ôn thi thpt quốc gia môn toán chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác

Chuyeân ñeà 9: HEÄ THÖÙC LÖÔÏNG TRONG TAM GIAÙC TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA I. Caùc kyù hieäu: A, B, C: laø caùc goùc ñænh A, B, a, b, laø ñoä daøi caùc caïnh ñoái dieän vôùi caùc ñænh A, B, ha, hb, hc laø ñoä daøi caùc ñöôøng cao haï töø caùc ñænh A, B, ma, mb, mc laø ñoä daøi caùc ñöôøng trung tuyeán keû töø A, B, la lb, lc laø ñoä daøi caùc ñöôøng phaân giaùc trong keû töø A, B, laø baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC laø baùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc ABC 21(a+b+c) laø nöõa chu vi tam giaùc ABC laø dieän tích tam giaùc ABC cabmalahaHDMBAC II. Caùc heä thöùc löôïng trong tam giaùc vuoâng Trong tam giaùc vuoâng ABC Goïi ', ' laø ñoä daøi caùc hình chieáu caùc caïnh goùc vuoâng leân caïnh huyeàn ta coù caùc heä thöùc: ⎩⎨⎧== ==⎩⎨⎧== === += =+= ==gBbtgCbc gCctgBcbBaCac CaBabcbha cbh cbh cba cababcot.. cot...7cos.sin. cos.sin..6...5 111.4 ..3 .2...1222 ''2 222 ''2 46cbahc'b'HABC II. Caùc heä thöùc löôïng trong tam giaùc thöôøng 1. Ñònh lyù haøm soá COÂSIN: Trong tam giaùc ABC ta luoân coù Cabbac Bcaacb Abccbacos2 cos2 cos2222 222 222−+= −+= −+= 47 cbaABC Ghi nhôù: Trong moät tam giaùc, bình phöông moãi caïnh baèn toång bình phöông hai caïnh kia tröø ñi hai laàn tích ha caïnh aáy vôùi coâsin cuûa goùc xen giöõa chuùng. Heä quaû: Trong tam giaùc ABC ta luoân coù bc acbA2cos 222−+= acbcaB2cos 222−+= abcbaC2cos 222−+= 2. Ñònh lyù haøm soá SIN: Trong tam giaùc ABC ta coù RCcBbAa2sinsinsin === Heä quaû: Vôùi moïi tam giaùc ABC, ta coù: CRcBRbARa sin2,sin2,sin2===cabOABC Ghi nhôù: Trong moät tam giaùc, tyû soá giöõa moät caïnh cuûa tam giaùc vaø sin cuûa goùc ñoái dieän vôùi caïnh ñoù baèng ñöôøng kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc. 3. Ñònh lyù veà ñöôøng trung tuyeán: Trong tam giaùc ABC ta coù 42 42 422222 2222 2222cbam bcam acbmcba−+= −+= −+= 48 4. Ñònh lyù veà dieän tích tam giaùc: Dieän tích tam giaùc ABC ñöôïc tí nh theo caùc coâng thöùc sau: ))()((.5 .44.3 sin21sin21sin21.2 212121.1cpbpappS prS RabcS AbcBacAabS chbhahScba−−−= == === === cabmaMBACcabhaHBAC 5. Ñònh lyù veà ñöôøng phaân giaùc: ba Cablca Baclcb Abclcba+=+=+=2cos2;2cos.2;2cos.2 CAÙC DAÏNG TOAÙN CÔ BAÛN Daïng 1: CHÖÙNG MINH ÑAÚNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC TRONG TAM GIAÙC Ñeå chöùng minh ñaúng thöùc löôïng giaùc A=B ta coù theå thöïc hieän theo moät trong caùc phöông phaùp sau Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi veá naøy thaønh veá kia Phöông phaùp 2: Xuaát phaùt töø moät moät heä thöùc ñuùng ñaõ bieát ñeå suy ra ñaúng thöùc caàn chöùng minh VÍ DUÏ MINH HOÏA: Ví duï 1: Cho tam giaùc