Ôn thi Đại học - Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình chứa căn

ĐẠI SỐ Phương trình Bất phương trình MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Phương trình, bất phương trình chứa căn thức là một phần quan trọng của môn Đại số bậc phổ thông. Đây cũng là dạng toán khiến các bạn học sinh gặp khó khăn vì dạng bài tập phong phú, đòi hỏi nhiều kỹ năng tính toán và biến đổi. Chúng tôi xin giới thiệu Một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình chứa căn thức để giúp các bạn học sinh cơ bản nắm được cách giải quyết các bài toán dạng này. I. Một số dạng cơ bản của phương trình, bất phương trình chứa căn thức. 1. Phương trình a) ()()()() ()0 fxfx gxfxgx ⎧≥⎪=⇔⎨=⎪⎩ b) ()()()() ()20 gxfx gxfxgx ⎧≥⎪=⇔⎨=⎡⎤⎪⎣⎦⎩ Vd1: Giải phương trình sau: ()232 11 xx x−+=− Hướng dẫn: Nhận xét: Phương trình có dạng ()()fxgx= nên ta giải như sau Ta có ()()2210132 1111 xxx xxxx−≥⎧⎪⇔⎨−+= −⎪⎩≥⎧⇔⇔=⎨=⎩ Vậy {}1 S= Vd2: Giải phương trình: ()2254 312 xx xx−+=− −+ Hướng dẫn: Ta có ()22222254231254054 312 xx xxxxxx xx ⇔−+=−−+⎧−+≥⎪⇔⎨−+=− −+⎪⎩ ()()21403280xxxx ⎧− ≥⎪⇔⎨−−=⎪⎩ĐẠI SỐ Phương trình Bất phương trình 1482686 xxxxx ⎧≤⎡⎪⎢≥⎣⎪−⎪⇔⇔=⎨=⎡⎪⎢−⎪⎢=⎪⎣⎩ Vậy 86 S⎧⎫=−⎨⎬⎩⎭ 2. Bất phương trình a) ()()()() ()200gxfx gxfxgx ⎧≥⎪<⇔⎨≤<⎡⎤⎪⎣⎦⎩ b) ()()()()()() ()2000 gxfxfx gxgxfxgx ⎡⎧<⎪⎢⎨≥⎢⎪⎩>⇔⎢⎧≥⎢⎪⎢⎨>⎡ ⎤⎢⎪⎣⎦⎩⎣ Vd3: Giải các bất phương trình sau: a) ()212 xx+≥ b) 225 43xxx−< −, 141;5 S⎡⎞=⎟⎢⎣⎠ Hướng dẫn a) Ta có ()()()2221012 112 10 xxxxx+≥⎧⎪+≥ ⇔⎨+≥ −≥⎪⎩22123010 xxxx≥−⎧⎪⇔−−≤⎨⎪−≥⎩ 11131311 xxxxxx ⎧⎪≥−⎪=−⎡⎪⇔−≤ ⇔⎨⎢≤≤⎣⎪≤−⎡⎪⎢⎪≥⎣⎩ Vậy tập nghiệm []{}1; S=∪− b)Ta có 225 43xxx−< −()()()2222501430250225 43xxxxxxx ⎡−<⎧⎢⎨−+ −≥⎩⎢⇔⎢−≥⎧⎪⎢⎨⎢−<−+−⎪⎩⎣ĐẠI SỐ Phương trình Bất phương trình Giải (1) ()55112213xxx ⎧<⎪⇔⇔≤<⎨⎪≤≤⎩ Giải (2) ()255514222142525242805 xxxxxx⎧⎧≥⎪≥⎪⎪⇔⇔⇔≤<⎨⎨⎪⎪<<−+<⎩⎪⎩ Từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình là 141;5 S⎡⎞=⎟⎢⎣⎠ II. CÁC PHƯƠNG PHÁP 1. Phương pháp bình phương liên tiếp Sử dụng phương pháp bình phương liên tiếp nhằm biến đổi phương trình, bất phương trình về dạng không còn chứa căn thức. Tuy nhiên khi bình phương hai vế của phương trình, bất phương trình nhớ đặt điều kiện cho hai vế cùng dấu (đối với phương trình có thể giải bằng phương trình hệ quả