ôn thi đại học môn toán chuyên đề khảo sát hàm số

Chuyeân ñeà 10: CAÙC BAØI TOAÙN CÔ BAÛN COÙ LIEÂN QUAN ÑEÁN KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ 1.BAØI TOAÙN ÑOÀ THÒ CUÛA HAØM SOÁ COÙ MANG DAÁU GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA Phöông phaùp chung: Ñeå veõ ñoà thò cuûa haøm soá coù mang daáu giaù trò tuyeät ñoái ta coù theå thöïc hieän nhö\\ sau: Böôùc 1: Xeùt daáu caùc bieåu thöùc chöùa bieán beân trong daáu giaù tr\\ò tuyeät ñoái Böôùc 2: Söû duïng ñònh nghóa giaù trò tuyeät ñoá\\i ñeå khöû daáu giaù trò tuyeät ñoái Phaân tích haøm soá ñaõ cho thaønh caùc phaàn khoâng où chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái Daïng haøm soá cho bôûi nhie\\àu coâng thöùc) Böôùc 3: Veõ ñoà thò töøng phaàn roài gheùp laïi(\\ Veõ chung treân moät heä truïc toïa ñoä) Caùc kieán thöùc cô baûn thöôøng söû duïng: 1. Ñònh nghóa giaù trò tuyeät ñoái ⎨⎧<− ≥=0A neáu 0A neáu AAA 2. Ñònh lyù cô baûn: ⎧±=≥⇔=BABBA 3. Moät soá tính chaát veà ñoà thò: a) Ñoà thò cuûa hai haøm soá y=f(x) vaø y=-f(x) ñoái xöùng nhau qua truïc hoaønh b) Ñoà thò haøm soá chaün nhaän truïc tung laø\\m truïc ñoái xöùng c) Ñoà thò haøm soá leû nhaän goác toïa ñ\\oä laøm taâm ñoái xöùng Ba daïng cô baûn: Baøi toaùn toång quaùt: Töø ñoà thò (C):y=f(x), haõy suy ra ñoà thò\\ caùc haøm soá sau: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧===)(:)()(:)()(:)(3 21xfyCxfyCxfyC 54Daïng 1: Töø ñoà thò )(:)()(:)(1xfyCxfyC=→= Caùch giaûi B1. Ta coù ⎨⎧<− ≥==(2) 0f(x) neáu (1) 0f(x) neáu )()()(:)(1xfxfxfyC B2. Töø ñoà thò (C) ñaõ veõ ta coù theå suy ra ñoà thò (\\C1) nhö sau: Giöõ nguyeân phaàn ñoà thò (C) naèm phía tr\\eân truïc Ox do (1) Laáy ñoái xöùng qua Ox phaàn ñoà thò (C) na\\èm phía döôùi truïc Ox do (2) Boû phaàn ñoà thò (C) naèm phía döôùi tr\\uïc Ox ta seõ ñöôïc (C1) Minh hoïa 55 Daïng 2: Töø ñoà thò ))(:)()(:)(2xfyCxfyC=→= ñaây laø haøm soá chaün) Caùch giaûi B1. Ta coù ⎩⎨⎧<− ≥==(2) 0x neáu (1) 0x neáu )()())(:)(2xfxfxfyC B2. Töø ñoà thò (C) ñaõ veõ ta coù theå suy ra ñoà thò (\\C2) nhö sau: Giöõ nguyeân phaàn ñoà thò (C) naèm phía be\\ân phaûi truïc Oy do (1) Laáy ñoái xöùng qua Oy phaàn ñoà thò (C) na\\èm phía beân phaûi truïc Oy do \\do tính chaát haøm chaün Boû phaàn ñoà thò (C) naèm phía beân traùi \\truïc Oy (neáu coù) ta seõ ñöôï (C2) f(x)=x^3-3*x+2-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 9-8 -6 -4-2 8xyy x3-3x+2f(x)=x^3-3*x+2f(x)=abs(x^3-3*x+2)-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -11 9-8 -6 -4 -2 