Bài 4: Ôn tập chương Khối đa diện
Lý thuyết
Mục lục
* * * * *
Bài 1.30 - Đề toán tổng hợp (Sách bài tập trang 22)
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là hình tam giác vuông cân ở C. Cạnh B'B' = a và tạo với đáy một góc bằng \(60^0\). Hình chiếu vuông góc hạ từ B' lên đáy trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối lăng trụ đó theo a ?
Hướng dẫn giải
Đề kiểm tra - Đề 1 - Câu 1 (Sách bài tập trang 23)
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh hai tứ diện ABCB' và AA'D'B' bằng nhau ?
Hướng dẫn giải
Bài 1.21 (Sách bài tập trang 21)
Thế nào là hai đa diện bằng nhau ? Tìm một ví dụ về hai đa diện bằng nhau ?
Hướng dẫn giải
Bài 1.26 (Sách bài tập trang 21)
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Tính \(\dfrac{V_{ACB'D'}}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}\) ?
Hướng dẫn giải
Đề kiểm tra - Đề 2 - Câu 1 (Sách bài tập trang 23)
Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Gọi A', B', C', D' lần lượt là trọng tâm của tam giác BCD, ADC, DAB, ABC
a) Chứng minh A'B'C'D' cũng là khối tứ diện đều
b) Tính \(V_{A'B'C'D'}\) theo a
Hướng dẫn giải
nên \(V_{A'B'C'D'}=\dfrac{1}{27}V_{ABCD}=\dfrac{\sqrt{2}}{324}a^2\)
Bài 1.36 - Đề toán tổng hợp (Sách bài tập trang 23)
Cho hình lập phương ABCD.A"B'C'D' cạnh a. M là trung điểm của BB'. Tính theo a :
a) Khoảng cách giữa AC và DC'
b) Độ dài đoạn vuông góc chung giữa CM và AB'
Hướng dẫn giải
a) Gọi \(d\left(AC,DC'\right)=h\)
Bài 1.24 (Sách bài tập trang 21)
Viết công thức tính thể tích hình lăng trụ, hình chóp ?
Hướng dẫn giải
Bài 1.20 (Sách bài tập trang 21)
Tìm một ví dụ một hình tạo bởi các hình đa giác nhưng không phải là hình đa diện ?
Hướng dẫn giải
Bài 1.32 - Đề toán tổng hợp (Sách bài tập trang 22)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật (SAC) và đáy bằng \(60^0\), AB = 2a, BC = a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC theo a ?
Hướng dẫn giải
Bài 1.29 - Đề toán tổng hợp (Sách bài tập trang 22)
Chứng minh rằng mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh ?
Hướng dẫn giải
Đề kiểm tra - Đề 2 - Câu 2 (Sách bài tập trang 23)
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác ABC vuông cân ở B, mặt phẳng (A'BC) vuông góc với mặt phẳng đáy, AB = 3a, AA' = 5a, \(\widehat{A'BC}=60^0\)
a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'
b) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABB'A')
Hướng dẫn giải
Bài 1.23 (Sách bài tập trang 21)
Thế nào là một hình đa diện đều ? Kê tên các loại hình đa diện đều ?
Hướng dẫn giải
Bài 1.25 (Sách bài tập trang 21)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông ở B, AB = BC=AA'.
Hãy chia lăng trụ đó thành ba tứ diện bằng nhau ?
Hướng dẫn giải
Chia lăng trụ đã cho thành 3 tứ diện : ABCC'; ABB'C' và AA'B'C'. Phép đối xứng qua mặt phẳng (ABC') biến tứ diện ABCC' thành tứ diện ABB'C'. Phép đối xứng qua mặt phẳng (AB'C') biến tứ diện ABB'C' thành tứ diện AA'B'C'
Suy ra ba tứ diện đó bằng nhau.
Bài 1.27 (Sách bài tập trang 22)
Cho khối chóp S.ABC có thể tích bằng V. Gọi B' và C' lần lượt là trung điểm của SB và SC. A' nằm trên SA' sao cho \(\overrightarrow{SA}=3\overrightarrow{SA'}\). Tính thể tích khối chóp S.A'B'C' theo V ?
Hướng dẫn giải
Bài 1.37 - Đề toán tổng hợp (Sách bài tập trang 23)
Cho tứ diện ABCD. Gọi \(h_A,h_B,h_C,h_D\) lần lượt là các đường cao của tứ diện xuất phát từ A, B, C, D và r là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện. Chứng minh rằng :
\(\dfrac{1}{h_A}+\dfrac{1}{h_B}+\dfrac{1}{h_C}+\dfrac{1}{h_D}=\dfrac{1}{r}\)
Hướng dẫn giải
Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện, V là thể tích tứ diện. Ta có :
\(V=V_{IBCD}+V_{ICDA}+V_{IDAB}+V_{IABC}\)
Bài 1.34 - Đề toán tổng hợp (Sách bài tập trang 22)
Cho hai đường thẳng AB và CD chéo nhau, AC là đường vuông góc chung của chúng. Biết AC = h, AB = a, CD = b và góc giứa hai đường thẳng AB và CD bằng \(60^0\). Hãy tính thể tích của khối tứ diện ABCD ?