sau đó thử lại kết quả, còn đối với bất phương trình bắt buộc phải đặt điều kiện cho hai vế cùng dấu) Vd1: Giải phương trình 31 21 6xxx +− −= Hướng dẫn: Điều kiện 3101210 6260xxxx +≥⎧⎪⎧−≥ ≤⎨⎨⎩⎪−≥⎩ Với điều kiện trên ta có 31 21 631 21316 2126 212426 21xx xxxxxxx xxxxx+− −= −⇔+=−+−⇔+=−+−+ −⇔−= 26 21xxx ⇔−= ()2 x≥ ()22244 136317100523xxxxxxxxl ⇔−+=− −⇔−+==⎡⎢⇔⎢=⎣ Vậy {}5 S=ĐẠI SỐ Phương trình Bất phương trình Vd2: Giải bất phương trình ()1323 92 222 xx−− Hướng dẫn Điều kiện 309392 02 xxx −≥⎧⇔≤ ≤⎨−≤⎩ Với điều kiện trên ta có ()()()13223922219343 92 9244216 48 18 2xxxxxxxx ⇔−≥−+⇔−≥−++−⇔−≥−+− ()()218 64 0933392933 992xxxxx −≥⎧⎪⇔−≥−⇔⎨−≥−⎪⎩ 232329428981 576 1008 94 xxxxxxx ⎧≥⎪⎧≥⎪⎪⇔⇔⇔≥⎡⎨⎨≤⎢⎪⎪−+≥⎩⎢⎪≥⎣⎩ Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là 94;2 S⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 2. Phương pháp đặt ẩn phụ Mục đích của phương pháp đặt ẩn phụ là đưa phương trình bất phương trình về dạng cơ bản hoặc là dạng đã biết cách giải. Từ nghiệm của phương trình, bất phương trình mới ta suy ra nghiệm của phương trình, bất phương trình ban đầu. Chú ý: Phương trình, bất phương trình mới không tương đương với phương trình bất phương trình cũ (vì khác tập hợp nghiệm) mà chỉ tương đương theo nghĩa từ phương trình ,bất phương trình này ta suy ra nghiệm của phương trình, bất phương trình kia và ngược lại. Dạng 1. Đặt ẩn phụ khi thấy các biểu thức có dạng giống nhau. Đặt ()tfx=, đưa phương trình, bất phương trình theo biến về phương trình bất phương trình theo biến (Chú đặt điều kiện cho biến (nếu có)). Vd1: Giải phương trình 223293227xx xx−++ −+= Nhận xét: Ta thấy biểu thức dưới dấu căn đều có số hạng 232xx −, và đây là biểu thức chung, chú rằng chúng ta quan tâm đến nhũng biểu thức chung chứa biến, còn nếu có thêm hằng số cũng không quan trọng, và ta có thể đặt ẩn 232 tx x=−, để đưa phương trình về dạng cơ bản, tuy nhiên để bài toán được gọn hơn ta thường đặt ẩn phụ cho nguyên biểu thức căn, tức là đặt 2322 txx=−+ĐẠI SỐ Phương trình Bất phương trình Ta giải bài toán này như sau: Đặt 2322 txx=−+ điều kiện t≥. Khi đó 22329 7xx t−+= +. Phương trình trở thành () )222222777777 dk 7714493 tttttt ttttt++=⇔+=−⇔+=− ≤⇔+=−+⇔= Với t= ta có 22232233229327012231223 