Ôn tập Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác, các đường đồng quy của tam giác

Mục lục

* * * * *

Bài III.3 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 54)

Ba đường phân giác AD, BE, CF của tam giác ABC đồng quy tại O. Kẻ đường vuông góc OG đến BC. Chứng minh rằng $\widehat{BOG}=\widehat{COD}$ ?

Hướng dẫn giải

Bài III.1 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 54)

Chứng minh rằng trong một tam giác, đường cao không lớn hơn đường trung tuyến xuất phát từ cùng một đỉnh ?

Hướng dẫn giải

Bài III.6 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 55)

Cho tam giác ABC có $\widehat{A}=130^0$. Gọi C', B' là các điểm sao cho AB là đường trung trực của CC' và AC là đường trung trực của BB'. Hai đường thẳng CB' và BC' cắt nhau tại A'. Hãy tìm bên trong tam giác A'BC điểm cách đều ba cạnh của tam giác đó

Hướng dẫn giải

Bài 88 (Sách bài tập - tập 2 - trang 53)

Cho góc xOy khác góc bẹt. Dùng một chiếc thước thẳng có chia khoảng, hãy nêu cách vẽ tia phân giác của góc xOy ?

Hướng dẫn giải

1.Vẽ đường thẳng a song song với Ox

2.Vẽ đường thẳng b song song với Oy

3.Gọi giao điểm của a và b là M

4. Nối O với M. Đó chính là đường phân giác của góc xOy

Bài 86 (Sách bài tập - tập 2 - trang 53)

Cho hình 19

Trong đó G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng :

a) $S_{AGC}=2S_{GMC}$

b) $S_{GMB}=S_{GMC}$

c) $S_{AGC}=S_{AGC}=S_{BGC}$

Hướng dẫn giải

Bài III.8 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 55)

Cho tam giác ABC :

a) Qua trung điểm D của cạnh BC, kẻ đường thẳng song song với AB, nó cắt cạnh AC tại E. Qua E, kẻ đường thẳng song song với BC, nó cắt AB tại F. Chứng minh $\Delta CDE=\Delta EFA$. Từ đó suy ra E là trung điểm của cạnh AC ?

b) Chứng minh rằng đường thẳng đi qua các trung điểm hai cạnh của một tam giác thì song song với cạnh thứ ba của tam giác đó ?

c) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trực tâm của tam giác có ba đỉnh là trung điểm ba cạnh của tam giác ABC ?

Hướng dẫn giải

Bài 83 (Sách bài tập - tập 2 - trang 52)

Cho tam giác ABC có AB < AC, đường cao AH.

Chứng minh rằng :

$HB< HC,\widehat{HAB}< \widehat{HAC}$

(Xét hai trường hợp : $\widehat{B}$ nhọn và $\widehat{B}$ tù )

Hướng dẫn giải

Bài III.7 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 55)

Dựng các hình vuông ABDE và ACFG bên ngoài tam giác nhọn ABC cho trước.

a) Gọi H là điểm thuộc đường thẳng BC sao cho $AH\perp BC$. Gọi I, J là các điểm thuộc đường thẳng AH sao cho $EI\perp AH$ và $GJ\perp AH$. Chứng minh :

$\Delta ABH=\Delta EAI,\Delta ACH=\Delta GAJ$

Từ đó suy ra đường thẳng AH cắt EG tại trung điểm K của EG (tức là AK là trung tuyến của tam giác AEG)

b) Gọi L là điểm thuộc đường thẳng AK sao cho K là trung điểm của AL. Chứng minh AL = BC

c) Chứng minh $\Delta ABL=\Delta BDC$. Từ đó suy ra CD là một đường cao của tam giác BCL

d) Chứng minh rằng các đường thẳng AH, BF, CD đồng quy ?

Hướng dẫn giải

Bài này vẽ hình hơi dài dòng mà em ko bt vẽ hình ở H24 HOC24

Thôi thì lời giải của em ở trang 98->99

Hình bs.36

Bài III.5 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 54)

Cho tam giác ABC cân tại C. Kẻ các đường cao $AA_1$ và $BB_1$ của tam giác đó. Hai đường cao này cắt nhau tại M. Chứng minh rằng đường thẳng MC là đường trung trực của đoạn thẳng AB ?

Hướng dẫn giải

Bài III.4 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 54)

Cho tam giác ABC cân tại B có $\widehat{B}=112^0$. Kẻ đường cao AH và đường phân giác AD của tam giác đó. Tính các góc của tam giác AHD ?

