ôn thi thpt quốc gia môn toán Hình học giải tích trong mặt phẳng

Chuyeân ñeà 14: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG A. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN: PHÖÔNG PHAÙP TOAÏ ÑOÄ TRONG MAËT PHAÚNG TOÏA ÑOÄ ÑIEÅM TOÏA ÑOÄ VEÙC TÔ 91I. Heä truïc toaï ñoä ÑEÀ-CAÙC trong maët phaú\\ng x\'Ox truïc hoaønh \\ y\'Oy truïc tung goác toaï ñoä veùc tô ñôn vò 12,ee JG JJG12 11 vaø ee ee == ⊥JG JJGJG G2JJ xy1eK2eKO\'x\'y Quy öôùc Maët phaúng maø treân ñoù coù choïn heä truïc toaï ñoä Ñeà-Caùc vuoâng goùc Oxy ñöôïc goïi laø maët phaúng Oxy vaø kyù hieäu laø mp(Oxy) II. Toaï ñoä cuûa moät ñieåm vaø cuûa moät veùc tô: 1. Ñònh nghóa 1: Cho ()Mmp Oxy∈. Khi ñoù veùc tô OMJJJJ G ñöôïc bieåu dieån moät caùch duy nhaát theo \\ eebôûi heä thöùc coù daïng OM12,JG JJ Gx ye12 vôùi x,yJ=+∈JJJGJGJJ G\\. Caëp soá (x;y) trong heä thöùc treân ñöô\\ïc goïi laø toaï ñoä cuûa ñieåm M. Kyù hieäu: M(x;y) x: hoaønh ñoä cuûa ñieåm M; y:\\ tung ñoä cuûa ñieåm \\ \'xy2K\'/12( ñnMxy OM xe ye ⇔=+JJJJGJGJJ G YÙ nghóa hình hoïc: \\ vaø y=OQxOP 2. Ñònh nghóa 2: Cho am()pOxy∈G. Khi ñoù veùc tô aG ñöôïc bieåu dieån moät caùch duy nhaát theo \\ eebôûi heä thöùc coù daïng 12,JG JJG11 vôùi ,aaae ae=+∈GJG JJ G\\. Caëp soá (a1;a2) trong heä thöùc treân ñöôïc goïi laø to\\aï ñoä cuûa veùc tô aG Kyù hieäu: 12(; )aaa =G /12 11 22=(a ;a ñnaa a⇔=+GGGeaeJG JJ• YÙ nghóa hình hoïc: \\ 111 222 vaø =AaA B=x1eKeOMQPyyxOx\'\'yMQPxyxy1eK2eKO\'x\'yPaGyxO\'x\'y1A1B2A2BBKAHBAØI TAÄP AÙP DUÏNG: Trong maët phaúng Oxy haõy veõ caùc ñieåm sau: A(2\\;3), B(-1;4), C(-3;-3), D(4;-2), E(2;0), F(0;-4) III. Caùc coâng thöùc vaø ñònh lyù veà toaï ñoä ñieåm vaø toaï ñoä veùc tô Ñònh lyù 1: Neáu B(; vaø B(x;)AABAxy thì 92 (; )BAB AABx xy =− −JJJG Ñònh lyù 2: Neáu aa thì 12 12(; vaø (; )a bbb==GG ab1122a bab=⎧=⇔ ⎨=⎩GG ab 112 2(;)a ba b+= +GG)a ba b−= −GG)ka ka=G ab 112 2(; ka ()12.(;k∈\\ BAØI TAÄP AÙP DUÏNG: Baøi 1: Cho A(1;3), B(-2;-1), C(3;-4). Tìm toaï ñoä ñieå\\m sao cho töù giaùc ABCD laø hình bình haønh. Baøi 2: Cho A(1;2), B(2;3), C(-1;-2). Tìm ñieåm thoaû maõn 022=+−CBMBMA IV. Söï cuøng phöông cuûa hai veùc tô: Nhaéc laïi Hai veùc tô cuøng phöông laø hai veùc tô naèm\\ tr eân cuøng moät ñöôøng thaúng hoaëc naèm tr\\eân hai ñöôøng thaúng song song Ñònh lyù veà söï cuøng phöông cuûa hai veù\\c tô:  Ñònh lyù Cho hai veùc tô vaø vôùi 0ab b≠GGGGa kbGG ab cuøng phöông !k sao cho .