Ôn tập chương III

Lý thuyết

Bài 19 trang 77 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Hãy viết điều kiện của mỗi phương trình 

a) \(\sqrt { - 3x + 2}  = {2 \over {x + 1}}\)

b) \(\sqrt {x - 2}  + x = 3{x^2} + 1 - \sqrt { - x - 4} \)

c) \({{3x + 5} \over {\sqrt {3{x^2} + 6x + 11} }} = \sqrt {2x + 1} \)

d) \({{\sqrt { - 3x + 2} } \over {{x^2} - 9}} = x + 2\)

Hướng dẫn giải

Điều kiện của mỗi phương trình:

a) \(x \le {2 \over 3}\) và \(x \ne  - 1\)

b) \(x \ge 2\) và \(x \le  - 4\). Không có số thực x nào thỏa mãn điều kiện của phương trình.

c) \(3{x^2} + 6x + 11 > 0\) và \(x \ge  - {1 \over 2}\). Vì ta có \(3{x^2} + 6x + 11 = 3{(x + 1)^2} + 8 > 0\) với mọi x, nên điều kiện của phương trình là \(x \ge  - {1 \over 2}\)

d) \(x \ge  - 4\) và \(x \ne 3,x \ne  - 3\)

Bài 20 trang 77 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Xác định m để mỗi cặp phương trình sau tương đương

a) \(3x - 1 = 0\) và \({{3mx + 1} \over {x - 2}} + 2m - 1 = 0\)

b) \({x^2} + 3x - 4 = 0\) và \(m{x^2} - 4x - m + 4 = 0\)

Hướng dẫn giải

Hai phương trình tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

a) \(3x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 3}\)

Suy ra \(x = {1 \over 3}\) là nghiệm của phương trình \({{3mx + 1} \over {x - 2}} + 2m - 1 = 0\)

\( \Rightarrow {{3m.{1 \over 3} + 1} \over {{1 \over 3} - 2}} + 2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = {8 \over 7}\)

b) 

\(x_{}^2 + 3x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 1 \hfill \cr 
x = - 4 \hfill \cr} \right.\)

Suy ra x = 1 và x = -4 là nghiệm của phương trình \(mx_{}^2 - 4x - m + 4 = 0\)

\(\eqalign{
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
m.1_{}^2 - 4.1 - m + 4 = 0 \hfill \cr 
m.( - 4)_{}^2 - 4.( - 4) - m + 4 = 0 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\forall m \hfill \cr 
m = - {4 \over 3} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m = - {4 \over 3} \cr} \)

Bài 21 trang 77 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m

a) \(2m(x - 2) + 4 = (3 - {m^2})x\)

b) \({{(m + 3)x} \over {2x - 1}} = 3m + 2\)

c) \({{8mx} \over {x + 3}} = (4m + 1)x + 1\)

d) \({{(2 - m)x} \over {x - 2}} = (m - 1)x - 1\)

Hướng dẫn giải

a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình 

\((m - 1)(m + 3)x = 4(m - 1)\)

Với \(m \ne 1\) và \(m \ne  - 3\) phương trình có nghiệm \(x = {4 \over {m + 3}}\);

Với m = 1 mọi số thực x đều là nghiệm của phương trình;

Với m = -3 phương trình vô nghiệm.

b) Điều kiện của phương trình là \(m \ne {1 \over 2}\). Khi đó ta có

\({{(m + 3)x} \over {2x - 1}} = 3m + 2 \Leftrightarrow (m + 2)x = (3m + 2)(2x - 1)\)

\( \Leftrightarrow (5m + 1)x = 3m + 2\)

Nếu $\(m \ne  - {1 \over 5}\) thì phương trình có nghiệm \(x = {{3m + 2} \over {5m + 1}}\)

Giá trị này là nghiệm của phương trình đã cho khi

\({{3m + 2} \over {5m + 1}} \ne {1 \over 2} \Leftrightarrow 6m + 4 \ne 5m + 1 \Leftrightarrow m \ne  - 3\)

Nếu \(m =  - {1 \over 5}\) phương trình cuối vô nghiệm.