Hướng dẫn giải

Bài 90 (Sách bài tập - tập 2 - trang 54)

Đường trung trực d của đoạn thẳng AB chia mặt phẳng thành hai phần (không kể đường thẳng d) : phần chứa điểm A kí hiệu là $P_A$, phần chứa điểm B kí hiệu là $P_B$ (h.21)

a) Gọi M là một điểm $P_A$. Chứng minh rằng MA < MB

b) Gọi N là một điểm $P_B$. Chứng minh rằng NB < NA

c) Gọi K là một điểm sao cho KA < KB. Hỏi rằng K nằm ở đâu : trong $P_A,P_B$ hay trên d ?

Hướng dẫn giải

Bài 87 (Sách bài tập - tập 2 - trang 53)

Cho góc xOy khác góc bẹt, điểm A thuộc cạnh Ox, điểm B thuộc cạnh Oy

a) Hãy tìm điểm M nằm trong góc xOy, cách đều Ox, Oy và cách đều A, B

b) Nếu OA = OB thì có bao nhiêu điểm M thỏa mãn các điều kiện trong câu a) ?

Hướng dẫn giải

a) - Điểm nằm trong góc xOy và cách đều hai cạnh Ox và Oy nên nó thuộc tia phân giác Ot của $\hat{x O y}$

- Điểm cách đều 2 điểm A và B thuộc đường thẳng d là đường trung trực của AB

Vậy M là giao điểm của dường trung trực của đoạn thẳng AB và tia phân giác Ot của $\hat{x O y}$

b) Nếu OA = OB

$\Rightarrow$ ∆OAB cân tại O

Tia phân giác của $\hat{x O y}$ cũng là đường trung trực của AB. Vậy bất kỳ điểm M nào nằm trên tia phân giác của $\hat{x O y}$ đều thỏa mãn điều kiện câu a.

Bài 91 (Sách bài tập - tập 2 - trang 54)

Cho tam giác ABC, các đường phân giác của các góc ngoài tại B và C cắt nhau ở E. Gọi G, H, K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ E đến các đường thẳng BC, Ab, AC

a) Có nhận xét gì về các độ dài EH, EG, EK

b) Chứng minh AE là tia phân giác của góc BAC

c) Đường phân giác của góc ngoài tại A của tam giác ABC cắt các đường thẳng BE, CE tại D, F. Chứng minh rằng EA vuông góc với DF

d) Các đường thẳng AE, BF, CD là các đường gì trong tam giác ABC ?

e) Các đường thẳng EA, FB, DC là các đường gì trong tam giác DEF ?

Hướng dẫn giải

a) E thuộc tia phân giác của $\hat{C B H}$

$\Rightarrow$ EG = EH (tính chất tia phân giác) (1)

E thuộc tia phân giác của $\hat{B C K}$

$\Rightarrow$ EG = EK (tính chất tia phân giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: EH = EG = EK

b) EH = EK

$\Rightarrow$ E thuộc tia phân giác của $\hat{B A C}$ mà E # A

Vậy AE là tia phân giác của $\hat{B A C}$

c) AE là tia phân giác góc trong tại đỉnh A.

AF là tia phân giác góc ngoài tại đỉnh A.

$\Rightarrow$ $A E ⊥ A F$ (tính chất hai góc kề bù)

Hay $A E ⊥ D F$

d) Chứng minh tương tự câu a ta có BF là tia phân giác của $\hat{A B C}$

CD là tia phân giác của $\hat{A C B}$

Vậy các đường AE, BF, CD là các đường phân giác của ∆ABC

e) BF là phân giác góc trong tại đỉnh B.

BE là phân giác góc ngoài tại đỉnh B.

$\Rightarrow B F ⊥ B E$ (tính chất hai góc kề bù)

Hay $B F ⊥ E D$

CD là đường phân giác góc trong tại C

CE là đường phân giác góc ngoài tại C

$\Rightarrow C D ⊥ C E$ (tính chất hai góc kề bù)

Hay $C D ⊥ E F$

Bài 82 (Sách bài tập - tập 2 - trang 52)

Cho tam giác ABC có AB < AC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho BM = BA. Trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho CN = CA

a) Hãy so sánh các góc AMB và ANC

b) Hãy so sánh các độ dài AM và AN

Hướng dẫn giải

Trong ∆ABC có AB < AC

$\Rightarrow$ $\hat{M} > \hat{N}$ $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ $\hat{M} > \hat{N}$ $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ (đối diện cạnh lớn hơn là góc lớn hơn) (1)

Ta có: AB = BM (gt)

