Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

Lý thuyết

Bài 19 (Sách bài tập - tập 2 - trang 52)

Cho a là số bất kì, hãy đặt dấu "\(< ,>,\le,\ge\)" vào chỗ trống cho đúng :

a) \(a^2..........0\)

b) \(-a^2...........0\)

c) \(a^2+1.........0\)

d) \(-a^2-2..............0\)

Hướng dẫn giải

Bài 18 (Sách bài tập - tập 2 - trang 52)

Cho \(a>5\), hãy cho biết bất đẳng thức nào xảy ra :

a) \(a+5>10\)

b) \(a+4>8\)

c) \(-5>-a\)

d) \(3a>13\)

Hướng dẫn giải

a) a>5 <=> a+5>10 vậy B đẳng thức xảy ra

b)a>5 <=> a+4>9 Vậy BDT k xảy ra

c) a>5 <=> -a<-5 Vậy BDT xảy ra

d) a>5 <=> 3a>15 Vậy BDT k xảy ra

Bài 15 (Sách bài tập - tập 2 - trang 52)

Cho \(m< n\), chứng tỏ :

a) \(2m+1< 2n+1\)

b) \(4\left(m-2\right)< 4\left(n-2\right)\)

c) \(3-6m>3-6n\)

Hướng dẫn giải

Bài 20 (Sách bài tập - tập 2 - trang 52)

Cho \(a>b\) và \(m< n\), hãy đặt dấu " <, >" vào chỗ trống cho thích hợp :

a) \(a\left(m-n\right)...........b\left(m-n\right)\)

b) \(m\left(a-b\right).............n\left(a-b\right)\)

Hướng dẫn giải

Bài 2.1 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 53)

Cho ba số a, b và k mà a > b. Nếu ak < bk thì số k là :

(A) Số dương                                 (B) Số 0

(C) Số âm                                       (D) Số bất kì

Hãy chọn phương án đúng ?

Hướng dẫn giải

Bài 23 (Sách bài tập - tập 2 - trang 53)

Cho \(a>0,b>0\), chứng tỏ \(\dfrac{1}{a}< \dfrac{1}{b}\)

Hướng dẫn giải

Số \(ab>0\), nên \(\dfrac{1}{ab}>0\). Từ \(a>b\), nhân cả hai vế của bất đẳng thức với số \(\dfrac{1}{ab}\), có bất đẳng thức \(\dfrac{1}{a}< \dfrac{1}{b}\)

Bài 27 (Sách bài tập - tập 2 - trang 53)

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn \(a< b,c< d\)

Chứng tỏ \(ac< bd\) ?

Hướng dẫn giải

Bài 13 (Sách bài tập - tập 2 - trang 52)

Cho \(a< b\), hãy đặt dấu " <, >" vào chỗ trống cho thích hợp "

a) \(\dfrac{a}{2}.........\dfrac{b}{2}\)

b) \(\dfrac{a}{-3}......\dfrac{b}{-3}\)

Hướng dẫn giải

Bài 10 (Sách bài tập - tập 2 - trang 51)

Đặt "\(< ,>,\le,\ge\)"  vào chỗ trống cho thích hợp :

a) \(\left(-2\right).3.........\left(-2\right).5\)

b) \(4.\left(-2\right).......\left(-7\right).\left(-2\right)\)

c) \(\left(-6\right)^2+2........36+2\)

d) \(5.\left(-8\right)..........135.\left(-8\right)\)

Hướng dẫn giải

a) $\left(-2\right).3....>\; hoặc\; \backslash (\backslash ge\backslash ).....\left(-2\right).5$

b) $4.\left(-2\right)...<\; hoặc\; \backslash (\backslash le\backslash )....\left(-7\right).\left(-2\right)$

c) ${\left(-6\right)}^2+\mathrm{2....\backslash (\backslash le\backslash )\; hoặc\; \backslash (\backslash ge\backslash )....36}+2$

d) $5.\left(-8\right).....>\; hoặc\; \backslash (\backslash ge\backslash ).....135.\left(-8\right)$

