§1. Đại cương về phương trình
Lý thuyết
Mục lục
* * * * *
Bài 1 trang 57 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10
Viết điều kiện của các phương trình sau
a) \(\sqrt {2x + 1} = {1 \over x}\)
b) \({{x + 2} \over {\sqrt {2{x^2} + 1} }} = 3{x^2} + x + 1\)
c) \({x \over {\sqrt {x - 1} }} = {2 \over {\sqrt {x + 3} }}\)
d) \({{2x + 3} \over {{x^2} - 4}} = \sqrt {x + 1} \)
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện của phương trình là \(x \ge - {1 \over 2}\) và \(x \ne 0\)
b) \(\forall x \in R\)
c) Biểu thức vế trái có nghĩa khi x > 1 và biểu thức vế phải có nghĩa khi . Từ đó suy ra điều kiện của phương trình là x > 1.
d) Điều kiện của phương trình là \(x \ge - 1,x \ne 2\) và \(x \ne - 2\) . Vì x > -1 thì \(x \ne 2\) . Vì x > -1 thì \(x \ne - 2\) suy ra điều kiện của phương trình là \(x \ge - 1,x \ne 2\)
Bài 2 trang 57 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10
Xác định tham số m để các cặp phương trình sau tương đương
a) \(x + 2 = 0\) và \({{mx} \over {x + 3}} + 3m - 1 = 0\)
b) \({x^2} - 9 = 0\) và \(2{x^2} + (m - 5)x - 3(m + 1) = 0\)
Hướng dẫn giải
a) Phương trình x + 2 = 0 có nghiệm x = -2.
Phương trình \({{mx} \over {x + 3}} + 3m - 1 = 0\) có nghiệm duy nhất x = -2 khi -2m + 3m – 1 = 0 suy ra m = 1.
Vậy hai phương trình tương đương khi m = 1.
b) Phương trình \({x^2} - 9 = 0\) có hai nghiệm x =3 và x =-3
Giá trị x =3 là nghiệm của phương trình
\(2{x^2} + (m - 5)x - 3(m + 1) = 0\) (1)
Khi \(18 + 3(m - 5) - 3(m + 1) = 0\)
Đẳng thức trên thỏa mãn với mọi m.
Giá trị x = -3 là nghiệm của hệ phương trình (1) khi
\(18 - 3(m - 5) - 3(m + 1) = 0\)
\( \Leftrightarrow 30 - 6m = 0 \Leftrightarrow m = 5\)
Khi m = 5 phương trình (1) trở thành
\(2{x^2} - 18 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 9 = 0\)
Phương trình này có hai nghiệm x = 3 và x = -3.
Vậy với m = 5 hai phương trình đã cho tương đương.
Bài 3 trang 57 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10
Gợi ý làm bài các phương trình
a) \(\sqrt {x + 1} + x = \sqrt {x + 1} + 2\)
b) \(x - \sqrt {3 - x} = \sqrt {x - 3} + 3\)
c) \({x^2} - \sqrt {2 - x} = 3 + \sqrt {x - 4} \)
d) \({x^2} + \sqrt { - x - 1} = 4 + \sqrt { - x - 1} \)
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện của phương trình là: \(x \ge - 1\). Ta có
\(\sqrt {x + 1} + x = \sqrt {x + 1} + 2 = > x = 2\)
Giá trị x = 2 thỏa mãn điều kiện của phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
b) Điều kiện của phương trình là: \(x \le 3\) và \(x \ge 3\) hay x = 3.
Giá trị x = 3 nghiệm đúng phương trình đã cho.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 3.
c) Điều kiện của phương trình là: \(x \le 2\) và \(x \ge 4\) . Không có số thực nào thỏa mãn đồng thời hai điều kiện này.
d) Điều kiện của phương trình là: \(x \le - 1\) . Ta có:
\({x^2} + \sqrt { - x - 1} = 4 + \sqrt { - x - 1} = > {x^2} = 4 = > {x_1} = 2,{x_2} = - 2\)
Chỉ có giá trị \({x_2} = - 2\) thỏa mãn điều kiện \(x \le - 1\) và nghiệm đúng phương trình đã cho.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = -2.