⇔∃ =GG\\ Neáu 0a≠GG thì soá trong tröôøng hôïp naøy ñöôïc xaùc ñònh n\\hö sau: khi aG cuøng höôùng bG khi aG ngöôïc höôùng bG akb=GG  Ñònh lyù thaúng haøng cuøng phöông AB CABAC⇔JJJG JJJG (Ñieàu k\\ieän ñieåm thaúng haøng  Ñònh lyù 5: Cho hai veùc tô 12 12(; vaø (; )aaa bbb ==GG ta coù ab12 21 cuøng phöông 0ba b⇔−=GG (Ñieàu kieän cuøng phöông cuûa veùc \\tô );(AAyxA );(BByxBaKbKaKbKABCaKbG25a a52=− KKKKaKbK)4;2()2;1(==b aKK: VD );();(2121bbbaaa==KK BAØI TAÄP AÙP DUÏNG: 93Baøi 1: Cho 1(0; 1); (2; 3); 0)2ABC−. Chöùng minh A, B, thaúng haøng Baøi 2: Cho A(1;1), )4 31;23( +−B, )4 31;32( −−−C. Chöùng minh A, B, thaúng haøng V. Tích voâ höôùng cuûa hai veùc tô: Nhaéc laïi: xy ...cos(,)ab b=GG G G G G 22aa =GG ab .0ab⊥⇔ =GG GG  Ñònh lyù 6: Cho hai veùc tô 12 12(; vaø (; )aaa bbb ==GG ta coù ab (Coâng thöùc tính tích voâ höôù\\ng theo toïa ñoä) 11 2.a b=+GG  Ñònh lyù 7: Cho hai veùc tô 12(; aaa =Gta coù 2212aaa =+G (Coâng thöùc tính ñoä daøi veùc\\ tô  Ñònh lyù 8: Neáu B(; vaø B(x;)AABAxy thì 22()()BA BAAB y=−+− (Coâng thöùc tính khoaûng caùch ñieå\\m)  Ñònh lyù 9: Cho hai veùc tô 12 12(; vaø (; )aaa bbb ==GG ta coù ab (Ñieàu kieän vuoâng goùc cuûa veù\\c tô) 11 0b ab⊥⇔ =GG  Ñònh lyù 10: Cho hai veùc tô 12 12(; vaø (; )aaa bbb ==GG ta coù 11 2222212 12.cos( ). .abab babab aa bb+==++GGGGGG (Coâng thöùc tính goùc cuûa veùc tô) \\bK BAØI TAÄP AÙP DUÏNG: Baøi 1: Chöùng minh raèng tam giaùc vôùi caùc ñænh A\\(-3 ;-3), B(-1;3), C(11;-1) laø tam giaùc vuoâng Baøi 2: Cho )7;342(),336;8(),3;2(++CBA. Tính goùc BAC. O\'x\'y aϕaKbKbKaKOBAK);(BByxB);(AAyxAVI. Ñieåm chia ñoaïn thaúng theo tyû soá k: Ñònh nghóa: Ñieåm ñöôïc goïi laø chia ñoaïn AB theo\\ tyû soá neáu nhö ≠.MAkMB =JJJG JJJG AMB  Ñònh lyù 11 Neáu B(; B(x;)AABAxy vaø .MAkMB =JJJG JJJG ≠1 thì \\.1 .1ABMABMxkxxkykyyk−⎧=⎪⎪⎨ −⎪ =⎪ −⎩ 94 Ñaëc bieät laø trung ñieåm cuûa AB 22ABMABMxxxyyy +⎧=⎪⎪⎨ +⎪ =⎪⎩ VII. Moät soá ñieàu kieän xaùc ñònh ñieåm trong\\ tam giaùc ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧++= ++=⇔=++⇔330.1CBAG CBAyyyy xxxGCGBGx GA ABC giaùc tam taâm troïng laø 2. .0H laø tröïc taâm tam giaùc ABC .0AH BC AH BCBH AC BH AC⎧⎧⊥=⎪⎪⇔⇔ ⎨⎨⊥=⎪⎪⎩⎩JJJG JJJG JJJG JJJGJJJG JJJG JJJG JJJG 3. \'\'\' laø chaân ñöôøng cao keû töø cuøng phöông AA BCABABC⎧ ⊥⎪⇔ ⎨⎪⎩JJJGJJJGJJJGJJJG 4. IA=IBI laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC IA=IC⎧⇔ ⎨⎩5. Δ⇔=−JJJG JJJGD laø chaân ñöôøng phaân giaùc trong cuûa goùc cuûa ABC .ABDBDCAC 6. Δ⇔=JJJJG JJJJ G\' \'\'D laø chaân ñöôøng phaân giaùc ngoaøi cuûa goùc cuûa ABC .ABDBDACC 7. laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp ABC .ABJAJ BDΔ⇔=−DJJG J J JG VIII. Moät soá kieán thöùc cô baûn thöôøng söû duïng khaùc: 1. Coâng thöùc tính dieän tích ta giaùc theo toaï ñoä ba ñænh  Ñònh lyù 12: Cho tam giaùc ABC Ñaët 12 12(; vaø (; )ABaa AC=bb=JJJG JJJG ta coù 12 211.2ABCSa bΔ=−abGABCHABCACIABCBA\'ACDABJCDBA CB2. Caùc baát ñaúng thöùc veùc tô cô baûn  Ñònh lyù 13: Vôùi hai veùc tô u,vGG baát kyø ta luoân coù uKvKvuKK+ uv +≤ +GG G G ..uv ≤GG G G Daáu baèng xaûy ra khi vaø chæ khi ,uvGG laø hai veùc tô cuøng phöông cuøng chieàu hoaëc laø coù moät trong hai veùc tô laø veùc tô khoâng BAØI TAÄP AÙP DUÏNG: Baøi 1: Tìm dieän tích tam giaùc coù caùc ñænh A(-2;-4), B(2;8), C(10;2) Baøi 2: Cho tam giaùc ABC coù dieän tích baèng vôùi A\\(3;1), B(1;-3) 1. Tìm bieát treân Oy 2. Tìm bieát troïng taâm cuûa tam giaùc treân Oy \\ Baøi 3: Cho A(1;1), B(-3;-2), C(0;1) 1. Tìm toaï ñoä troïng taâm G, tröïc taâm v\\aø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp cuûa tam giaù\\c ABC. 2. Chöùng minh raèng G, H, thaúng haøng vaø GIGH2−= 3. Veõ ñöôøng cao AA\' cuûa tam giaùc ABC. Tìm toaï ñoä ñieåm A\'Baøi 4: Cho tam giaùc ABC bieát A(6;4), B(-4;-1), C(2;-4). Tìm toaï ñoä taâm vaø baùn kính ñö\\ôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC Baøi 5: Tìm toaï ñoä tröïc taâm cuûa tam giaùc ABC,\\ bieát toaï ñoä caùc ñænh 1; 2), (5; 7), (4; 3)ABC−− Baøi 6: Cho ba ñieåm A(1;6), B(-4;-4), C(4;0) 1. Veõ phaân giaùc trong AD vaø phaân giaùc ngoaøi AE. Tìm toaï ñoä vaø 2. Tìm toaï ñoä taâm ñöôøng troøn noäi \\tieáp tam giaùc ABC Baøi 7: Cho hai ñieåm A(0;2), )1;3(−−B. Tìm toaï ñoä tröïc taâm vaø toaï ñoä \\taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp cuûa tam giaùc OAB (TS 2004) Baøi 8: Cho tam giaùc ABC coù caùc ñænh A(-1;0), B(4;0), C(0;m) vôùi 0≠m. Tìm toaï ñoä troïng taâm cuûa tam giaùc ABC theo m. Xaùc ñònh ñeå tam giaùc GAB vuoâng taï\\i G. (TS 2004). -------------------Heát------------------- 95ÑÖÔØNG THAÚNG TRONG MAËT PHAÚNG TOÏA ÑOÄ A.KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN I. Caùc ñònh nghóa veà VTCP vaø PVT cuûa ñöôø\\ng