§2. Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai
Lý thuyết
Mục lục
* * * * *
Bài 6 trang 68 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10
Giải và biện luận theo tham số m các phương trình sau:
a) \(m(m - 6)x + m = - 8x + {m^2} - 2\)
b) \({{(m - 2)x + 3} \over {x + 1}} = 2m - 1\)
c) \({{(2m + 1)x - m} \over {x - 1}} = x + m\)
d) \({{(3m - 2)x - 5} \over {x - m}} = - 3\)
Hướng dẫn giải
a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình
\(({m^2} - 6m + 8)x = {m^2} - m - 2\)
\( \Leftrightarrow (m - 2)(m - 4)x = (m + 1)(m - 2)\)
Kết luận
Với \(x \ne 2\) và \(x \ne 4\) , phương trình có nghiệm \(x = {{m + 1} \over {m - 4}}\)
Với m = 2, mọi số thực x đều là nghiệm của phương trình;
Với m = 4, phương trình vô nghiệm.
b)Điều kiện của phương trình là \(x \ne - 1\), ta có
\({{(m - 2)x + 3} \over {x + 1}} = 2m - 1\)
=> \((m - 2)x + 3 = (2m - 1)(x + 1)\)
=> \((m + 1)x = 4 - 2m\) (1)
Với m = -1 phương trình (1) vô nghiệm nên phương trình đã cho cũng vô nghiệm.
Với \(m \ne - 1\) phương tình (1) có nghiệm \(x = {{4 - 2m} \over {m + 1}}\)
Nghiệm này thỏa mãn điều kiện \(x \ne - 1\) khi và chỉ khi \({{4 - 2m} \over {m + 1}} \ne - 1\) hay \( - 2m + 4 \ne - m - 1 = > m \ne 5\)
Kết luận
Với m = -1 hoặc m = 5 phương trình vô nghiệm
Với \(m \ne - 1\) và \(m \ne 5\) phương trình có nghiệm là \(x = {{4 - 2m} \over {m + 1}}\)
c) Điều kiện của phương trình là \(x \ne 1\). Khi đó ta có
\({{(2m + 1)x - m} \over {x - 1}} = x + m\)
\( \Leftrightarrow (2m + 1)x - m = (x + m)(x - 1)\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - (m + 2)x = 0\)
\( \Leftrightarrow x = 0,x = m + 2\)
Giá trị x = m +2 thỏa mãn điều kiện của phương trình khi \(m \ne - 1\)
Kết luận
Vậy với m = -1 phương trình có nghiệm duy nhất x = 0;
Với \(m \ne - 1\) phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = m + 2.
d) Điều kiện của phương trình là \(x \ne m\). Khi đó ta có
\({{(3m - 2)x - 5} \over {x - m}} = - 3\)
\( \Leftrightarrow (3m - 2)x - 5 = - 3x + 3m\)
\( \Leftrightarrow (3m + 1)x = 3m + 5\)
Với \(m \ne - {1 \over 3}\) nghiệm của phương trình cuối là \(x = {{3m + 5} \over {3m + 1}}\)
Nghiệm này thỏa mãn điều kiện của phương trình khi và chỉ khi
\({{3m + 5} \over {3m + 1}} \ne m = > 3m + 5 \ne 3{m^2} + m\)
\( \Leftrightarrow 3{m^2} - 2m - 5 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - 1\) và \(m \ne {5 \over 3}\)
Kết luận
Với \(m = - {1 \over 3}\) hoặc \(m = - 1\) hoặc \(m = {5 \over 3}\) phương trình vô nghiệm.
Với \(m \ne - {1 \over 3}\), \(m \ne - 1\) và \(m \ne {5 \over 3}\) phương trình có một nghiệm \(x = {{3m + 5} \over {3m + 1}}\)
Bài 7 trang 68 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10
Cho phương trình
\((m + 2){x^2} + (2m + 1)x + 2 = 0\).
a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu và tổng hai nghiệm bằng -3.
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép? Tìm nghiệm kép đó.
Hướng dẫn giải
a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi \(m \ne - 2\) \({2 \over {m + 2}} < 0\) suy ra m < -2.
Tổng của hai nghiệm bằng -3 khi \( - {{2m + 1} \over {m + 2}} = - 3 = > m = - 5\) thỏa mãn điều kiện m < -2.
Đáp số: m = -5.
b) Phương trình có nghiệm kép khi \(m \ne - 2\) và ∆ = 0.
\(\Delta = {(2m + 1)^2} - 8(m + 2) = 4{m^2} - 4m - 15\)
\(\Delta = 0 \Leftrightarrow m = {5 \over 2}\) hoặc \(m = - {3 \over 2}\)
Khi \(m = {5 \over 2}\) nghiệm kép của phương trình là \(x = - {{2m + 1} \over {m + 2}} = - {2 \over 3}\)
Khi \(m = - {3 \over 2}\) nghiệm kép của phương trình là x = 2.
