Ôn tập: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Mục lục

* * * * *

Bài 87 (Sách bài tập - tập 2 - trang 62)

Với giá trị nào của \(x\) thì :

a) \(\dfrac{x-2}{x-3}>0\)

b) \(\dfrac{x+2}{x-5}< 0\)

Hướng dẫn giải

a)\(\dfrac{x-2}{x+3}>0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x-2>0\\x+3>0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x-2< 0\\x+3< 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x>2\\x>-3\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x< 2\\x< -3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x>2\\x< -3\end{matrix}\right.\)

b) Vì 2>-5 =>x+2>x-5

\(\dfrac{x+2}{x-5}< 0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+2>0\\x-5< 0\end{matrix}\right.\)vì x+2>x-5 \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>-2\\x< 5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow-2< x< 5}\)

câu b bạn có thể làm rõ hơn

Bài 84 (Sách bài tập - tập 2 - trang 62)

Với giá trị nào của \(x\) thì :

a) Giá trị biểu thức \(\dfrac{2x-3}{35}+\dfrac{x\left(x-2\right)}{7}\) không lớn hơn giá trị biểu thức \(\dfrac{x^2}{7}-\dfrac{2x-3}{5}\) ?

b) Giá trị biểu thức \(\dfrac{6x+1}{18}+\dfrac{x+3}{12}\) không nhỏ hơn giá trị biểu thức \(\dfrac{5x+3}{6}+\dfrac{12-5x}{9}\) ?

Hướng dẫn giải

Bài 76 (Sách bài tập - tập 2 - trang 61)

Một người đi bộ một quãng đường dài 18km trong khoảng thời gian không nhiều hơn 4 giờ. Lúc đầu người đó đi với vận tốc 5km/h, về sau đi với vận tốc 4km/h. Xác định độ dài đoạn đường mà người đó đã đi với vận tốc 5km/h ?

Hướng dẫn giải

Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 72 (Sách bài tập - tập 2 - trang 61)

Cho \(a>b\), chứng tỏ :

a) \(3a+5>3b+2\)

b) \(2-4a< 3-4b\)

Hướng dẫn giải

a. Ta có: a > b ⇔ 3a > 3b ⇔ 3a + 5 > 3b + 5 (1)

Mặt khác: 3b + 5 > 3b + 2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 3a + 5 > 3b + 2

b. Ta có: a > b ⇔ -4a < -4b ⇔ 3 – 4a < 3 – 4b (1)

Mặt khác: 2 – 4a < 3 – 4a (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 2 – 4a < 3 – 4b

Bài 81 (Sách bài tập - tập 2 - trang 62)

Chứng tỏ diện tích hình vuông cạnh 10m không nhỏ hơn diện tích hình chữ nhật có cùng chu vi ?

Hướng dẫn giải

Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 77 (Sách bài tập - tập 2 - trang 61)

Giải các phương trình :

a) \(\left|2x\right|=3x-2\)

b) \(\left|-3,5x\right|=1,5x+5\)

c) \(\left|x+15\right|=3x-1\)

d) \(\left|2-x\right|=0,5x-4\)

Hướng dẫn giải

Bài 71 (Sách bài tập - tập 2 - trang 61)

Cho các bất đẳng thức :

\(a>b,a< b;c>0;c< 0;a+c< b+c;a+c>b+c;ac< bc;ac>bc\)

Hãy đặt các bất đẳng thức thích hợp vào chỗ trống (......) trong câu sau :

Nếu ............., và ..................thì ......................

Hướng dẫn giải

Bài 88 (Sách bài tập - tập 2 - trang 62)

Chứng tỏ các phương trình sau vô nghiệm :

a) \(\left|2x+3\right|=2x+2\)

b) \(\left|5x-3\right|=5x-5\)

Hướng dẫn giải

a) ĐK: \(2x+2\ge0\Leftrightarrow x\ge-1\)

\(\left|2x+3\right|=2x+2\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x+3=2x+2\\2x+3=-2x-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x-2x=2-3\\2x+2x=-2-3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}0x=-1\left(vonghiem\right)\\4x=-5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}vonghiem\\x=\dfrac{-5}{4}\left(khongTMĐK\right)\end{matrix}\right.\)

vậy S=\(\varnothing\)

b)ĐK:\(5x-5\ge0\Leftrightarrow x\ge1\)

\(\left|5x-3\right|=5x-5\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}5x-3=5x-5\\5x-3=5-5x\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}0x=-2\\10x=8\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}vonghiem\\x=0,8\left(KhongTMĐK\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy S=\(\varnothing\)

Bài IV.1 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 62)

Tìm \(x\) sao cho :

a) \(\dfrac{2x-1}{x+3}>1\)

b) \(\dfrac{2x-1}{x-2}< 3\)

Hướng dẫn giải

a) \(\dfrac{2x-1}{x+3}>1\left(ĐKXĐ:x+3\ne0< =>x\ne-3\right)\)

