Bài 9: Ôn tập chương Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

Mục lục

* * * * *

Đề kiểm tra số 2 - Câu 2 (Sách bài tập - trang 42)

Trong mặt phẳng Oxy cho ba đường tròn :

$\left(C_1\right):\left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2=4$

$\left(C_2\right):\left(x+3\right)^2+\left(y-4\right)^2=4$

$\left(C_3\right):\left(x+1\right)^2+\left(y-5\right)^2=5$

Trong hai đường tròn $\left(C_2\right)$ và $\left(C_3\right)$, đường tròn là ảnh của $\left(C_1\right)$ qua phép tịnh tiến. Xác định phép tịnh tiến này ?

Hướng dẫn giải

Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

Bài 1.37 (Sách bài tập - trang 39)

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình $x+y-2=0$. Hãy viết phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép quay tâm O góc $45^0$ ?

Hướng dẫn giải

Dễ thấy d chứa điểm $H\left(1;1\right)$ và $OH\perp d$. Gọi H' là ảnh của H qua phép quay tâm O góc $45^0$ thì $H=\left(0;\sqrt{2}\right)$

Từ đó suy ra d' phải qua H' và vuông góc với O'. Vậy phương trình của d' là $y=\sqrt{2}$

Bài 1.38 (Sách bài tập - trang 40)

Qua tâm G của tam giác ABC, kẻ đường thẳng a cắt BC tại M và cắt AB tại N, kẻ đường thẳng b cắt AC tại P và AB tại Q, đồng thời góc giữa a và b bằng $60^0$. Chứng minh rằng tứ giác MPNQ có một hình thang cân ?

Hướng dẫn giải

Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

Gọi $Q_{\left(G,120^0\right)}$ là phép quay tâm G góc $120^0$. Phép quay này biến b thành a, biến CA thành AB; do đó nó biến P Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

Bài 1.35 (Sách bài tập - trang 39)

Cho đường tròn (C) và hai điểm cố định phân biệt A, B thuộc (C). Với mỗi điểm M chạy trên đường tròn (trừ hai điểm A, B) ta xét điểm N sao cho AMBN là hình bình hành. Chứng minh rằng tập hợp các điểm N cũng nằm trên một đường tròn xác định ?

Hướng dẫn giải

Tập các điểm N thuộc đường tròn (C') là ảnh của (C) qua phép đối xứng qua trung điểm của AB

Bài 1.34 (Sách bài tập - trang 39)

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình $3x-2y-6=0$

a) Viết phương trình của đường thẳng $d_1$ là ảnh của d qua phép đối xứng qua trục Oy

b) Viết phương trình của đường thẳng $d_2$ là ảnh của d qua phép đối xứng qua đường thẳng $\Delta$ có phương trình $x+y-2=0$

Hướng dẫn giải

a) $d_1:3x+2y+6=0$

b) Giao của d và $\Delta$ là $A\left(2;0\right)$. Lấy $B\left(0;-3\right)$ thuộc d. Ảnh của B qua phép đối xứng qua đường thẳng $\Delta$ là $B'\left(5;2\right)$. Khi đó d' chính là đường thẳng AB':$2x-3y-4=0$

Đề kiểm tra số 1 - Câu 1 (Sách bài tập - trang 41)

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình $3x-y-3=0$. Viết phương trình đường thẳng $d_1$ là ảnh của d qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}=\left(-1;2\right)$ và phép quay tâm O góc quay $-90^0$

Hướng dẫn giải

Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

Bài 1.46 - Đề toán tổng hợp (Sách bài tập - trang 40)

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình $3x-y-3=0$. Viết phương trình đường thẳng $d_1$ là ảnh của d qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm $I\left(-1;2\right)$ và phép quay tâm O góc quay $-90^0$

Hướng dẫn giải

Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

Bài 1.44 - Đề toán tổng hợp (Sách bài tập - trang 40)

Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn $\left(C\right):x^2+y^2+2x-4y-11=0$. Tìm phép tịnh tiến biến (C) thành $\left(C'\right):\left(x-10\right)^2+\left(y+5\right)^2=16$

Hướng dẫn giải

(C) có tâm $I\left(-1;2\right)$, bán kính $R=4$, (C') có tâm $I'\left(10;-5\right)$, bán kính $R'=4$. Vậy $\left(C'\right)=T_{\overrightarrow{v}}\left(C\right),\overrightarrow{v}=\overrightarrow{II}=\left(11;-7\right)$

Bài 1.31 (Sách bài tập - trang 39)