Bài 25 (Sách bài tập - tập 2 - trang 53)

So sánh \(m^2\) và \(m\) nếu :

a) \(m>1\)

b) \(m\) dương nhưng nhỏ hơn 1

Hướng dẫn giải

a. Nếu \(m>1\) thì \(m^2>m\) (nhân cả hai vế với số dương m)

Vậy nếu \(m>1\) thì \(m^2>m\)

b. Nếu m dương nhưng m<1 thì m²<m

Bài 28 (Sách bài tập - tập 2 - trang 53)

Chứng tỏ rằng với a và b là các số bất kì thì :

a) \(a^2+b^2-2ab\ge0\)

b) \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge ab\)

Hướng dẫn giải

Bài 2.3 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 54)

Cho a là số bất kì, hãy đặt "\(< ,>,\le,\ge\)" vào chỗ trống cho đúng :

a) \(\left|a\right|..........0\)

b) \(-\left|a\right|........0\)

c) \(\left|a\right|+3..........0\)

d) \(-\left|a\right|-2..........0\)

Hướng dẫn giải

Bài 11 (Sách bài tập - tập 2 - trang 52)

Cho \(m< n\), hãy so sánh "

a) \(5m\) và \(5n\)

b) \(-3m\) và \(-3n\)

Hướng dẫn giải

Bài 17 (Sách bài tập - tập 2 - trang 52)

Cho \(a>0,b>0\), nếu \(a< b\) hãy chứng tỏ :

a) \(a^2< ab\) và \(ab< b^2\)

b) \(a^2< b^2\) và \(a^3< b^3\)

Hướng dẫn giải

a. Do \(a>0,\) \(b>0\) \(\Rightarrow a,b\) là số dương

Ta có:

* \(a< b\Leftrightarrow a^2< ab\) (nhân cả hai vế với a)

* \(a< b\Leftrightarrow ab< b^2\) (nhân cả hai vế với b)

b. Từ câu a theo tính chất bắc cầu suy ra:\(a^2< b^2\)

Ta có: \(a^2< b^2\Leftrightarrow a^3< ab^2\) (nhân cả hai vế với a)

mà ab²<b³ (a<b)

\(\Rightarrow a^3< b^3\)

Bài 12 (Sách bài tập - tập 2 - trang 52)

Số \(b\) là số âm, số 0, hay số dương nếu :

a) \(5b>3b\)

b) \(-12b>8b\)

c) \(-6b\ge9b\)

d) \(3b\le15b\)

Hướng dẫn giải

Bài 29 (Sách bài tập - tập 2 - trang 53)

Cho a và b là các số dương, chứng tỏ :

                               \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\)

Hướng dẫn giải

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}-2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+b^2-2ab}{ab}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\left(ab>0\right)\)

Bài 16 (Sách bài tập - tập 2 - trang 52)

Cho \(m< n\), chứng tỏ :

a) \(4m+1< 4n+5\)

b) \(3-5m>1-5n\)

Hướng dẫn giải

a, Ta có: \(m< n\Leftrightarrow4m< 4n\) (nhân cả hai vế với 4)

\(\Leftrightarrow4m+1< 4n+1\) (cộng cả hai vế với 1)

mà 1<5 \(\Leftrightarrow4n+1< 4n+5\)

\(\Rightarrow4m+1< 4n+5\)

b. Ta có: \(m< n\Leftrightarrow-5m>-5n\) (nhân cả hai vế với -5)

\(\Leftrightarrow3-5m>3-5n\) (cộng cả hai vế với 3)

mà 1<3 \(\Leftrightarrow1-5n< 3-5n\)

\(\Rightarrow3-5m>1-5n\)

Bài 26 (Sách bài tập - tập 2 - trang 53)