ABC. Chöùng minh caùc ñaúng thöùc sau: a) ABsin sin sin 4. cos cos cos22++ =C2 b) 222sin sin sin cos A. cos B. cos C++ +Ví duï 2: Cho tam giaùc ABC. Chöùng minh caùc ñaúng thöùc sau: a) (tgA tgB tgC tgA.tgB.tgC++ =ΔABC khoâng vuoâng) b) AB BC CAtg .tg tg .tg tg .tg 122 22 22 ++= Daïng 2: CHÖÙNG MINH BAÁT ÑAÚNG THÖÙC ÖÔÏNG GIAÙC TRONG TAM GIAÙC I. Baát ñaúng thöùc trong tam giaùc Neáu a, b, laø ba caïnh cuûa moät tam giaùc thì 0, 0, bc bc −<<+ ca ca −<<+ ab ab −<<+ abc ABC>>⇔ II. Caùc baát ñaúng thöùc cô baûn 1. Baát ñaúng thöùc Cauchy: 49Cho hai soá khoâng aâm a; ta coù 2abab+≥ Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi a=b Toång quaùt Cho soá khoâng aâm 1,a2,...an ta coù 12 12.... ...nnnaa aaa an+++ Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi a1 a2 =...= an Baát ñaúng thöùc Bunhiacoápski :Cho boán soá thöïc a,b,x,y ta coù 22222()()()ax by y+≤+ +Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi ay bx Toång quaùt Cho hai boä soá (, vaø ta coù 12,... )naa a12( ,..., )nbb 222 222 211 2( ... ... )( ... )nn nab +++ ≤+++ +++ Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi 1212 ...nnaaabb === vôùi quy öôùc raèng neáu maãu baèng thì töû cuõng baèng 3) Baát ñaúng thöùc cô baûn: 1111 ()4≤++xyxy a) Cho hai soá döông x, ta luoân coù: Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi b) Vôùi moïi soá thöïc x, ta luoân coù: xyyx 222≥+ Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi III. Baát ñaúng thöùc JENSEN 1) Neáu haøm soá y=f(x) coù ñaïo haøm caáp hai f''(x) );(bax∈∀ (f laø haøm loài) thì Vôùi moïi ta coù: );(,...,,21baxxxn∈ )...()(...)()(2121nxxxfn xfxfxfnn++≤+++ )2( ≥n Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi nxxx===...21 2) Neáu haøm soá y=f(x) coù ñaïo haøm caáp hai f''(x) );(bax∈∀(f laø haøm loõm) thì Vôùi moïi ta coù: );(,...,,21baxxxn∈ 50)...()(...)()(2121nxxxfn xfxfxfnn++≥+++ )2( ≥n Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi nxxx===...21 Ñeå chöùng minh ñaúng thöùc löôïng giaùc A,≥≤,) ta coù theå thöïc hieän theo moät trong caùc phöông phaùp sau: Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi baát ñaúng thöùc caàn chöùng minh ñeá ñeán moät baát ñaúng thöùc hieån nhieân ñuùng Phöông phaùp 2: Söû duïng caùc baát ñaúng thöùc cô baûn ñaõ bieát (Coâ si, BCS,...) ñeå suy ra baát ñaúng thöùc caàn chöùng minh VÍ DUÏ MINH HOÏA: Ví duï 1: Cho tam giaùc ABC. Chöùng minh raèng: 812sin.2sin.2sin≤CBA Ví duï 2: Cho tam giaùc ABC. Chöùng minh raèng: a) 332cos2cos2cos≤++ CBA b) 33sinsinsin ≤++ CBA c) 3222 ≥++ CtgBtgAtg Ví duï 3: Cho tam giaùc ABC. Chöùng minh raèng: a) 332cos.2cos.2cos≤CBA b) 33≥++ tgCtgBtgA c) 33 12.2.2 ≤CtgBtgAtg Daïng 3: NHAÄN DAÏNG TAM GIAÙC KIEÅU ÑEÀ TOAÙN 1: ⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎣⎡⎪⎪⎪ ⎩⎪⎪⎪⎨⎧Δ⇒⎥ ⎦⎤⎢⎣⎡ bieät....