\(< =>\dfrac{2x-1}{x+3}>\dfrac{x+3}{x+3}\\ < =>2x-1>x+3\\ < =>2x-x>3+1\\ < =>x>4\)

Vậy: Tập nghiệm của bất phương trình là S=\(\left\{x|x>4\right\}\)

b) \(\dfrac{2x-1}{x-2}< 3\left(ĐKXĐ:x-2\ne0< =>x\ne2\right)\)

\(< =>\dfrac{2x-1}{x-2}< \dfrac{3x-6}{x-2}\\ < =>2x-1< 3x-6\\ < =>2x-3x< -6+2\\ < =>-x< -4\\ < =>x>4\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S= \(\left\{x|x>4\right\}\)

Bài 83 (Sách bài tập - tập 2 - trang 62)

Giải các bất phương trình :

a) \(\dfrac{5x^2-3x}{5}+\dfrac{3x+1}{4}< \dfrac{x\left(2x+1\right)}{2}-\dfrac{3}{2}\)

b) \(\dfrac{5x-20}{3}-\dfrac{2x^2+x}{2}>\dfrac{x\left(1-3x\right)}{3}-\dfrac{5x}{4}\)

Hướng dẫn giải

Bài 80 (Sách bài tập - tập 2 - trang 61)

Cho \(a>0,b>0\), chứng tỏ rằng :

\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge4\)

Hướng dẫn giải

áp dụng BĐT cô si, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b\ge2\sqrt{ab}\\\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{ab}}\end{matrix}\right.\) nhân 2 vé với nhau, ta được:

\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge4\sqrt{\dfrac{1}{ab}.ab}=4\left(đpcm\right)\)

Bài 73 (Sách bài tập - tập 2 - trang 61)

a) Chứng tỏ 2,99 là nghiệm của bất phương trình \(3>x\). Hãy kể ra ba số lớn hơn 2,99 mà cũng là nghiệm của bất phương trình đó ?

b) Chứng tỏ 4,01 là nghiệm của bất phương trình \(4< x\). Hãy kể ra ba số nhỏ hơn 4,01 mà cũng là nghiệm của bất phương trình đó ?

Hướng dẫn giải

Bài 78 (Sách bài tập - tập 2 - trang 61)

Chứng tỏ rằng, trong một tam giác thì độ dài một cạnh luôn nhỏ hơn nửa chu vi ?

Hướng dẫn giải

Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 79 (Sách bài tập - tập 2 - trang 61)

Với số m và số n bất kì, chứng tỏ rằng :

a) \(\left(m+1\right)^2\ge4m\)

b) \(m^2+n^2+2\ge2\left(m+n\right)\)

Hướng dẫn giải

a. Ta có:

\(\left(m+1\right)^2\)\(=m^2+2m+1\)

\(\left(m+1\right)^2\ge4m\Leftrightarrow m^2+2m+1\ge4m\)

\(\Leftrightarrow m^2+2m+1-4m\ge0\)

\(\Leftrightarrow m^2-2m+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2\ge0\) (đúng \(\forall\) m)

Vậy \(\left(m+1\right)^2\ge4m\)

b. \(m^2+n^2+2\ge2\left(m+n\right)\)

\(\Leftrightarrow m^2+1+n^2+1\ge2m+2n\)

Ta có:

\(\left(m^2+1\right)^2\ge4m^2\) \(\Rightarrow m^2+1\ge2m\)

\(\left(n^2+1\right)^2\ge4n^2\Rightarrow n^2+1\ge2n\)

Bài 74 (Sách bài tập - tập 2 - trang 61)

Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm của chúng trên trục số :

a) \(2\left(3x-1\right)-2x< 2x+1\)

b) \(4x-8\ge3\left(3x-2\right)+4-2x\)

Hướng dẫn giải

\(\Rightarrow6x-2-2x< 2x+1\)

\(\Rightarrow6x-2x-2x< 1+2\)

\(\Rightarrow2x< 3\)

\(\Rightarrow x< \dfrac{3}{2}\)

b)\(\Rightarrow4x-8\ge9x-6+4-2x\)

\(\Rightarrow4x-9x+2x\ge-6+4+8\)

\(\Rightarrow-3x\ge6\)

\(\Rightarrow x\le-2\)

Bài 82 (Sách bài tập - tập 2 - trang 62)

Giải các bất phương trình :

a) \(3\left(x-2\right)\left(x+2\right)< 3x^2+x\)

b) \(\left(x+4\right)\left(5x-1\right)>5x^2+16x+2\)

Hướng dẫn giải

Bài 86 (Sách bài tập - tập 2 - trang 62)

Tìm \(x\) sao cho :

a) \(x^2>0\)

b) \(\left(x-2\right)\left(x-5\right)>0\)

Hướng dẫn giải

\(\forall\) giá trị của x đều thỏa mãn

B)\(\left(x-2\right)\left(x-5\right)>0\)

\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x-2>0\\x-5>0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x-2< 0\\x-5< 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.=>\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x>2\\x>5\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x< 2\\x< 5\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.=>5< x< 2}}\)

=> PT vô nghiệm