thaúng: 1. VTCP cuûa ñöôøng thaúng aGlaø VTCP cuûa ñöôøng thaúng (Δ) ñn⇔ 0a coù giaù song song hoaëc truøng vôùi a⎧≠⎪⎨Δ⎪⎩GGG nG laø VTPT cuûa ñöôøng thaúng (Δ) ñn⇔ 0n coù giaù vuoâng goùc vôùi n⎧≠⎪⎨Δ⎪⎩GGG 96 Chuù yù: Neáu ñöôøng thaúng coù VTCP Δ12(; )aaa =G thì coù VTPT laø 21(;naa =−)GaKaK)(ΔnK)(Δ Neáu ñöôøng thaúng coù VTPT Δ(; )nAB =G thì coù VTCP laø (;)aBA =−G aKnK)(Δ BAØI TAÄP AÙP DUÏNG: Cho ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm A(1;-2), B(-1;3). Tìm moät VTCP vaø\\ moät VTPT cuûa ()Δ()Δ II. Phöông trình ñöôøng thaúng 1. Phöông trình tham soá vaø phöông trình chính taéc cuûa ñöôøng thaúng a. Ñònh lyù Trong maët phaúng (Oxy). Ñöôøng thaúng (Δ) qua M0(x0;y0) vaø nhaän 12(; )aaa =G laøm VTCP seõ coù  Phöông trình tham soá laø 0102.(): ).xx tatyy ta =+⎧Δ∈ ⎨=+⎩ \\  Phöông trình chính taéc laø :0012():xxyyaa−−Δ= yBAØI TAÄP AÙP DUÏNG: Baøi 1: Cho hai ñieåm A(-1;3), B(1;2). Vieát phöông trình\\ th am soá vaø chính taéc cuûa ñöôøng thaúng qu\\a A, Baøi 2: Caùc ñieåm P(2;3); Q(4;-1); R(-3;5) laø caùc trung ñieåm cuûa caùc caïnh cuûa moät tam giaùc .Haõy laäp phöông trình chính taéc cuûa caùc ñöôøng thaúng chöùa caùc caïnh cuûa tam giaùc ñoù. );(000yxMaK);(yxMxO2. Phöông trình toång quaùt cuûa ñöôøng thaú\\ng a. Phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua moät ñ\\ieåm M0(x0;y0) vaø coù VTPT (; )nAB =G laø: 97 00(): 0Axx ByyΔ−+ −= BAØI TAÄP AÙP DUÏNG: Baøi 1: Cho tam giaùc ABC bieát 1; 2), (5; 7), (4; 3)ABC−− 1. Vieát phöông trình caùc ñöôøng cao cuûa tam giaùc 2. Vieát phöông trình caùc ñöôøng trung tröïc cuûa tam giaùc Baøi 2: Cho tamgiaùc ABC vôùi A(1;-1) B(-2;1); C(3;5). a) Vieát phöông trình ñöôøng vuoâng goùc \\keû töø ñeán trung tuyeán BK cuûa tam giaùc ABC b) Tính dieän tích tam giaùc ABK. b. Phöông trình toång quaùt cuûa ñöôøng thaú\\ng Ñònh lyù :Trong maët phaúng (Oxy). Phöông trình ñöôøn\\g thaúng (Δ) coù daïng \\ Ax By vôùi 220AB+≠ Chuù yù: Töø phöông trình (Δ):Ax By ta luoân suy ra ñöôïc 1. VTPT cuûa (Δ) laø (; )nAB =G 2. VTCP cuûa (Δ) laø hay )aBA BA=−=−GG 3. (;000 0)()0Mxy Ax By C∈Δ Meänh ñeà (3) ñöôïc hieå\\u laø Ñieàu kieän caàn vaø \\ñuû ñeå moät ñieåm naèm treân ñöôø\\ng thaúng laø toïa ñoä ñieåm ñoù nghieäm ñuùng phöông \\trình cuûa ñöôøng thaúng BAØI TAÄP AÙP DUÏNG: Baøi 1: Vieát phöông trình tham soá cuûa ñöôøng \\tha úng bieát phöông trình toång