Kết luận.

Với \(m =  - {1 \over 5}\) hoặc \(m =  - 3\) phương trình đã cho vô nghiệm.

Với \(m \ne  - {1 \over 5}\) và \(m \ne  - 3\) nghiệm của phương trình đã cho là \(x = {{3m + 2} \over {5m + 1}}\)

c) Điều kiện của phương trình là \(x \ne  - 3\). Khi đó ta có

\({{8mx} \over {x + 3}} = (4m + 1)x + 1 \Leftrightarrow 8mx = {\rm{[}}(4m + 1)x + 1](x + 3)\)

\( \Leftrightarrow (4m + 1){x^2} + 4(m + 1)x + 3 = 0.(1)\) (1)

Với \(m =  - {1 \over 4}\) phương trình (1) trở thành

\(3x + 3 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\)

Với \(m \ne  - {1 \over 4}\) phương trình (1) là một phương trình bậc hai có

\(\Delta ' = {(2m - 1)^2} \ge 0\)

Lúc đó phương trình (1) có hai nghiệm

\({x_1} =  - {3 \over {4m + 1}},{x_2} =  - 1\)

Ta có \( - {3 \over {4m + 1}} \ne  - 3 \Leftrightarrow 4m + 1 \ne 1 \Leftrightarrow m \ne 0\)

Kết luận

Với m = 0 hoặc \(m =  - {1 \over 4}\) phương trình đã cho có một nghiệm x = -1.

Với \(m \ne 0\) và \(m \ne  - {1 \over 4}\) phương trình đã cho có hai nghiệm

x = -1 và \(x =  - {3 \over {4m + 1}}\)

d) Điều kiện của phương trình là \(x \ne 2\). Khi đó ta có

\({{(2 - m)x} \over {x - 2}} = (m - 1)x - 1 \Leftrightarrow (2 - m)x = (x - 2){\rm{[}}(m - 1)x - 1]\)

\( \Leftrightarrow (m - 1){x^2} - (m + 1)x + 2 = 0(2)\)

Với m = 1 phương trình (2) có dạng

\( - 2x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1\)

Với \(m \ne 1\) thì phương trình (2) là một phương trình bậc hai có :

\(\Delta  = {(m - 3)^2} \ge 0\)

Lúc đó phương trình (2) có hai nghiệm

\({x_1} = 1,{x_2} = {2 \over {m - 1}}\)

Ta có: \({2 \over {m - 1}} \ne 2 \Leftrightarrow m - 1 \ne 1 \Leftrightarrow m \ne 2\)

Kết luận :

Với m = 1 và m = 2 phương trình đã cho có một nghiệm là x = 1.

Với \(m \ne 1\) và \(m \ne 2\) phương trình đã cho có hai nghiệm 

x = 1 và \(x = {2 \over {m - 1}}\)

Bài 22 trang 77 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Cho phương trình

\(3{x^2} + 2(3m - 1)x + 3{m^2} - m + 1 = 0\)

a) Với giá trị nào của m thì phương trình vô nghiệm?

b) Giải phương trình khi m = -1.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình vô nghiệm khi \(\Delta ' < 0\)

Xét \(\Delta ' = {(3m - 1)^2} - 3(3{m^2} - m + 1) =  - 3m - 2\)

\(\Delta ' < 0 \Leftrightarrow  - 3m - 2 < 0\)

\( \Leftrightarrow m >  - {2 \over 3}\)

b) Khi m = -1 phương trình đã cho trở thành \(3{x^2} - 8x + 5 = 0\) và có hai nghiệm \({x_1} = 1;{x_2} = {5 \over 3}\)

Bài 23 trang 77 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Cho phương trình 

\((m + 1){x^2} + (3m - 1)x + 2m - 2 = 0\)

Xác định m để phương trình có hai nghiệm \(x{}_1,{x_2}\) mà \(x{}_1 + {x_2} = 3\)

Tính các nghiệm trong trường hợp đó.