Bài 8 trang 68 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10
Cho phương trình \(9{x^2} + 2({m^2} - 1)x + 1 = 0\)
a) Chứng tỏ rằng với m > 2 phương trình có hai nghiệm phân biệt âm.
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\)mà \({x_1} + {x_2} = - 4\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(\Delta ' = {({m^2} - 1)^2} - 9 = ({m^2} + 2)({m^2} - 4) = ({m^2} + 2)(m + 2)(m - 2)\)
Với m > 2 thì \(\Delta ' = > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\)
Vì \({x_1}.{x_2} = {1 \over 9} > 0\) nên hai nghiệm cùng dấu. Hơn nữa
\({x_1} + {x_2} = - {{2({m^2} - 1)} \over 9} < 0\) với mọi m > 2 nên hai nghiệm đều âm.
b) Ta có \({{ - 2({m^2} - 1)} \over 9} = - 4 \Leftrightarrow {m^2} = 19 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt {19} \)
Với \(m = \pm \sqrt {19} \) thì \(\Delta ' > 0\)
Đáp số \(m = \pm \sqrt {19} \)
Bài 9 trang 69 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10
Cho phương trình bậc hai với tham số m
\(3{x^2} - 2(m + 1)x + 3m - 5 = 0\)
Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.
Hướng dẫn giải
Hướng dẫn: Trước hết tìm điều kiện để phương trình đã cho có hai nghiệm. Sau đó sử dụng định lí Vi – ét.
Phương trình đã cho có hai nghiệm khi và chỉ khi biệt thức dương. Ta có:
\(\Delta ' = {(m + 1)^2} - 3(3m - 5) = {m^2} - 7m + 16\)
Các giá trị m tìm được phải thỏa mãn điều kiện \({m^2} - 7m + 16 > 0\) tuy nhiên, trong trường hợp này tam thức bậc hai \({m^2} - 7m + 16 > 0\) với mọi m. Xem §5 chương IV).
Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn điều kiện \({x_1} = 3{x_2}\)
Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện . Theo định lí Vi – ét ta có
\({x_1} + {x_2} = {{2(m + 1)} \over 3},{x_1}{x_2} = {{3m - 5} \over 3}\)
Từ đó suy ra:
\({x_2} = {{m + 1} \over 6},3x_2^2 = {{3m - 5} \over 3}\)
Khử \({x_2}\) ta được phương trình bậc hai đối với m:
\({m^2} - 10m + 21 = 0\)
Phương trình cuối có hai nghiệm \({m_1} = 7,{m_2} = 3\)
+ Với m = 7 ta được \({x_2} = {4 \over 3},{x_1} = 4\)
+ Với m = 7 ta được \({x_2} = {2 \over 3},{x_1} = 2\)
Bài 10 trang 69 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10.
Giải các phương trình
a) \(\sqrt {3x - 4} = x - 3\)
b) \(\sqrt {{x^2} - 2x + 3} = 2x - 1\)
c) \(\sqrt {2{x^2} + 3x + 7} = x + 2\)
d) \(\sqrt {3{x^2} - 4x - 4} = \sqrt {2x - 5} \)
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện của phương trình là \(x \ge {4 \over 3}\)
Bình phương hai vế ta được phương trình hệ quả
\(3x - 4 = {x^2} - 6x + 9 = > {x^2} - 9x + 13 = 0\)
Phương trình cuối có hai nghiệm \(x = {{9 \pm \sqrt {29} } \over 2}\). Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện \(x \ge {4 \over 3}\) nhưng khi thay vào phương trình ban đều thì giá trị \({{9 - \sqrt {29} } \over 2}\) bị loại (vế trái dương nhưng vế phải âm).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x = {{9 + \sqrt {29} } \over 2}\)
b) Điều kiện của phương trình là \({x^2} - 2x + 3 > 0\)
Bình phương hai vế ta được phương trình hệ quả.
\({x^2} - 2x + 3 = 4{x^2} - 4x + 1\)
\(\Leftrightarrow 3{x^2} - 2x - 2 = 0\)
Phương trình cuối có hai nghiệm \(x = {{1 \pm \sqrt 7 } \over 3}\) . Khi thay các giá trị này vào phương trình ban đầu thì giá trị \({{1 - \sqrt 7 } \over 3}\) bị loại.