ñaëc goùc coù giaùc tamlaø ñeàu giaùc tamlaø caân giaùc tamlaø caân vuoâng giaùc tamlaø vuoâng giaùc tamlaø ABC tröôùc" cho kieänÑieàu" maõn thoûa ABC giaùc tam ChoTHÌ KIEÅU ÑEÀ TOAÙN 2: ⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎣⎡⎪⎪⎪ ⎩⎪⎪⎪⎨⎧Δ⇔⎥ ⎦⎤⎢⎣⎡ bieät....ñaëc goùc coù giaùc tamlaø ñeàu giaùc tamlaø caân giaùc tamlaø caân vuoâng giaùc tamlaø vuoâng giaùc tamlaø ABC tröôùc" cho kieänÑieàu" maõn thoûa ABC giaùc tam ChoVAØ ÑUÛ CAÀN 51"Ñieàu kieän cho tröôùc" coù theå laø: Ñaúng thöùc löôïng giaùc veà goùc Ñaúng thöùc löôïng giaùc ñoä daøi (caïnh, trung tuyeán, phaân giaùc,...) Ñaúng thöùc ñoä daøi Heä ñaúng thöùc 1) Nhaän daïng tam giaùc vuoâng Phöông phaùp: Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi töông ñöông hoaëc heä quaû ñeå bieán ñoåi "Ñieàu kieän cho tröôùc" ñeán moät ñaúng thöùc maø töø ñoù ta deå daøng keát luaän ñöôïc tính chaát cuûa tam giaùc 2) Nhaän daïng tam giaùc caân Phöông phaùp: Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi töông ñöông hoaëc heä quaû ñeå bieán ñoåi "Ñieàu kieän cho tröôùc" ñeán moät ñaúng thöùc maø töø ñoù ta deå daøng keát luaän ñöôïc tính chaát cuûa tam giaùc 3) Nhaän daïng tam giaùc ñeàu Ngoaøi phöông phaùp ñaõ neâu treân ta co theå giaûi quyeát baøi toaùn theo caùch sau Phöông phaùp söû duïng baát ñaúng thöùc: Goàm böôùc (aùp duïng khi "Ñieàu kieän cho tröôùc" coù daïng ñaúng thöùc Böôùc 1: CM baát ñaúng thöùc BA≥ hoaëc BA≤ (1) Böôùc 2: Laäp luaän ñeå ñaúng thöùc ôû (1) xaõy ra maø khi ñaúng thöùc (1) xaûy ra thì tam giaùc ABC ñeàu VÍ DUÏ MINH HOÏA: Ví duï 1: Tam giaùc ABC coù tgAABBA=++cossin cossin. Chöùng minh raèng ΔABC vuoâng Ví duï 2: Chöùng minh raèng neáu thoûa maõn ñieàu kieän ABCΔ 012cos2cos2cos =+++CBA thì tam giaùc ñoù laø tam giaùc vuoâng Ví duï 3: Chöùng minh raèng neáu tam giaùc ABC thoaû maõn mo ät trong caùc ñieàu kieän sau laø tam giaùc caân 1) CtgA tgB 2. cot g2+= 2) sin sin sin Ccot cot gsin sin sin 2++ =+− Ví duï 4: Chöùng minh raèng neáu tam giaùc ABC thoaû maõn moät trong caùc ñieàu kieän sau laø tam giaùc ñeàu 2) ABCcos cos cos222 31cosA 1cosB 1cosC ++ =+++ 52 1) 1cos A. cos B. cos C8= 3) ABcos cos cos sin sin sin22++ ++C2 4) 111 111ABcosA cosB cosCsin sin sin22++ ++C2 Ví duï 5: Xaùc ñònh daïng cuûa tam giaùc ABC bieát: 1) Cab tg (a.tgAb.tgB)2+= 2) bc acos cos sin B.sin += 3) bccos cos Ca++= 4) a.cosA b.cosB c.cosC abc 2++=++ Ví duï 6: Haõy tính caùc goùc cuûa tam giaùc ABC neáu trong tam giaùc ñoù ta coù 2229sin sin sin cos cos C4++ =+ +2Ví duï 7: Tính caùc goùc cuûa tam giaùc ABC bieát raèng ⎩⎪ ⎨⎧−=≤−83322sin2sin2sin )(4CBA bcapp trong ñoù BC a, AB c, 2cbap++= --------------------------------Heát--------------------------- 53