Phương pháp tính tích phân từng phần

Trang: 3 thuộc về 11 Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 4981(DÙNG CHO ÔN THI TN – CĐ – ĐH 2011)Bỉm sơn.

16.03.2011 doc24.vndoc24.vn Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 4982PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦNI.

Công thức tích phân từng phần:Cho hai hàm số ( ), ( )u x v x liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b].

Ta có ''' '''uv u v uv uv dx u vdx uv dx ( )bb baa ad uv vdu udv d uv vdu udv b bbbbbaaa aaauv vdu udv udv uv vdu .Ta có công thức: 1bbbaaaudv uv vdu Công thức (1) còn được viết dưới dạng: ''( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2bbbbaaaaf x g x dx f x d g x dx f x g x f x g x dx II.

Phương pháp giải toán:Bài toán: Sử dụng CT.TPTP xác định: I = badxxf.)(Phương pháp chung:Cách 1: Bước 1: Biến đổi TP về dạng: I = badxxf.)(= badxxfxf.)().(21Bước 2: Đặt: vdudxxfdvxfu)()(21 (Chọn 0C ) Bước 3: Khi đó: I = bababavduuvudv.

(công thức (1))Chú ý: Việcđặt ( ), ( )u f x dv g x dx (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm ( )v x và vi phân '( )du u x dx không quá phức tạp.

Hơn nữa, tích phân bavdu phải đơn giảnhơn tích phân baudv Cách 2: Phân tích '1 21( ) ( ) ( ) ( )bbaaf x f x dx f x f x dx và sử dụng trực tiếp công thức (2)- Nhận dạng: Để sử dụng tích phân từng phần thì dấu hiệu thường gặp đó chính là tích của hai loại hàm số khác nhau (đôi khi là tích của cùng một loại hàm)-Ý nghĩa: Phương pháp TPTP nhằm đưa tích phân phức tạp về tích phân đơn giản hoặc để khử bớt hàm số dưới dấu tích phân (cuối cùng chỉ còn lại 1 loại hàm số dưới dấu tích phân) doc24.vn Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 4983Chú ý: - Đôi khi tính TPTP mà chưa có một dạng cụ thể ta phải dùng các công thức đại số, lượng giác hoặc kết hợp với phương pháp biến đổi số thì mới xuất hiện các dạng cụ thể Ví dụ 1: (ĐHDB – A 2003)Tính tích phân sau 401 cos 2xIdxx Giải: Nhận xét: Tích phân này nếu để nguyên mà tính TPTP thì... không ra đâu nhưng nếu ta sử dụng công thức nhân đôi 2 21 cos 2 1 2 cos 1 2 cosx x x thì lấy nguyên hàm của được ngay Ta được 42012cosxIdxx Đặt 2tancosu xdu dxdxv xdvx Khi đó401 1 1 1tan tanln cosln 2442 2 8 28 400I x x xdxx Chú ý: - Ta có thể sử dụng công thức (2) như sau 44420001111(tan ) tan tanln cosln 244222 48 42 cos00xI dx xd x x x xdxxx - Đừng quên 12 trước dấu tích phân nhéVí dụ 2:(ĐHDB – D 2003) Tính tích phân sau 2130xI x e dx Giải:Ta có 2 2113200xxI x e dx x e xdx Đặt 222dtt x dt xdx xdx Đổi cận 0 01 1x tx t Khi đó 1100111 1 1 1 1002 2 2 2 2 2tttteI tedt te e dt e (sử dụng công thức 2)Chú ý: doc24.vn Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 4984- Dĩ nhiên ta không cần biến đổi số mà làm trực tiếp.

Ta có 221132 20012xxI x e dx x e d x .

Đến đây ta có thểsử dụng công thức (1) hoặc công thức (2) tuy là ngắn hơn nhưng độ phức tạp cao hơn nên tôi không đưa ra, bạn đọc tự tìm hiểu nhé Ví dụ 3: (ĐHTCKT –1998) Tính tích phân sau 4202 cos 1 I x x dx Giải:Nhận xét: Nếu để nguyên như thế mà tính thì quả thật nan giải.