xxxxxxxx−+=⇔−+=⇔−−=⎡+=⎢⎢⇔⎢−=⎢⎣ Vậy 122122;33 S⎛⎞+−=⎜⎟⎝⎠ Vd2: Giải bất phương trình ()( )2145 528 xx xx++< ++ Hướng dẫn: Ta có: ()( )222145 528545 528 xx xxxx xx++< ++⇔++<++ Đặt 2528 tx x=++ điều kiện t≥. Khi đó bất phương trình trở thành: 224 tt−< 2524038 ttt ⇔−+<⇔−<< Kết hợp với điều kiện ta có 08t << (1) Với t< ta có: ()22225288528094 2536052864 xxxxxxxxxx ++ <∈⎧++≥⎧⎪⇔⇔⇔−<<⎨⎨+−<++<⎪⎩⎩\\ Với 205280 txx x>⇔ >⇔∈\\ (3) Từ (1), (2) và (3) ta có nghiệm của bất phương trình là ()9; S=− Vd3: Giải bất phương trình: ()2211 1xxxx−+> −+ĐẠI SỐ Phương trình Bất phương trình Hướng dẫn: Đặt 21 txx=−+, điều kiện t≥ suy ra ()()22121xx t−=− Bất phương trình trở thành: ()()22211210121tttttlt−+>⇔−−>⎡<−⎢⇔⎢>⎣ Với t> ta có 222011 11 01 xxx xx xxx<⎡−+>⇔ −+>⇔ ⇔⎢>⎣ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ()();0 1; S=−∞ +∞ Dạng 2. Các phương trình, bất phương trình có biểu thức ABmAB±± trong đó AB+ là hằng số. Khi đó đặt tAB=±, suy ra ()22 tABAB−+=±. Đưa phương trình bất phương trình về ẩn t. Vd4: Giải phương trình: 2)(5 4xxxx++ −+ Hướng dẫn: Điều kiện 25x−≤ Đặt 25 tx x=++− (điều kiện t≥). Suy ra ()()()()22772 25 72 25 252 ttxxxxxx−=+ =+ Khi đó phương trình trở thành: ()()22742215053tttttltn−+=⇔+−=⎡=−⇔⎢=⎢⎣ Với t= ta có: ()()()()25 372 25 925 xxxxxx++ =⇔++−=⇔+−= 2390 xx ⇔−−= ()()33523352 xnxn ⎡+=⎢⎢⇔⎢−=⎢⎣ĐẠI SỐ Phương trình Bất phương trình Vậy tập nghiệm của phương trình là 353 35;22 S⎧⎫+−⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭ Vd5: Giải bất phương trình: ()()21 92 32192 13xxxx++ Hướng dẫn Điều kiện 1922x −≤≤ Đặt 21 92 tx x=++− (điều kiện t≥). Suy ra ()( )21021922 txx−+−= Bất phương trình trở thành 2103. 132 tt−+> ()()2325601434 tttltn ⇔+−>⎡<−⎢⇔⎢>⎢⎣ Với t> ta có ()( )()( )221 92 410 162192 916 004xxxxxxxxx++−>⇔+ +−>⇔+−>⇔−>⇔<< Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là ()0; S= Dạng 3. Các phương trình có dạng 4mA nB pAB+± Khi đó đặt 4AtB (xét 0, BB=≠) Hoặc đặt 44, uAvB==. Tính theo v. Vd6: Giải phương trình 242124xxxx−−+− Hướng dẫn Điều kiện 210 120 21202xxxxxxxxx⎧⎪⎧+≥ ≥−⎪⎪⎪−≥ ≥⎨⎨⎪⎪≤−−−≥⎡⎩⎪⎢⎪≥⎣⎩ Đặt 441, 2axbx=+=− điều kiện 0ab≥ĐẠI SỐ Phương trình Bất phương trình Khi đó phương trình trở thành 22 2222 0122 ababab babab ⎡=⎢−= =⇔⎢=−⎢⎣ Với 22ab= ta có ()4412.2142 xx x+= += Với 12 ab=− ta có ()441121202 xxxx vn +=− += Vậy tập nghiệm của bất phương trình là {}3 S= Vd7: Giải bất phương trình 2423132 136 xxxx−+−− −≥ Hướng dẫn Điều kiện 221010 1231xxxxx ⎧−≥⎪−≥ ≥⎨⎪−+≥⎩ Ta thấy 1x= là nghiệm của bất phương trình. Xét 1x≠, chia hai vế của bất phương trình cho 24231xx −+ ta có 4421 13. 4.1216 xxxx−−−≥−− Đặt 4421 11121xxtxxt −−=⇒=−− (Điều kiện 0t>). Khi đó bất phương trình trở thành ()()2166641336460632 tltttttn−⎡≤⎢⎢−≥ −− ≥⇔⎢≥⎢⎣ Với 32 t≥ ta có ()421 219 501 512 1441 xxxxxxx−−−+≥⇔ ≥⇔ ≥⇔<≤−−− Vậy tập nghiệm của bất phương trình là []1; S= Dạng 4. Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình Vd8: Giải phương trình: 331212 xx −=+ Hướng dẫn Đặt 331212 ttx x−=+⇒= Khi đó ta có hệ ()()3312 112 xttx ⎧−=⎪⎨−=⎪⎩ Lấy (1) trừ (2) ta có:ĐẠI SỐ Phương trình Bất phương trình ()()()()()33 22222 0200 xt xt xtxt xt txt −= −=⇔− +++=⇔−= (Vì 222 2322024txxtt t⎛⎞+++= +>⎜⎟⎝⎠) Với tx= ta có ()()33 212 10 01152152 xxxx xxxxxx −= ⇔− −=⇔+ −−=⎡⎢=−⎢+⎢⇔=⎢⎢−⎢=⎢⎣ Vậy phương trình có nghiệm 15151; ;22 S⎧⎫+−⎪⎪=−⎨⎬⎪⎪⎩⎭ Vd9: Giải phương trình: ()3334 xx+− −= Hướng dẫn Đặt: 333334373 uxuvvx ⎧=+⎪⇒−=⎨=−⎪⎩ ()*1uv ⇔−= Ta có hệ: ()()3337 112 uvuv ⎧−=⎪⎨−=⎪⎩ () ()213uv ⇔=+, sau đó thay vào ()1 ta có: ()3313734 vvvv +−==⎡⇔⎢=−⎣ 333333043461 vx xvx •= −= ⇔=• =−⇔ =−⇔ =− Vd10: Giải phương trình: ()227 14 17 13 *xx xx x+−− −+= Hướng dẫn ()()22* 74 3171314 331713xx xx ⇔−++−−−+=−ĐẠI SỐ Phương trình Bất phương trình Đặt: ()22221317 131713 13 25 37333 03317 17 289 uxuxuuuuvx vv+⎧=⎪=−⎧⎪⎪⇔⎨⎨++ −+=−+≥⎛⎞⎛⎞⎪⎪⎩=− +=⎜⎟⎜⎟⎪⎝⎠⎝⎠⎩ ()* trở thành 274 14vu vu+− Ta có hệ: ()()22274 14 125 3732289 vu vuuuv ⎧+= +⎪⎨−+=⎪⎩ ()()()()2221494 1449 2828 49 0049 28vu vuuuvuuu vuuv ⇔+=+⇔= +⇔+−==⎡⇔⎢=−⎣ 13017 ux •=⇔= 49 28 uv •= Thay vào ()2: ()()222222249 28 25 49 28 373289289 784 2044 1549495 2044 1549 012133174615491549334954954952231495 vvvvv vvvxxvxxxvxxx −− −+=⇔=−+⇔−+=⎡=⎡⎢⎢=⎣⎢⎡=⎡−+=⎢⎢⎢⎡⇔⇔ ⇔=−⎢⎢⎢⎢=−+=⎢⎢⎣⎢⎣⎢⎢=⎢⎢⎣⎣ Thay các giá trị vào phương trình đầu ta nhận nghiệm: 7462,495 xx==− Vậy 746 13;;2495 17 S⎧⎫=−⎨⎬⎩⎭ Chú ý: Từ phương trình ta suy ra hệ, nên khi giải ra nghiệm ta phải thử lại. Phương pháp này chỉ hiệu quả trong việc giải phương trình, còn bất phương trình thì rất khó sử dụng.