho phương trình :

                      \(\left(2m-1\right)x^2-2\left(m+4\right)x+5m+2=0,\left(m\ne\dfrac{1}{2}\right)\)

a) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm

b) Khi phương trình có nghiệm \(x_1,x_2\), hãy tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo m

c) Tìm hệ thức giữa S và P sao cho trong hệ thức này không có m

Hướng dẫn giải

Vì phương trình đã cho là phương trình bậc hai nên để pt đã cho có nghiệm buộc \(\Delta\)'\(\ge\)0

\(\Leftrightarrow\left(-m-4\right)^2-\left(2m-1\right)\left(5m+2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow-9m^2+9m+17\ge0\)

Tới đây mình bấm máy tính fx 570vn thì ra còn ai rảnh thì xài bảng xét dấu

\(\Leftrightarrow\dfrac{3-\sqrt{77}}{6}\le m\le\dfrac{3+\sqrt{77}}{6}\)

Vậy với .....

b, Theo hệ thức Vi-ét ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}S=x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{2\left(m+4\right)}{2m-1}\\P=x_1.x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{5m+2}{2m-1}\end{matrix}\right.\)

c,Từ \(S=\dfrac{2m+8}{2m-1}\Leftrightarrow S=1+\dfrac{9}{2m-1}\\ \Leftrightarrow\left(S-1\right)\left(2m-1\right)=9\\ \Leftrightarrow2m-1=\dfrac{9}{S-1}\\ \Leftrightarrow m=\dfrac{S+8}{2S-2}\)

Thay \(m=\dfrac{S+8}{2S-2}\) vào \(P=\dfrac{5m+2}{2m-1}\) ta được:

\(P=\dfrac{7S+6}{18}\)

\(\Leftrightarrow18P=7S+6\)

Hay \(18x_1x_2=x_1+x_2+6\)

Vậy ....

Bài 40 (Sách bài tập - tập 2 - trang 57)

Dùng hệ thức Vi - ét để tìm nghiệm \(x_2\) của phương trình rồi tìm giá trị của m trong mỗi trường hợp sau :

a) Phương trình \(x^2+mx-35=0\), biết nghiệm \(x_1=7\)

b) Phương trình \(x^2-13x+m=0\), biết nghiệm \(x_1=12,5\)

c) Phương trình \(4x^2+3x-m^2+3m=0\), biết nghiệm \(x_1=-2\)

d) Phương trình \(3x^2-2\left(m-3\right)x+5=0\), biết nghiệm \(x_1=\dfrac{1}{3}\)

Hướng dẫn giải

đúng hay sai z bạn Mới vô

Bài 44 (Sách bài tập - tập 2 - trang 58)

Cho phương trình \(x^2-6x+m=0\). Tính giá trị của m biết rằng phương trình có hai nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn điều kiện \(x_1-x_2=4\)

Hướng dẫn giải

(x₁-x₂)²=16
<=>(x₁+x₂)²-4x₁x₂=16
<=>36-4m=16
<=>m=5( thõa mãn điều kiện delta dương)

Bài 38 (Sách bài tập - tập 2 - trang 57)

Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của phương trình :

a) \(x^2-6x+8=0\)

b) \(x^2-12x+32=0\)

c) \(x^2+6x+8=0\)

d) \(x^2-3x-10=0\)

e) \(x^2+3x-10=0\)

Hướng dẫn giải

Bài 6.2 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 58)

Giả sử \(x_1,x_2\) là hai nghiệm của phương trình \(x^2+px+q=0\). Hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm là \(x_1+x_2\) và \(x_1.x_2\)

Hướng dẫn giải

Ứng dụng hệ thức viet thì ptr đó là x²-(x₁+x₂)x+x₁x₂=0

Bài 35 (Sách bài tập - tập 2 - trang 57)

Giải phương trình rồi kiểm nghiệm hệ thức Vi-ét :

a) \(3x^2-2x-5=0\)

b) \(5x^2+2x-16=0\)

c) \(\dfrac{1}{3}x^2+2x-\dfrac{16}{3}=0\)

d) \(\dfrac{1}{2}x^2-3x+2=0\)

Hướng dẫn giải

a, \(3x^2-2x-5=0\)

\(\Rightarrow\Delta=\left(-2\right)^2-4\times3\times\left(-5\right)\)

\(\Rightarrow\Delta=4+60\)

\(\Rightarrow\Delta=64\)

\(\Rightarrow\sqrt{\Delta}=8\)

vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt

\(x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{2+64}{6}=11\)

\(x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{2-64}{6}=\dfrac{-62}{6}=\dfrac{-31}{3}\)

b, \(5x^2+2x-16\)

\(\Rightarrow\Delta=2^2-4\times5\times\left(-16\right)\)

\(\Rightarrow\Delta=4+140\)

\(\Rightarrow\Delta=144\)

\(\Rightarrow\sqrt{\Delta}=12\)

vậyphương trình có hai nghiệm phân biệt

\(x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2+12}{10}=\dfrac{10}{10}=1\)

\(x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2-12}{10}=\dfrac{-14}{10}=\dfrac{-7}{5}\)

Bài 39 (Sách bài tập - tập 2 - trang 57)

a) Chứng tỏ rằng phương trình \(3x^2+2x-21=0\) có một nghiệm là -3. Hãy tìm nghiệm kia

b) Chứng tỏ rằng phương trình \(-4x^2-3x+115=0\) có một nghiệm là 5. Hãy tìm nghiệm kia

Hướng dẫn giải

Bài 42 (Sách bài tập - tập 2 - trang 58)

Lập phương trình có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau :

a) \(3\) và \(5\)

b) \(-4\) và \(7\)

c) \(-5\) và \(\dfrac{1}{3}\)

d) \(1,9\) và \(5,1\)

e) \(4\) và \(1-\sqrt{2}\)

f) \(3-\sqrt{5}\) và \(3+\sqrt{5}\)

Hướng dẫn giải

gọi x₁,x₂ là 2 nghiệm của pt

theo vi-et ta có:

a) pt x²-8x+15=0

b)pt x²-3x-28=0

c) pt 3x²+14x-5=0

d) pt x²-7x+9,69=0

e) pt x²-6x+4=0

Bài 6.1 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 58)

Giả sử \(x_1,x_2\) là nghiệm của phương trình \(ax^2+bx+c=0,\left(x\ne0\right)\). Điều nào sau đây đúng ?

a) \(x_1+x_2=\dfrac{b}{a};x_1.x_2=\dfrac{c}{a}\)

b) \(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a};x_1.x_2=-\dfrac{c}{a}\)

c) \(x_1+x_2=\dfrac{b}{a};x_1.x_2=-\dfrac{c}{a}\)

d) \(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a};x_1.x_2=\dfrac{c}{a}\)

Hướng dẫn giải

Theo hệ thức viet thì đáp án là câu d(đk là a khác 0)