$\Rightarrow$ $\hat{M} > \hat{N}$ ∆ABM cân tại B

$\Rightarrow$ $\hat{M} > \hat{N}$ $\hat{M} = \hat{A_{1}}$ $\hat{M} > \hat{N}$ $\hat{M} = \hat{A_{1}}$ (tính chất tam giác cân)

Trong ∆ABM ta có có góc ngoài tại đỉnh B

$\hat{M} > \hat{N}$ $\hat{A B C} = \hat{M} + \hat{A_{1}}$ $\hat{M} > \hat{N}$ $\hat{A B C} = \hat{M} + \hat{A_{1}}$ $\hat{M} > \hat{N}$ $\hat{A B C} = \hat{M} + \hat{A_{1}}$

Suy ra: $\hat{M} > \hat{N}$ $\hat{M} = \frac{1}{2} \hat{A B C}$ $\hat{M} > \hat{N}$ $\hat{M} = \frac{1}{2} \hat{A B C}$ (2)

Ta có: AC = CN (gt)

$\Rightarrow$ ∆CAN cân tại C $\Rightarrow$ $\hat{M} > \hat{N}$ $\hat{N} = \hat{A_{2}}$ $\hat{M} > \hat{N}$ $\hat{N} = \hat{A_{2}}$ (tính chất tam giác cân)

Trong ∆CAN ta có $\hat{M} > \hat{N}$ $\hat{A C B}$ là góc ngoài tại đỉnh C.

$\Rightarrow \hat{A C B} = \hat{N} + \hat{A_{2}}$ $\hat{M} > \hat{N}$ $\Rightarrow \hat{A C B} = \hat{N} + \hat{A_{2}}$ $\hat{M} > \hat{N}$ $\Rightarrow \hat{A C B} = \hat{N} + \hat{A_{2}}$

Suy ra: $\hat{M} > \hat{N}$ $\hat{N} = \frac{1}{2} \hat{A C B}$ $\hat{M} > \hat{N}$ $\hat{N} = \frac{1}{2} \hat{A C B}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: $\hat{M} > \hat{N}$ $\hat{M} > \hat{N}$ $\hat{M} > \hat{N}$ $\hat{M} > \hat{N}$

b) Trong ∆AMN ta có: $\hat{M} > \hat{N}$ $\hat{M} > \hat{N}$ $\hat{M} > \hat{N}$

Bài III.2 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 54)

Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AD, BE vuông góc với nhau. Chứng minh rằng BC < 2AC ?

Hướng dẫn giải

BC < 2AC nếu $\frac{1}{2} B C = C D < A C$

Xét hai tam giác ADC có $\hat{D_{1}} = \hat{G_{1}} + \hat{B_{1}}$ . Theo giả thiết $\hat{G_{1}} = 90^{\circ}$ nên $\hat{D_{1}}$ là góc tù.

Cạnh AC đối diện với góc $D_{1}$ nên là cạnh lớn nhất, vậy AC > DC hay 2AC > 2DC = BC.

Bài 89 (Sách bài tập - tập 2 - trang 53)

Cho hình 20 :

Trong đó giao điểm O của hai đường thẳng a và b nằm ngoài phạm vi tờ giấy. Chỉ vẽ hình trong phạm vi tờ giấy, hãy vẽ đường thẳng d đi qua A sao cho đường thẳng d cũng đi qua O nếu kéo dài đường thẳng d ra ngoài phạm vi tờ giấy.

Hướng dẫn giải

- Kẻ $A H ⊥ a$ kéo dài, HA cắt b tại B.

- Kẻ $A K ⊥ b$ kéo dài KA cắt a tại C.

- Kẻ $A I ⊥ B C$ , đường thẳng AI đi qua O.

Vì trong ∆OBC có 2 đường cao BH và CK cắt nhau tại A nên A là trực tâm của ∆OBC.

OA là đường cao thứ 3 nên $O A ⊥ B C$

$A I ⊥ B C$ nên đường thẳng OA và đường thẳng AI trùng nhau hay đường thẳng AI đi qua O.

Bài 85 (Sách bài tập - tập 2 - trang 53)

Cho bốn điểm A, B, C, D như trên hình 18. Hãy tìm một điểm M sao cho tổng MA + MB + MC + MD là nhỏ nhất ?

Hướng dẫn giải

Bài 84 (Sách bài tập - tập 2 - trang 52)

Có thể vẽ được mấy tam giác (phân biệt) với ba cạnh là ba trong năm đoạn thẳng có độ dài 1cm, 2cm, 3cm, 5cm ?

Hướng dẫn giải

bài này khó nhề :)

Có thể bạn quan tâm