Hướng dẫn giải

Với $$m \ne  - 1$$ ta có: \(\Delta  = {(m - 3)^2} \ge 0\), do đó phương trình luôn luôn có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\)

Xét \({x_1} + {x_2} = 3 \Leftrightarrow {{1 - 3m} \over {m + 1}} = 3 \Leftrightarrow m =  - {1 \over 3}\)

Lúc đó phương trình đã cho có hai nghiệm x = -1 và x = 4.

Bài 24 trang 77 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Giải các phương trình

a) \(\sqrt {5x + 3}  = 3x - 7\)

b) \(\sqrt {3{x^2} - 2x - 1}  = 3x + 1\)

c) \({{\sqrt {4{x^2} + 7x - 2} } \over {x + 2}} = \sqrt 2 \)

d) \(\sqrt {2{x^2} + 3x - 4}  = \sqrt {7x + 2} \)

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện của phương trình là \(x \ge  - {3 \over 5}\). Ta có

\(\sqrt {5x + 3}  = 3x - 7 =  > 5x + 3 = {(3x - 7)^2}\)

\( \Leftrightarrow 9{x^2} - 47x + 46 = 0\)

Phương trình cuối có hai nghiệm \({x_1} = {{47 + \sqrt {553} } \over {18}},{x_2} = {{47 - \sqrt {553} } \over {18}}\)

Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện của phương trình, tuy nhiên khi thay vào phương trình đã cho thì giá trị \({x_2}\) bị loại.

Đáp số: \({x_1} = {{47 + \sqrt {553} } \over {18}}\)

b) Điều kiện của phương trình là \(3{x^2} - 2x - 1 \ge 0\). Ta có:

\(\sqrt {3{x^2} - 2x - 1}  = 3x + 1 =  > 3{x^2} - 2x - 1 = {(3x + 1)^2}\)

\( \Leftrightarrow 6{x^2} + 8x + 2 = 0\)

Phương trình cuối có hai nghiệm \({x_1} =  - {1 \over 3},{x_2} =  - 1\)

Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện của phương trình, nhưng thử vào phương trình đã cho thì giá trị \({x_2} =  - 1\) bị loại.

Đáp số: \(x =  - {1 \over 3}\)

c)Điều kiện của phương trình là \(4{x^2} + 7x - 2 \ge 0\) và \(x \ne  - 2\). Ta có:

\({{\sqrt {4{x^2} + 7x - 2} } \over {x + 2}} = \sqrt 2  =  > 4{x^2} + 7x - 2 = 2{(x + 2)^2}\)

\( \Leftrightarrow 2{x^2} - x - 10 = 0\)

Phương trình cuối có hai nghiệm là \({x_1} = {5 \over 2},{x_2} =  - 2\)

Chỉ có giá trị \({x_1} = {5 \over 2},{x_2} =  - 2\)

Chỉ có giá trị \({x_1} = {5 \over 2}\) thỏa mãn điều kiện và nghiệm đúng phương trình đã cho.

Đáp số: \(x = {5 \over 2}\)

d)Điều kiện của phương trình là \(2{x^2} + 3x - 4 \ge 0\) và \(7x + 2 \ge 0\). Ta có:

\(\sqrt {2{x^2} + 3x - 4}  = \sqrt {7x + 2}  =  > 2{x^2} + 3x - 4 = 7x + 2 \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x - 6 = 0\)

Phương trình cuối có hai nghiệm \({x_1} = 3,{x_2} =  - 1\), nhưng giá trị \({x_2} =  - 1\) không thỏa mãn điều kiện của phương tình nên bị loại, giá trị \({x_1} = 3\) nghiệm đúng phương trình đã cho.

Vậy nghiệm của phương trình đa cho là x = 3.

Bài 25 trang 77 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m.

a) \(|2x - 5m| = 2x - 3m\)

b) \(|3x + 4m| = |4x - 7m|\)

c) $\((m + 1){x^2} + (2m - 3)x + m + 2 = 0\)

d) \({{{x^2} - (m + 1)x - {{21} \over 4}} \over {x - 3}} = 2x + m\)

Hướng dẫn giải

a) Với \(x \ge {{5m} \over 2}\) phương trình đã cho trở thành

\(2x - 5m = 2x - 3m \Leftrightarrow 2m = 0 \Leftrightarrow m = 0\)

Vậy với m = 0 thì mọi \(x \ge 0\) đều là nghiệm của phương trình.