Hướng dẫn giải
Dựng BE song song và bằng DC, DF song song và bằng BA. Khi đó ABE.FDC là một lăng trụ đứng
Ta có :
\(S_{ABE}=\dfrac{1}{2}ab.\sin60^0=ab\dfrac{\sqrt{3}}{4}\)
\(V_{C.ABE}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}ab.h=\dfrac{\sqrt{3}}{12}abh\)
Từ đó suy ra :
\(V_{A.BCD}=V_{A.BCE}=\dfrac{\sqrt{3}}{12}abh\)
Bài 1.28 - Đề toán tổng hợp (Sách bài tập trang 22)
Hình được tạo thành từ hình lập phương ABCD.A'B'C'D' khi ta bỏ đi các điểm trong của mặt (ABCD) có phải là một hình đa diện không ?
Hướng dẫn giải
Không phải là hình đa diện vì trong hình đó có cạnh (chẳng hạn AB) không phải là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Bài 1.31 - Đề toán tổng hợp (Sách bài tập trang 22)
Tính thể tích khối lăng trụ có chiều cao bằng h, đáy là ngũ giác đều nội tiếp trong một đường tròn bán kính r ?
Hướng dẫn giải
Chia đáy của lăng trụ đã cho thành năm tam giác cân có chung đỉnh O là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy. Khi đó diện tích đáy bằng \(\dfrac{5}{2}r^2\sin72^0\). Do đó thể tích lăng trụ đó bằng \(\dfrac{5}{2}hr^2\sin72^0\)
Bài 1.35 - Đề toán tổng hợp (Sách bài tập trang 22)
Cho tứ diện đều ABCD. Gọi (H) là hình bát diện đều có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tứ diện đều đó. Tính tỉ số : \(\dfrac{V_{\left(H\right)}}{V_{ABCD}}\) ?
Hướng dẫn giải
Gọi cạnh của tứ diện đều ABCD là a thì cạnh của hình bát diện đều (H) là \(\dfrac{a}{2}\). Khi đó :
\(V_{ABCD}=a^3\dfrac{\sqrt{2}}{12};V_{\left(H\right)}=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{a}{2}\right)^3\sqrt{2}=a^3\dfrac{\sqrt{2}}{24}\)
Từ đó suy ra :
\(\dfrac{V_{\left(H\right)}}{V_{ }ABCD}=\dfrac{1}{2}\)
Bài 1.22 (Sách bài tập trang 21)
Thế nào là một hình đa diện lồi ? Tìm một ví dụ về một hình đa diện không lồi ?
Hướng dẫn giải
Đề kiểm tra - Đề 1 - Câu 2 (Sách bài tập trang 23)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng đáy là điểm H sao cho :
\(\overrightarrow{AH}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC};SH=\dfrac{4}{3}a\)
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b) Gọi AI là đường cao của tam giác ASC. Chứng minh rằng I là trung điểm của SC và tính thể tích khối tứ diện ABSI ?
Hướng dẫn giải
\(V_{ABSI}=V_{S.ABI}=\dfrac{1}{2}V_{S.ABCD}=\dfrac{a^3}{9}\)
Bài 1.19 (Sách bài tập trang 21)
Tìm trong thực tế một ví dụ về một hình đa diện ?
Hướng dẫn giải
Đề kiểm tra - Đề 3 - Câu 2 (Sách bài tập trang 24)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD, SA vuông góc với đáy, SA = SB = a, \(AD=a\sqrt{2}\). Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của AC và BE
a) Tính thể tích tứ diện FBIC
b) Tính thể tích tứ diện SBIF
c) Tính thể tích hình chóp B.SAIF
Hướng dẫn giải
a) Vì I là trọng tâm của tam giác ABD nên \(AI=\dfrac{1}{3}AC\)
Đề kiểm tra - Đề 3 - Câu 1 (Sách bài tập trang 24)
Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D' có thể tích bằng V, I là giao điểm các đường chéo của nó. Mặt phẳng (P) đi qua I và cắt các cạnh bên của khối hộp chia khối hộp đó thành hai khối đa diện. Tính thể tích của mỗi khối đa diện đó theo V ?
Hướng dẫn giải
Giả sử (P) cắt AA', BB'
Bài 1.33 - Đề toán tổng hợp (Sách bài tập trang 22)
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Gọi M, N và E theo thứ tự là trung điểm BC, CC' và C'A'. Đường thẳng EN cắt đường thẳng AC tại F, đường thẳng MN cắt đường thẳng B'C' tại L. Đường thẳng FM kéo dài cắt AB tại I, đường thẳng LE kéo dài cắt A'B' tại J
a) Chứng minh rằng các hình đa diện IBM.JB'L và A'EJ.AFI là những hình chóp cụt
b) Tính thể tích khối chóp F.AIJA'
c) Chứng minh rằng mặt phẳng (MNE) chia khối lăng trụ đã cho thành hai khối đa diện có thể tích bằng nhau
Hướng dẫn giải
Bài 1.18 (Sách bài tập trang 21)
Nêu hai tính chất đặc trưng của hình đa diện ?
Hướng dẫn giải
Có thể bạn quan tâm
Có thể bạn quan tâm