quaùt cuûa noù l\\aø 52 3xy0−+= Baøi 2: Vieát phöông trình toång quaùt cuûa ñöôø\\ng thaúng qua M(-1;2) vaø song song ():2 0xyΔ−+=Baøi 3: Vieát phöông trình toång quaùt cuûa ñöôø\\ng thaúng qua N(-1;2) vaø vuoâng goùc ():2 0xyΔ−+=Baøi 4: Cho hai ñieåm A(-1;2) vaø B3;4) Tìm ñieåm treân ñöôøng thaúng x-2y+1=0 sao cho tam giaùc ABC vuoâng ôû C. Baøi 5: Cho A(1;1) B(-1;3) vaø ñöôøng thaúng d:x+y+4=0\\. a) Tìm treân ñieåm caùch ñeàu hai ñieåm \\A, B. b) Vôùi tìm ñöôïc Tìm sao cho ABCD laø hình bình haønh .Tính dieän tích hình bìn\\h haønh. )yM;(000x);(yxMnKyxO);(yM000x);AnK(B=xy);(ABa−=OK);(ABa−=K3. Caùc daïng khaùc cuûa phöông trình ñöôøng thaúng a. Phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm A(xA;yA) vaø B(xB;yB) ():AABA BAxxyyABxxyy−−=−− () :AABx x= :AABy 98 BAØI TAÄP AÙP DUÏNG: Cho tam giaùc ABC bieát A(1;-1), B(-2;1), C1;5). Vieát phöông trình ba caïnh cuûa tam giaùc b. Phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua moät ñ\\ieåm M0(x0;y0) vaø coù heä soá goùc k: Ñònh nghóa: Trong mp(Oxy) cho ñöôøng thaúng Δ. Goïi (,)Oxα=Δktg thì α= ñöôïc goïi laø heä soá goùc cuûañöôøng thaúng Ñònh lyù 1: Phöông trình ñöôøng thaúng qua 000(; )Mxy coù heä soá goùc laø \\ (1) 00y-y k(x-x Chuù yù 1: Phöông trình (1) khoâng coù chöùa phöông \\trình cuûa ñöôøng thaúng ñi qua M0 vaø vuoâng goùc Ox neân khi söû duïng ta caàn ñeå yù xeùt theâ\\m ñöôøng thaúng ñi qua M0 vaø vuoâng goùc Ox laø x0 Chuù yù 2: Neáu ñöôøng thaúng coù phöông trình Δyaxb=+ thì heä soá goùc cuûa ñöôøng thaúng laø\\ ka= Ñònh lyù 2: Goïi k1, k2 laàn löôït laø heä soá goùc cuûa hai ñö\\ôøng thaúng 12,ΔΔ ta coù 12 1// kkΔΔ =2• 12 12 1kΔ⊥Δ =−BAØI TAÄP AÙP DUÏNG: Vieát phöông trình ñöôøng thaúng qua A(-1;2)\\ vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng 34xy−+=0c. Phöông trình ñt ñi qua moät ñieåm vaø song so ng hoaëc vuoâng goùc vôùi moät ñt cho tröôù\\c: i. 11Phöông trình ñöôøng thaúng //( ): Ax+By+C=0 coù daïng: Ax+By+m =0ΔΔ ii. 12Phöông trình ñöôøng thaúng ): Ax+By+C=0 coù daïng: Bx-Ay+m =0Δ⊥ΔxyOα);(yxMxyy);(AAyxA );(BByxBy);(AAyxA);(BByxBAxBxAyBy);(AAyxA );(BByxBAyByxxO)yO;(yMx0x0yxChuù yù: ñöôïc xaùc ñònh bôûi moät ñieåm coù\\ toïa ñoä ñaõ bieát naèm treân 12;mm12;ΔΔ 0:11=++ΔmByAxxyO0x0:1=++ΔCByAx1M0:21=+−ΔmAyBxxyO0x1M0:1=++ΔCByAx BAØI TAÄP AÙP DUÏNG: Baøi 1: Vieát phöông trình toång quaùt cuûa ñöôø\\ng thaúng