Với \(x < {{5m} \over 2}\) phương trình đã cho trở thành

\( - 2x + 5m = 2x - 3m\)

\( \Leftrightarrow 4x = 8m \Leftrightarrow x = 2m\)

Vì $\(x < {{5m} \over 2}\) nên \(2m < {{5m} \over 2} \Leftrightarrow m > 0\).

Kết luận:

Với m > 0 phương trình có nghiệm là x = 2m.

Với m = 0 phương trình có nghiệm là mọi số thực không âm.

Với m < 0 phương trình vô nghiệm.

b) Ta có:

\(\eqalign{
& |3x + 4m| = |4x - 7m| \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
3x + 4m = 4x - 7m \hfill \cr 
3x + 4m = - 4x + 7m \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 11m \hfill \cr 
x = {{3m} \over 7} \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 11m và $\(x = {{3m} \over 7}\) với mọi giá trị của m.

c) Với m = -1 phương trình đã cho trở thành

\( - 5x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 5}$\)

Với \(m \ne  - 1\) phương trình đã cho là một phương trình bậc hai, có biệt thức \(\Delta  =  - 24m + 1.\)

Nếu \(m \le {1 \over {24}}\) thì \(\Delta  \ge 0\) phương trình có hai nghiệm

\({x_{1,2}} = {{2m - 3 \pm \sqrt {1 - 24m} } \over {2(m + 1)}}\)

Kết luận:

Với \(x > {1 \over {24}}\) phương trình vô nghiệm.

Với \(x \le {1 \over {24}}\) và \(m \ne  - 1\) phương trình có hai nghiệm.

\({x_{1,2}} = {{2m - 3 \pm \sqrt {1 - 24m} } \over {2(m + 1)}}\)

Với m = -1 phương trình có nghiệm là \(x = {1 \over 5}\)

d) Điều kiện của phương trình là: \(x \ne 3.\) Ta có:

\({{{x^2} - (m + 1)x - {{21} \over 4}} \over {x - 3}} = 2x + m =  > {x^2} - (m + 1)x - {{21} \over 4} = (x - 3)(2x + m)\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + (2m - 5)x + {{21} \over 4} - 3m = 0\)

Phương trình cuối luôn có nghiệm \({x_1} = {3 \over 2},{x_2} = {{7 - 4m} \over 2}\)

Ta có: \({{7 - 4m} \over 2} \ne 3 \Leftrightarrow m \ne {1 \over 4}\)

Kết luận

Với \(m \ne {1 \over 4}\) phương trình đã cho có hai nghiệm và \(x = {3 \over 2}\) và \(x = {{7 - 4m} \over 2}\)

Với \(m = {1 \over 4}\) phương trình có một nghiệm \(x = {3 \over 2}\)

Bài 26 trang 78 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Giải phương trình 

\(\root 3 \of {{1 \over 2} + x}  + \sqrt {{1 \over 2} - x}  = 1\)

Hướng dẫn giải

Đặt \(u = \root 3 \of {{1 \over 2} + x} ,v = \sqrt {{1 \over 2} - x} \)   điều kiện \(v \ge 0\)

Ta được hệ phương trình

\(\left\{ \matrix{
u + v = 1 \hfill \cr 
{u^3} + {v^2} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
v = 1 - u(1) \hfill \cr 
{u^3} + {v^2} - 2u = 0(2) \hfill \cr} \right.\)

(2) \( \Leftrightarrow u({u^2} + u - 2) = 0\)

Phương trình cuối có 3 nghiệm \({u_1} = 0,{u_2} = 1,{u_3} = 2\)

+Với u = 0 ta có v = 1 => \(x =  - {1 \over 2}\)

+Với u =1 ta có v = 0  => \(x = {1 \over 2}\)

+Với u = -2 ta có v = 3 => \(x =  - {{17} \over 2}\)