Sử dụng công thức hạ bậc 44420002 cos 1 2 1 cos 2 1 cos 2I x x dxx dx x xdx Đặt sin 2cos 22du dxu xxdv xdxv Khi đó 40sin 2 1cos 2 1 2.sin 2442 28 4 8 4 800xxI xxdx - Đôi khi tính TPTP ta phải tính đến 2 hay 3 lần TPTPVí dụ: (ĐH – D 2007) Tính tích phân sau 43 215 1ln32eeI x xdx Giải:Đặt 2432 lnln4dxdu xu xxxdv xv Khi đó 44231111ln .

ln .14 24 2eex eI xx x dx I Tính 311ln .eI x x dx Đặt 34ln4dxduu xxdv xxv Khi đó 444341111 3 1ln .1 14 4 4 16 16ee ex e eI x x dx x Vậy 444411 1 3 1 5 1.4 2 4 2 16 32e e e eI I doc24.vn Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 4986Vậy 4212212eI I Chú ý: Nếu như ta tính đồng thời 1 2vàI I thì cũng ra nhưng vừa mất công mà lại dài nên ta chọn tính 1Ihoặc2I để làm triệt tiêu đi2Ihoặc1I ...Tùy vào từng bài để ta chọn (kinh nghiệm thôi)- Thông thường ta sử dụng CT (1) vì nó dễ nhìn hơn là CT (2)MỘT SỐ DẠNG CỤ THỂDạng 1:Tính tích phân nI P x Q x dx với nP x là một đa thức bậc n và 2 21 1; ;sin ;cos ; ,cos sinx xx xxQexxa Đặt nP xQ x dxudv (Nếu nP xcó bậc n thì ta phải tính tích phân từng phần n lần (mỗi lần nP xsẽ giảm 1 bậc)) Đặc biệt: - Khi ln ; ln ; log ; lnnmx x x f xQ x Đặt nQ xP x dxudv (nếu lnnQ x x ta phải tính n lần tích phân)- Khi sin ln ;cos ln ;sin log ; cos loga ax xQ xxx Đặt nQ xP x dxudv (thường thì người ta chọn 1;knP x Q x x cho đơn giản)Chú ý: Trong dạng này chúng ta sẽ gặp tích phân luân hồi (Sau khi tính tích phân lần thứ hai sẽ trở về tích phân ban đầu) Loại 1: Khi 2 21 1;cos sinQ xx x Bài tập giải mẫu:doc24.vn Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 4987Bài 1:Tính tích phân sau 324sinxdxIx Giải:Đặt 2cotsinu xdu dxdxv xdvx Áp dụng công thức tính tích phân từng phần 332449 4 311 333cot cot .

ln sinln336 2 2sin34 4xdxI x x xdxxx Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2) 33244cotsinxdxIxd xx Bài 2:Tính tích phân sau 320cosxI dxx Giải:Đặt 2tancosu xdu dxdxv xdvx Áp dụng công thức tính tích phân từng phần: 33 34200 0 0cos3 sin 3tan tan33 cos 3 coscos03 3ln cosln 23330d xxxI dx x x xdxdxxxxx Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2) 33200tancosxI dx xd xx Bài tập tự giải có hướng dẫn:Bài 1:(HVNH HCM – 2000) Tính tích phân sau 120sincosx xIdxx doc24.vn Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 4988HD: Đặt 2sin1 cos1tancosu x xdu x dxdv dxv xx Hoặc- Tách thành tổng hai tích phân 12333222000sinsincos cos cosIIx x xdx xIdxdxxx x Tính1I bằng TPTP và tính 2I bằng đổi biến số- Sử dụng trực tiếp công thức (2) ta có 11200sinsin tancosx xIdx x x d xx Bài 2: (ĐHDB – A 2003)Tính tích phân sau: 401ln 21 cos 2 8 4xI dxx HD: Sử dụng công thức nhân đôi 221 cos 2 1 2 cos 1 2 cosx x x Khi đó 42012cosxIdxx .