qua M(-1;2) vaø song song ():2 0xyΔ−+=Baøi 2: Vieát phöông trình toång quaùt cuûa ñöôø\\ng thaúng qua N(-1;2) vaø vuoâng goùc ():2 0xyΔ−+= III. Vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaú\\ng 99 Trong mp(Oxy) cho hai ñöôøng thaúng 111122 2(): 0(): 0AxByCAx By CΔ++=Δ++= Vò trí töông ñoái cuûa phuï thuoäc vaøo soá nghieäm cuûa heä phöông\\ trình 1() vaø )ΔΔ2 hay 1112220 0Ax By CAx By ++=⎧⎨++=⎩11 122 (1)Ax By CAx By +=−⎧⎨+=−⎩ Chuù yù: Nghieäm duy nhaát (x;y) cuûa heä (1) chính laø t\\oïa ñoä giao ñieåm cuûa 12() vaø )ΔΔ Ñònh lyù 1: 121212. Heä (1) voâ nghieäm //( Heä (1) coù nghieäm duy nhaát caét Heä (1) coù voâ soá nghieäm )iiiiii⇔ΔΔ⇔ΔΔ⇔Δ ≡Δ Ñònh lyù 2: Neáu 222;;ABC khaùc thì ΔΔ⇔≠ΔΔ =≠ Δ≡Δ =11122211 11222 2111222A. caét AA. // AA. A12Bi BBCiiBCBCiiiBC 1ΔxyO2Δ21//ΔΔ1ΔxyO2ΔyOΔ1x2Δ21 Δ≡Δ21 caétΔΔBAØI TAÄP AÙP DUÏNG: Baøi 1: Cho tam giaùc ABC coù phöông trình ba caïnh laø ():83170( ):3513():5210AB yAC yBC y0−+=−−=+−= Tìm toaï ñoä ba ñænh A, B, Baøi 2: Cho tamgiaùc ABC coù ñænh A(2;2) .Laäp phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC.Bieát raèng caùc ñöôøng thaúng 9x-3y-4=0 vaø x+y-2=0\\ laàn löôït laø caùc ñöôøng cao cuûa tam\\ giaùc xuaát phaùt töø vaø C. Baøi 3: Tuyø theo m, haõy bieän luaän vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng sau: 12:1:20dmx ymdxmy0+−−=+−= IV. Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng Ñònh lyù Trong mp(Oxy) cho hai ñöôøng thaúng 11112222(): 0(): 0AxByCAx By CΔ++=Δ++= Goïi (0) laø goùc giöõa 0090ϕ≤≤21() vaø )ΔΔ ta coù 1ΔxyO2Δϕ12 1222 2211 22cos.AABBABABϕ+=++ 100 Heä quaû: (12 1212) 0ABBΔ⊥Δ BAØI TAÄP AÙP DUÏNG: Baøi 1: Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua \\ñieåm A( 0;1) vaø taïo vôùi ñöôøng thaúng x+2y+3=0 \\ moät goùc baèng 450Baøi 2: Laäp phöông trình caùc caïnh cuûa hình vuoâng coù ñænh laø (-4;5) vaø moät ñ\\öôøng cheùo coù phöông trình 7x-y+8=0. V. Khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán moät ñöôøng thaúng Ñònh lyù 1: Trong mp(Oxy) cho hai ñöôøng thaúng ():0AxByC++= vaø ñieåm 000(; )Mxy Khoaûng caùch töø M0 ñeán ñöôøng thaúng ()Δ ñöôïc tính bôûi coâng thöùc: 000 22(;)AxByCdMAB++Δ=+ Ñònh lyù 2: Trong mp(Oxy) cho hai ñöôøng thaúng 11112222():0():0AxByCAx By CΔ++=Δ++= vaø Phöông trình phaân giaùc cuûa goùc taïo bôûi ()12ΔΔ laø 111 222 2211 222AxByC AxByCAB AB++ +=±++ 0MyOxH)(ΔyO1Δx2Δ