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm 

\(x =  - {1 \over 2}\), \(x = {1 \over 2}\) và \(x =  - {{17} \over 2}\)

Bài 27 trang 78 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Giải các hệ phương trình 

a) \(\left\{ \matrix{
- 7x + 3y = - 5 \hfill \cr 
5x - 2y = 4; \hfill \cr} \right.\)

b) \(\left\{ \matrix{
4x - 2y = 6 \hfill \cr 
- 2x + y = - 3 \hfill \cr} \right.\)

c) \(\left\{ \matrix{
- 0,5x + 0,4y = 0,7 \hfill \cr 
0,3x - 0,2y = 0,4; \hfill \cr} \right.\)

d) \(\left\{ \matrix{
{3 \over 5}x - {4 \over 3}y = {2 \over 5} \hfill \cr 
- {2 \over 3}x - {5 \over 9}y = {4 \over 3}; \hfill \cr} \right.\)

Hướng dẫn giải

a) 

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
- 7x + 3y = - 5 \hfill \cr 
5x - 2y = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 14x + 6y = - 10 \hfill \cr 
15x - 6y = 12 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 2 \hfill \cr 
5x - 2y = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 2 \hfill \cr 
y = 3 \hfill \cr} \right. \cr} \)

b) 

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
4x - 2y = 6 \hfill \cr 
- 2x + y = - 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2x - y = 3 \hfill \cr 
2x - y = 3 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow 2x - y = 3 \cr} \)

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm \((x;y) = (a;2a - 3)\), a tùy ý.

c) 

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
- 0,5x + 0,4y = 0,7 \hfill \cr 
0,3x - 0,2y = 0,4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 0,5x + 0,4y = 0,7 \hfill \cr 
0,6x - 0,4y = 0,8 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 15 \hfill \cr 
0,3x - 0,2y = 0,4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 15 \hfill \cr 
y = 20,5 \hfill \cr} \right. \cr} \)

d) 

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{3 \over 5}x - {4 \over 3}y = {2 \over 5} \hfill \cr 
- {2 \over 3}x - {5 \over 9}y = {4 \over 3} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{3 \over 5}x - {4 \over 3}y = {2 \over 5} \hfill \cr 
- {3 \over 5}x - {1 \over 2}y = {6 \over 5} \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- {{11} \over 6}y = {8 \over 5} \hfill \cr 
{3 \over 5}x - {4 \over 3}y = {2 \over 5} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - {{14} \over {11}} \hfill \cr 
y = - {{48} \over {55}} \hfill \cr} \right. \cr} \)

Bài 28 trang 78 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Giải các hệ phương trình

a) \(\left\{ \matrix{
x + 2y - 3z = 2 \hfill \cr 
2x + 7y + z = 5 \hfill \cr 
- 3x + 3y - 2z = - 7; \hfill \cr} \right.\)

b) \(\left\{ \matrix{
- x - 3y + 4z = 3 \hfill \cr 
3x + 4y - 2z = 5 \hfill \cr 
2x + y + 2z = 4; \hfill \cr} \right.\)

Hướng dẫn giải

a) \(\left\{ \matrix{
x + 2y - 3z = 2 \hfill \cr 
2x + 7y + z = 5 \hfill \cr 
- 3x + 3y - 2z = - 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x + 2y - 3z = 2 \hfill \cr 
3y + 7z = 1 \hfill \cr 
- 32z = - 4 \hfill \cr} \right.\)

Đáp số: \((x;y;z) = ({{55} \over {24}};{1 \over {24}};{1 \over 8})\)

b)

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
- x - 3y + 4z = 3 \hfill \cr 
3x + 4y - 2z = 5 \hfill \cr 
2x + y + 2z = 4 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- x - 2y + 4z = 3 \hfill \cr 
- 5y + 10z = 14 \hfill \cr 
- 5y + 10z = 10 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- x - 3y + 4z = 3 \hfill \cr 
- 5y + 10z = 14 \hfill \cr 
0y + 0z = - 4 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Phương trình cuối vô nghiệm, suy ra hệ phương trình đã cho vô nghiệm.