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình $3x-5y+3=0$ và vectơ $\overrightarrow{v}\left(2;3\right)$. Hãy viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$

Hướng dẫn giải

Gọi $M^{'} (x^{'}; y^{'}) \in d^{'}$ là ảnh của $M (x, y) \in d$ qua phép tịnh tiến theo vecto $\vec{v} (2; 3)$

$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x'=x+2\\y'=y+3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=x'-2\\y=y'-3\end{matrix}\right.$

do M (x' ; y') $\in$ d nên

$3x-5y+3=0$

$\Rightarrow3\left(x'-2\right)-5\left(y'-3\right)+3=0$

$\Leftrightarrow3x'-5y'+12=0\left(d'\right)$

vậy $M'\left(x';y'\right)\in d':3x'-5y'+12=0$

Bài 1.42 (Sách bài tập - trang 40)

Dựng tam giác BAC vuông cân tại A có C là một điểm cho trước, còn hai đỉnh A, B lần lượt thuộc hai đường thẳng a, b song song với nhau cho trước ?

Hướng dẫn giải

Xem B là ảnh của A qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm C góc $\pm45^0$ và phép vị tự tâm C tỉ số $k=\sqrt{2}$. Vì A thuộc a nên B thuộc đường thẳng a' là ảnh của a qua phép đồng dạng nói trên.

Vậy B là giao của a' và b. Từ đó suy ra cách dựng. Bài tóan có hai nghiệm hình

Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

Đề kiểm tra số 2 - Câu 1 (Sách bài tập - trang 42)

Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn $\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=16$. Viết phương trình đường tròn ảnh của đường tròn đã cho qua phép quay tâm O và gốc tọa độ với góc quay $90^0$ ?

Hướng dẫn giải

Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

Bài 1.52 - Đề toán tổng hợp (Sách bài tập - trang 41)

Cho tam giác đều ABC và điểm P nằm trong tam giác, sao cho PC = 3, PA = 4 và PB = 5. Tìm chu vi của tam giác ABC ?

Hướng dẫn giải

Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

Bài 1.51 - Đề toán tổng hợp (Sách bài tập - trang 41)

Cho đường tròn (O; R), gọi BC là dây cung cố định của đường tròn và A là một điểm di động trên đường tròn. Tìm tập hợp trực tâm H của tam giác ABC ?

Hướng dẫn giải

Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

Bài 1.48 - Đề toán tổng hợp (Sách bài tập - trang 40)

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn $\left(C\right):\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=9$. Viết phương trình đường tròn ảnh của đường tròn đã cho qua phép quay $Q_{\left(O,-90^0\right)}$ với O là gốc tọa độ ?

Hướng dẫn giải

Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

Bài 1.45 - Đề toán tổng hợp (Sách bài tập - trang 40)

Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng $d:x-5y+7=0$ và $d':5x-y-13=0$. Tìm phép đối xứng qua trục biến d thành d' ?

Hướng dẫn giải

Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

Bài 1.47 - Đề toán tổng hợp (Sách bài tập - trang 40)

Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn $\left(C\right):\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=9$, viết phương trình đường tròn ảnh của đường tròn đã cho qua phé đối xứng trục $d:x=1$

Hướng dẫn giải

Bài 1.33 (Sách bài tập - trang 39)

Cho tam giác ABC. Tìm một điểm M trên cạnh AB và một điểm N trên cạnh AC sao cho MN song song với BC và AM = CN ?

Hướng dẫn giải

Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

Bài 1.49 - Đề toán tổng hợp (Sách bài tập - trang 41)

Cho tam giác ABC. Trong nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng BC không chứa điểm A, ta dựng hình vuông BCDE. Kẻ DM vuông góc với AB, EN vuông góc với AC, và kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Chứng minh rằng ba đường thẳng MD, EN và AH đồng quy.

Hướng dẫn giải

Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

Bài 1.43 - Đề toán tổng hợp (Sách bài tập - trang 40)

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng $d:2x-y+6=0$. Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm $I\left(-2;1\right)$ ?

Hướng dẫn giải

Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

Đề kiểm tra số 1 - Câu 2 (Sách bài tập - trang 41)

Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn $\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=9$. Viết phương trình đường tròn ảnh của đường tròn đã cho qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}=\left(2;0\right)$ và phép vị tự tâm O tỉ số $k=-3$

Hướng dẫn giải

Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

Bài 1.40 (Sách bài tập - trang 40)

Gọi A', B' và C' tương ứng là ảnh của ba điểm A, B,C qua phép đồng dạng. Chứng minh rằng nếu $\overrightarrow{AB}=p\overrightarrow{AC}$ thì $\overrightarrow{A'B'}=p\overrightarrow{A'C}'$ trong đó p là một số. Từ đó chứng minh rằng phép đồng dạng biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng nếu điểm B nằm giữa hai điểm A và C thì điểm B' nằm giữa hai điểm A' và C' ?