Đáp số: \(x = {{1 + \sqrt 7 } \over 3}\)
c) Điều kiện của phương trình \({x^2} + 3x + 7 > 0\)
\(\sqrt {2{x^2} + 3x + 7} = x + 2 = > 2{x^2} + 3x + 7 = {x^2} + 4x + 4\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - x + 3 = 0\)
Phương trình cuối vô nghiệm, do đó phương trình đã cho vô nghiệm.
d) Điều kiện của phương trình là: \(3{x^2} - 4x - 4 \ge 0\) và \(2x + 5 \ge 0\)
\(\sqrt {3{x^2} - 4x - 4} = \sqrt {2x + 5} = > 3{x^2} - 4x - 4 = 2x + 5\)
\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - 9 = 0\)
Phương trình cuối có hai nghiệm \({x_1} = - 1,{x_2} = 3\) . Cả hai giá trị này đều thỏa mãn các điều kiện và nghiệm đúng phương trình đã cho.
Vậy phương trình đã có hai nghiệm \(x = - 1,x = 3\)
Bài 11 trang 69 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10
Giải và biện luận theo tham số m các phương trình sau
a) \(|3x + 2m| = x - m\)
b) \(|2x + m| = |x - 2m + 2|\)
c) \(m{x^2} + (2m - 1)x + m - 2 = 0\)
d) \({{\sqrt {4x - 2} } \over {2x - 1}} = m - 1\)
Hướng dẫn giải
a) Với \(x \ge - {{2m} \over 3}\) phương trình đã cho trở thành
\(3x + 2m = x - m \Leftrightarrow 2x = - 3m \Leftrightarrow x = - {{3m} \over 2}\)
Ta có:
\( - {{3m} \over 2} \ge - {{2m} \over 3} \Leftrightarrow - 9m \ge - 4m\)
\( \Leftrightarrow 5m \le 0 \Leftrightarrow m \le 0\)
Với \(x < - {{2m} \over 3}\) Phương trình đã cho trở thành
\( - 3x - 2m = x - m \Leftrightarrow 4x = - m \Leftrightarrow x = - {m \over 4}\)
Ta có:
\( - {m \over 4} \ge - {{2m} \over 3} \Leftrightarrow - 3m \ge - 8m\)
\( \Leftrightarrow 5m < 0 \Leftrightarrow m < 0\)
Kết luận
Với m > 0 phương trình vô nghiệm;
Với m = 0 phương trình có nghiệm x = 0;
Với m < 0 phương trình có nghiệm \({x_1} = - {{3m} \over 2}\) và \({x_2} = - {m \over 4}\)
b) \(\left| {2x + m} \right| = \left| {x - 2m + 2} \right| \Leftrightarrow \left[ \matrix{2x + m = x - 2m + 2(1) \hfill \cr 2x + m = - x + 2m - 2(2) \hfill \cr} \right.\)
Phương trình (1) \( \Leftrightarrow x = - 3m + 2\)
Phương trình (2) \( \Leftrightarrow 3x = m - 2 \Leftrightarrow x = {{m - 2} \over 3}\)
Vậy với mọi giá trị của m phương trình có nghiệm là:
\({x_1} = - 3m + 2$$ và $${x_2} = {{m - 2} \over 3}\)
c) m = 0 phương trình trở thành
\( - x - 2 = 0 = > x = - 2\)
\(m \ne 0\) phương trình đã cho là phương trình bậc hai, có \(\Delta = 4m + 1\)
Với \(m < - {1 \over 4}\) phương trình vô nghiệm;
Với \(m \ge - {1 \over 4}\) nghiệm của phương trình là
\({x_{1,2}} = {{1 - 2m \pm \sqrt {4m + 1} } \over {2m}}\)
d) Điều kiện của phương trình là \(m > {1 \over 2}\)
Với điều kiện đó vế trái dương, nên vế phải cũng dương nên m > 1. Lúc đó ta có:
\({{\sqrt {4x - 2} } \over {2x - 1}} = m - 1 \Leftrightarrow \sqrt {2(2x - 1)} = (m - 1)(2x - 1)\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {(2x - 1)} {\rm{[}}\sqrt 2 - (m - 1)\sqrt {2x - 1} {\rm{]}} = 0\)
\( \Leftrightarrow (m - 1)\sqrt {2x - 1} = \sqrt 2\)
\( \Leftrightarrow {(m - 1)^2}(2x - 1) = 2\)
\( \Leftrightarrow x = {{{{(m - 1)}^2} + 2} \over {2{{(m - 1)}^2}}} = {1 \over 2} + {1 \over {{{(m - 1)}^2}}}\)
Giá trị \(x = {1 \over 2} + {1 \over {(m - 1){}^2}}\) thỏa mãn điều kiện \(x > {1 \over 2}\)
Kết luận. Với \(m \le 1\) phương trình vô nghiệm.
Với m > 1 nghiệm của phương trình là \(x = {1 \over 2} + {1 \over {{{(m - 1)}^2}}}\)
Có thể bạn quan tâm
Có thể bạn quan tâm
