Phương trình quy về phương trình bậc hai

Lý thuyết

Bài 45 (Sách bài tập - tập 2 - trang 59)

Giải các phương trình :

a) \(\left(x+2\right)^2-3x-5=\left(1-x\right)\left(1+x\right)\)

b) \(\left(x-1\right)^3+2x=x^3-x^2-2x+1\)

c) \(x\left(x^2-6\right)-\left(x-2\right)^2=\left(x+1\right)^3\)

d) \(\left(x+5\right)^2+\left(x-2\right)^2+\left(x+7\right)\left(x-7\right)=12x-23\)

Hướng dẫn giải

Bài 46 (Sách bài tập - tập 2 - trang 59)

Giải các phương trình :

a) \(\dfrac{12}{x-1}-\dfrac{8}{x+1}=1\)

b) \(\dfrac{16}{x-3}+\dfrac{30}{1-x}=3\)

c) \(\dfrac{x^2-3x+5}{\left(x-3\right)\left(x+2\right)}=\dfrac{1}{x-3}\)

d) \(\dfrac{2x}{x-2}-\dfrac{x}{x+4}=\dfrac{8x+8}{\left(x-2\right)\left(x+4\right)}\)

Hướng dẫn giải

a) \(\dfrac{12}{x-1}-\dfrac{8}{x+1}=1\) \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{12\left(x+1\right)-8\left(x-1\right)}{x^2-1}=1\)

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{12x+12-8x+8}{x^2-1}=1\) \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{4x+20}{x^2-1}=1\)

\(\Leftrightarrow\) \(x^2-1=4x+20\) \(\Leftrightarrow\) \(x^2-4x-21=0\)

giải pt ta có 2 nghiệm : \(x_1=7;x_2=-3\)

vậy phương trình có 2 nghiệm \(x=7;x=-3\)

b) \(\dfrac{16}{x-3}+\dfrac{30}{1-x}=3\) \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{16\left(1-x\right)+30\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(1-x\right)}=3\)

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{16-16x+30x-90}{x-x^2-3+3x}=3\) \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{14x-74}{-x^2+4x-3}=3\)

\(\Leftrightarrow\) \(3\left(-x^2+4x-3\right)=14x-74\)

\(\Leftrightarrow\) \(-3x^2+12x-9=14x-74\)

\(\Leftrightarrow\) \(3x^2-2x-65=0\)

giải pt ta có 2 nghiệm : \(x_1=5;x_2=\dfrac{-13}{3}\)

vậy phương trình có 2 nghiệm \(x=5;x=\dfrac{-13}{3}\)

Bài 50 (Sách bài tập - tập 2 - trang 60)

Giải các phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ :

a) \(\left(4x-5\right)^2-6\left(4x-5\right)+8=0\)

b) \(\left(x^2+3x-1\right)^2+2\left(x^2+3x-1\right)-8=0\)

c) \(\left(2x^2+x-2\right)^2+10x^2+5x-16=0\)

d) \(\left(x^2-3x+4\right)\left(x^2-3x+2\right)=3\)

e) \(\dfrac{2x^2}{\left(x+1\right)^2}-\dfrac{5x}{x+1}+3=0\)

f) \(x-\sqrt{x-1}-3=0\)

Hướng dẫn giải

Bài 46 (Sách bài tập - tập 2 - trang 59)

Giải các phương trình :

a) \(\dfrac{12}{x-1}-\dfrac{8}{x+1}=1\)

b) \(\dfrac{16}{x-3}+\dfrac{30}{1-x}=3\)

c) \(\dfrac{x^2-3x+5}{\left(x-3\right)\left(x+2\right)}=\dfrac{1}{x-3}\)

d) \(\dfrac{2x}{x-2}-\dfrac{x}{x+4}=\dfrac{8x+8}{\left(x-2\right)\left(x+4\right)}\)

e) \(\dfrac{x^3+7x^2+6x-30}{x^3-1}=\dfrac{x^2-x+16}{x^2+x+1}\)

f) \(\dfrac{x^2+9x-1}{x^4-1}=\dfrac{17}{x^3+x^2+x+1}\)

Hướng dẫn giải

a) \(\dfrac{12}{x-1}-\dfrac{8}{x+1}=1\) \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{12\left(x+1\right)-8\left(x-1\right)}{x^2-1}=1\)