Đặt 2tancosu xdu dxdxv xdvx Hoặc:Sử dụng trực tiếp công thức (2)Ta có 44420001111(tan ) tan tan ) lnln 244222 4 8 42 cos00xI dx xd x x x xdxx Bài 3: (HVKTMM 2000) Tính tích phân sau: 120tan tan1 ln cos1 0, 5I x xdx HD: Phân tích 11200cosxI dx xdxx Đặt2tancosu xdu dxdxv xdvx Chú ý: Công thức 221tan 1cosxx Bài 4:Tính tích phân sau:201 sin 2xdxIx HD: doc24.vn Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 4989 Biến đổi 21 sin 2 1 cos 2 2 cos24x xx rồi mới TPTPLoại 2: Khi sin ;cosQ x x x Chú ý: Đối với dạng này ta có thể sử dụng phương pháp hệ số bất địnhNếu bậc của P xbằng hoặc lớn hơn 3 ta nên giải theo phương pháp sau:Bước 1: Ta có ( ) cos ( ) sin ( ) cosI p x xdx A x x B x x C , (1)(A(x) và B(x) cùng bậc với P x)Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế của (1) : ( ) cos '( ) ( ) sin ( ) '( ) cosp x x A x B x A x B x Sử dụng phương pháp hệ số bất định tìm được A(x) và B(x)Bước 3: Thay A(x) và B(x) vào (1) rồi kết luận.(Có thể áp dụng cách này cho các dạng cosaxe bxdx ; sinaxe bxdx ) Bài tập giải mẫu:Bài 1: Tính tích phân sau 12 20sin .I x x dx Giải: 11112 222200001 cos2 1 1sin.cos 22 2 2xI x xdx xdx x dx x x dx Sử dụng công thức (2) ta được211312 200001 1 1(sin2 )sin2 2 in2 .6 46 4xx d x x x xs x dx 211222 3 200011 11 11 1 11 1(cos2 )cos2 cos2sin(2 )06666444 84xd xx x xdxx Bài2:(ĐHDB – 2006) Tính tích phân sau 20( 1) sin 2I x xdx Giải:Đặt 11sin 2cos 22du dxu xdv xdxv x Khi đó2220001 1 1 1 1 cos 2 cos 2sin 2 1224 2 2 4 4xIxxdxx Hoặc:Sử dụng trực tiếp công thức (2)doc24.vn Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 49810 22001( 1)sin 21 cos 22I x xdx x d x Bài 3: Tính tích phân sau 240cosI xdx Giải:Đặt 22t x x t dx tdt Đổi cận 20 0, 4 2x t x t Sử dụng công thức (2) Khi đó 2220002 cos 2 sin 2 sin 2 sin 220I t tdt td t t t xdx Vậy2I .

Bài 4:Tính nguyên hàm 3 2(2 3) sinI x x x xdx Giải: 3 2 3 23 2( 2 3) sin (a) cos (a' ' ' ') sinI x x x xdx x bx cx d x x b x c x d x C (1)Lấy đạo hàm hai vế của (1):3 2 3 23 2( 2 3) sin [ ' (3 ') (2 ') ']cos[(3 ' ) (2 ' ) ' ]sin (2)x x x x a x a b x b c x c d xax a b x b c x c d x Đồng nhất đẳng thức trên ta được hệ :' 03 ' 02 ' 0' 0aa bb cc d và ' 13 ' 12 ' 2' 3aa bb cc d Giải hệ trên tìm được : 1; 1; 4; 1; ' 0; ' 3; ' 2; ' 4a b c d a b c d Vậy 3 2 2( 4 1) cos (3 2 4) s in I x x x x x x x C .