Cho \(a< b\) và \(c< d\), chứng tỏ \(a+c< b+d\)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(a< b\Leftrightarrow a+c< b+c\) ⁽¹⁾

Lại có: \(c< d\Leftrightarrow b+c< b+d\) ⁽²⁾

Từ (1),(2) suy ra:

\(a+c< b+d\)

Bài 24 (Sách bài tập - tập 2 - trang 53)

Điền dấu " <, >" vào chỗ trống cho đúng :

a) \(\left(0,6\right)^2........\left(0,6\right)\)

b) \(\left(1,3\right)^2.........1,3\)

Hướng dẫn giải

a) (0,6)² < 0,6

Do (0,6)²=0,36 < 0,6

b) (1,3)² > 1,3

Do (1,3)²=1,69 > 1,3

Bài 14 (Sách bài tập - tập 2 - trang 52)

Cho \(m>n\), chứng tỏ :

a) \(m+3>n+1\)

b) \(3m+2>3n\)

Hướng dẫn giải

Bài 21 (Sách bài tập - tập 2 - trang 52)

Cho \(2a>8\), chứng tỏ \(a>4\)

Điều ngược lại là gì ? Điều đó có đúng không ?

Hướng dẫn giải

Ta có: \(2a>8\Leftrightarrow a>4\) (nhân cả hai vế với \(\dfrac{1}{2}\))

Ngược lại:

Ta có: \(a>4\Leftrightarrow2a>8\) (nhân cả hai vế với 2)

\(\xrightarrow[]{}\) điều này đúng.

Bài 2.5 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 54)

a) Cho \(x>0\), chứng tỏ :

                       \(x+\dfrac{1}{2}\ge2\)

b) Từ kết quả câu a), nếu \(x< 0\) sẽ có kết quả nào ?

Hướng dẫn giải

Bài 2.4 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 54)

Đặt dấu " <, > " vào chỗ trống cho đúng :

a) \(-3.........-2\)                            \(\left(-3\right)^2...........\left(-2\right)^2\)

b) \(-2...........1\)                              \(\left(-2\right)^2.........1^2\)

c) \(2...........3\)                                  \(2^2.......3^2\)

d) \(-2..........2,5\)                            \(\left(-2\right)^2.......\left(2,5\right)^2\)

Hướng dẫn giải

Bài 30 (Sách bài tập - tập 2 - trang 53)

a) Với số a bất kì, chứng tỏ : 

                                \(a\left(a+2\right)< \left(a+1\right)^2\)

b) Chứng minh rằng : Trong ba số nguyên liên tiếp thì bình phương số đứng giữa lớn hơn tích hai số còn lại ?

Hướng dẫn giải

a/ ta có

a(a+2)=a²+2a

(a+1)²=a² +2a +1

Mà a²+2a<a²+2a+1

Do đó :

a(a+1)< (a+1)²

b/

Ta có : 1,2,3 là ba số liên tiếp do đó ta sẽ có là : 2²=4 1×3=3

Do đó trong ba số nguyên liên tiếp thì bình phương của số đứng giữa sẽ lớn hơn tích của các số còn lại

# nhớ tick cho mk nha# ☺☺☺

Bài 22 (Sách bài tập - tập 2 - trang 52)

a) Cho bất đẳng thức \(m>0\)

    Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với số nào thì được bất đẳng thức \(\dfrac{1}{m}>0\)  ?

b) Cho bất đẳng thức \(m< 0\)

    Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với số nào thì được bất đẳng thức \(\dfrac{1}{m}< 0\) ?

Hướng dẫn giải

Bài 2.2 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 53)

Cho hai số a và b mà \(-7a< -7b\)

Hãy chọn phương án đúng :

(A) \(a-7< b-7\)                (B) \(a>b\)

(C) \(a< b\)                               (D) \(a\le b\)

Hướng dẫn giải

chọn b