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{12x+12-8x+8}{x^2-1}=1\) \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{4x+20}{x^2-1}=1\)

\(\Leftrightarrow\) \(x^2-1=4x+20\) \(\Leftrightarrow\) \(x^2-4x-21=0\)

giải pt ta có 2 nghiệm : \(x_1=7;x_2=-3\)

vậy phương trình có 2 nghiệm \(x=7;x=-3\)

b) \(\dfrac{16}{x-3}+\dfrac{30}{1-x}=3\) \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{16\left(1-x\right)+30\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(1-x\right)}=3\)

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{16-16x+30x-90}{x-x^2-3+3x}=3\) \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{14x-74}{-x^2+4x-3}=3\)

\(\Leftrightarrow\) \(3\left(-x^2+4x-3\right)=14x-74\)

\(\Leftrightarrow\) \(-3x^2+12x-9=14x-74\)

\(\Leftrightarrow\) \(3x^2-2x-65=0\)

giải pt ta có 2 nghiệm : \(x_1=5;x_2=\dfrac{-13}{3}\)

vậy phương trình có 2 nghiệm \(x=5;x=\dfrac{-13}{3}\)

Bài 7.2* - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 60)

Cho phương trình :                

                     \(x+2\sqrt{x-1}-m^2+6m-11=0\)

a) Giải phương trình khi \(m=2\)

b) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m 

 

Hướng dẫn giải

Bài 7.1 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 60)

Giải các phương trình :

a) \(x^4-2x^3+3x^2-2x-3=0\)

b) \(5-\sqrt{3-2x}=\left|2x-3\right|\)

Hướng dẫn giải

Thay giá trị này của t vào phương trình (1) ta được :

\(3-2x=\dfrac{11-\sqrt{21}}{2}\)

Vậy :

\(x=\dfrac{\sqrt{21}-5}{4}\)

Bài 7.3* - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 60)

(Đề thi học sinh giỏi Bulgari - Mùa xuân 1997)

Tìm giá trị của m để phương trình :

\(\left[x^2-2mx-4\left(m^2+1\right)\right]\left[x^2-4x-2m\left(m^2+1\right)\right]=0\)

có đúng 3 nghiệm phân biệt

Hướng dẫn giải

Bài 47 (Sách bài tập - tập 2 - trang 59)

Giải các phương trình sau :

a) \(3x^3+6x^2-4x=0\)

b) \(\left(x+1\right)^3-x+1=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\)

c) \(\left(x^2+x+1\right)^2=\left(4x-1\right)^2\)

d) \(\left(x^2+3x+2\right)^2=6\left(x^2+3x+2\right)\)

e) \(\left(2x^2+3\right)^2-10x^3-15x=0\)

f) \(x^3-5x^2-x+5=0\)

Hướng dẫn giải

a) \(3x^3+6x^2-4x=0\) \(\Leftrightarrow\) \(x\left(3x^2+6x-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\3x^2+6x-4=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{-3+\sqrt{21}}{3}\\x=\dfrac{-3-\sqrt{21}}{3}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

vậy phương trình có 2 nghiệm \(x=0;x=\dfrac{-3+\sqrt{21}}{3};x=\dfrac{-3-\sqrt{21}}{3}\)

Bài 48 (Sách bài tập - tập 2 - trang 60)

Giải các phương trình trùng phương :

a) \(x^4-8x^2-9=0\)

b) \(y^4-1,16y^2+0,16=0\)

c) \(z^4-7z^2-144=0\)

d) \(36t^4-13t^2+1=0\)

e) \(\dfrac{1}{3}x^4-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{6}=0\)

f) \(\sqrt{3}x^4-\left(2-\sqrt{3}\right)x^2-2=0\)

Hướng dẫn giải

a) đặc \(x^2=t\left(t\ge0\right)\)

pt \(\Leftrightarrow\) \(t^2-8t-9=0\)

\(\Delta'=\left(-4\right)^2-1\left(-9\right)\) = \(16+9=25>0\)

\(\Rightarrow\) phương trình có 2 nghiệm phân biệt

\(t_1=\dfrac{4+\sqrt{25}}{1}=9\left(tmđk\right)\)

\(t_2=\dfrac{4-\sqrt{25}}{1}=-1\left(loại\right)\)

\(t=x^2=9\) \(\Leftrightarrow\) \(x=\pm9\)

vậy \(x=\pm9\)