Hướng dẫn giải

Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

Bài 1.36 (Sách bài tập - trang 39)

Cho hai đường tròn có cùng tâm O, bán kính lần lượt là R và r (R > r). A là một điểm thuộc đường tròn bán kính r. Hãy dựng đường thẳng qua A cắt đường tròn bán kính r tại B, cắt đường tròn bán kính R tại C, D sao cho CD = 3AB

Hướng dẫn giải

Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

Gọi (C) là đường tròn tâm O bán kính r, $\left(C_1\right)$ là đường tròn tâm O bán kính R. Giả sử đường thẳng đã dựng được. Khi đó có thể xem D là ảnh của B qua phép đối xứng qua tâm A. Gọi (C') là ảnh của (C) qua phép đối xứng qua tâm A, thì D thuộc giao của (C') và $\left(C_1\right)$.

Số nghiệm của bài toán phụ thuộc vào số giao điểm của (C') và $\left(C_1\right)$.

Bài 1.32 (Sách bài tập - trang 39)

Cho hình bình hành ABCD có AB cố định, đường chéo AC có độ dài bằng m không đổi. Chứng minh rằng khi C thay đổi, tập hợp các điểm D thuộc một đường tròn cố định.

Hướng dẫn giải

Xem D là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{BA}$. Do C chạy trên đường tròn (C) tâm A bán kính m, trừ ra giao điểm của (C) với đường thẳng AB, nên D thuộc đường tròn là ảnh của đường tròn nói trên qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{BA}$

Bài 1.50 - Đề toán tổng hợp (Sách bài tập - trang 41)

Cho hai đường tròn có cùng bán kính R cắt nhau tại hai điểm M, N. Đường trung trực của MN cắt hai đường tròn tại hai điểm A, B và nằm cùng phía đối với MN.

Chứng minh rằng :

$MN^2+AB^2=4R^2$

Hướng dẫn giải

Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

Bài 1.39 (Sách bài tập - trang 40)

Gọi A', B', C' tương ứng là ảnh của ba điểm A, B,C qua phép đồng dạng tỉ số k.

Chứng minh rằng :

$\overrightarrow{A'B'}.\overrightarrow{A'C'}=k^2.\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$

Hướng dẫn giải

Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

Đề kiểm tra số 3 - Câu 2 (Sách bài tập - trang 42)

Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường tròn :

$\left(C_1\right):\left(x-1\right)^2+\left(y+3\right)^2=4$

$\left(C_2\right):\left(x+2\right)^2+\left(y-6\right)^2=16$

Tìm phép vị tự biến $\left(C_1\right)$ thành $\left(C_2\right)$

Hướng dẫn giải

Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

Bài 1.53 - Đề toán tổng hợp (Sách bài tập - trang 41)

Cho tam giác ABC. Các trung tuyến AA', BB', CC' cắt nhau tại G

a) Chứng minh rằng tam giác A'B'C' là ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự tỉ số k xác định

b) Kẻ đường cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC. Chứng minh rằng ảnh của đường cao này quay phép vị tự $V_{\left(G,k\right)}$ là đường trung trực của đoạn thẳng BC

c) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. Chứng minh rằng phép vị tự $V_{\left(G,k\right)}$ nói trên biến điểm H thành điểm O. Suy ra rằng ba điểm H, G, O nằm trên một đường thẳng (đường thẳng Ơ - le của tam giác)

Hướng dẫn giải

Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

Đề kiểm tra số 3 - Câu 1 (Sách bài tập - trang 42)

Cho tam giác ABC. Gọi F là phép dời hình có được bằng cách thực hiện các phép tịnh tiến theo thứ tự $T_{\overrightarrow{AB}},T_{\overrightarrow{BC}},T_{\overrightarrow{CA}}$. Hỏi F là phép biến hình gì ?

Hướng dẫn giải

Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

Bài 1.41 (Sách bài tập - trang 40)

Trong mặt phẳng Oxy xét phép biến hình F biến mỗi điểm $M\left(x;y\right)$ thành $M'\left(2x-1;-2y+3\right)$. Chứng minh F là một phép đồng dạng ?

Hướng dẫn giải

Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

Có thể bạn quan tâm