Bài 4 trang 57 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10
Gợi ý làm bài các phương trình
a) \({{3{x^2} + 1} \over {\sqrt {x - 1} }} = {4 \over {\sqrt {x - 1} }}\)
b) \({{x{}^2 + 3x + 4} \over {\sqrt {x + 4} }} = \sqrt {x + 4} \)
c) \({{3{x^2} - x - 2} \over {\sqrt {3x - 2} }} = \sqrt {3x - 2} \)
d) \(2x + 3 + {4 \over {x - 1}} = {{{x^2} + 3} \over {x - 1}}\)
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện của phương trình là x >1. Ta có
\({{3{x^2} + 1} \over {\sqrt {x - 1} }} = {4 \over {\sqrt {x - 1} }} = > 3{x^2} + 1 = 4\)
\( = > {x^2} = 1 = > \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = - 1 \hfill \cr} \right.\)
Cả hai giá trị x = 1, x = -1 đều không thỏa mãn điều kiện x > 1.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
b) Điều kiện của phương trình là x > -4. Ta có
\({{x{}^2 + 3x + 4} \over {\sqrt {x + 4} }} = \sqrt {x + 4} = > {x^2} + 3x + 4 = x + 4\)
=> \({x^2} + 2x = 0 = > x(x + 2) = 0\)
Phương trình cuối có hai nghiệm \({x_1} = 0\) và \({x_2} = - 2\)
Cả hai giá trị \({x_1} = 0\) và \({x_2} = - 2\)
đều thỏa mãn điều kiện x > -4 và nghiệm đúng phương trình đã cho.
c) Điều kiện của phương trình là \(x > {2 \over 3}\) . Ta có
\({{3{x^2} - x - 2} \over {\sqrt {3x - 2} }} = \sqrt {3x - 2} = > 3{x^2} - x - 2 = 3x - 2\)
=> \(3{x^2} - 4x = 0\)
=> \(x(3x - 4) = 0 = > \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = {4 \over 3} \hfill \cr} \right.\)
Chỉ có giá trị \(x = {4 \over 3}\) thỏa mãn điều kiện \(x > {2 \over 3}\) và nghiệm đúng phương trình đã cho.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = {4 \over 3}\)
d) Điều kiện của phương trình là $$x \ne 1$$ . Ta có
\(2x + 3 + {4 \over {x - 1}} = {{{x^2} + 3} \over {x - 1}}\)
=> \((2x + 3)(x - 1) + 4 = {x^2} + 3\)
=> \({x^2} + x - 2 = 0\)
=> \(\left[ \matrix{x = 1 \hfill \cr x = - 2 \hfill \cr} \right.\)
Giá trị x = 1 bị loại do vi phậm điều kiện \(x \ne 1\) và giá trị x = -2 nghiệm đúng phương trình đã cho.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = -2.
Bài 5 trang 58 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10
Xác định m để mỗi cặp phương trình sau tương đương
a) \(3x - 2 = 0\) và \((m + 3)x - m + 4 = 0\)
b) \(x + 2 = 0\) và \(m({x^2} + 3x + 2) + {m^2}x + 2 = 0\)
Hướng dẫn giải
a) Phương trình 3x – 2 = 0 có nghiệm \(x = {2 \over 3}\) , thay \(x = {2 \over 3}\) vào phương trình
\((m + 3)x - m + 4 = 0\) , ta có
\((m + 3){2 \over 3} - m + 4 = 0\)
\( \Leftrightarrow - {1 \over 3}m + 6 = 0 \Leftrightarrow m = 18\)
Với m = 18 phương trình \((m + 3)x - m + 4 = 0\) trở thành 21x = 14 hay \(x = {2 \over 3}\)
Vậy hai phương trình tương đương khi m = 18.
b) Phương trình x + 2 = 0 có nghiệm x = -2. Thay x = -2 vào phương trình
\(m({x^2} + 3x + 2) + {m^2}x + 2 = 0\) , ta có
\( - 2{m^2} + 2 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1\)
Khi m = 1 phương trình thứ hai trở thành
\({x^2} + 4x + 4 = 0\)
\( \Leftrightarrow x = - 2\)
Khi m = -1 phương trình thứ hai trở thành
\( - {x^2} - 2x = 0\)
\( \Leftrightarrow - x(x + 2) = 0\)
Phương trình này có hai nghiệm x = 0 , x = -2.
Vậy hai phương trình đã cho tương đương khi m = 1.
Có thể bạn quan tâm
Có thể bạn quan tâm