8xy(C): x3-3x+223:)(31+−=xxyCy=x3-3x+2 y=x3-3x+2Minh hoïa: f(x)=x^3-3*x+2-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 9-6 -4 -2 8xyy x3-3x+2f(x)=x^3-3*x+2f(x)=abs(x^3)-abs(3*x)+2-9-8-7-6-5-4-3-2-1 123456789-8 -6 -4 -22 8xy(C): x3-3x+223:)(32+−=xxyCy=x3-3x+2 y=x3-3x+2 yyxxDaïng 3: Töø ñoà thò )(:)()(:)(3xfyCxfyC=→= Caùch giaûi B1. Ta coù ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧⎢⎣ −== ≥⇔= (2) (1) )()(0)()(:)(3xfyxfyxfxfyC B2. Töø ñoà thò (C) ñaõ veõ ta coù theå suy ra ñoà thò (\\C3) nhö sau: Giöõ nguyeân phaàn ñoà thò (C) naèm phía tr\\eân truïc Ox do (1) Laáy ñoái xöùng qua Ox phaàn ñoà thò (C) na\\èm phía treân truïc Ox do (2) Boû phaàn ñoà thò (C) naèm phía döôùi tr\\uïc Ox ta seõ ñöôïc (C3) Minh hoïa: 56 f(x)=x^3-3*x+2-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 9-8 -6 -4 -2 8xyy x3-3x+2y=x3-3x+2 xyf(x)=x^3-3*x+2f(x)=x^3-3*x+2f(x)=-(x^3-3*x+2)-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -11 9-8 -6 -4-2 246 8xy(C): x3-3x+223:)(33+−=xxyCxy y=x3-3x+2 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Cho haøm soá (1) xxy33+−= 1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá (1) 2. Töø ñoà thò (C) ñaõ veõ, haõy suy ra ñ\\oà thò caùc haøm soá sau: xxya3)3+−= b) xxy33+−= c) xxy33+−= Baøi 2: Cho haøm soá 1−+=xxy (1) 1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá (1) 2. Töø ñoà thò (C) ñaõ veõ, haõy suy ra ñ\\oà thò caùc haøm soá sau: 1)−+=xxya b) 1−+=xxy c) 1−+=xxy d) 1−+=xxy e) 1−+= xxy2.BAØI TOAÙN SÖÏ TÖÔNG GIAO CUÛA HAI ÑOÀ THÒ Baøi toaùn toång quaùt: Trong mp(Oxy) Haõy xeùt söï töông giao cuûa ñ\\oà thò hai haøm soá 12(C (x)(C g(x)=⎧⎨=⎩ xyyyxxOOO )(1C)(2C )(1C)(2C1x2x1M2M2y1y0M)(2C)(1C (C1) vaø (C2) khoâng coù ñieåm chung (C1) vaø (C2) caét nhau (C1) vaø (C2) tieáp xuùc nhau Phöông phaùp chung: Thieát laäp phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa ñoà thò hai haøm soá ñ\\aõ cho: f(x) g(x) (1) Khaûo saùt nghieäm soá cuûa phöông trình (1)\\ Soá nghieäm cuûa phöông trình (1) chính laø soá giao ñieåm cuûa hai ñoà thò\\ (C1) vaø (C2). 57 Ghi nhôù: Soá nghieäm cuûa pt (1) soá giao ñ\\ieåm cuûa hai ñoà thò (C1) vaø (C2). Chuù yù (1) voâ nghieäm (C1) vaø (C2) khoâng coù ñieåm ñieåm chung (1) coù nghieäm (C1) vaø (C2) coù ñieåm chung Chuù yù Nghieäm x0 cuûa phöông trình (1) chính laø hoaønh ñoä\\ ñieåm chung cuûa (C1) vaø (C2). Khi ñoù tung ñoä ñieåm chung laø y0 f(x0) hoaëc y0 g(x0). xy0y0xO AÙp duïng: Ví duï: Tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa ñöôøng con\\g (C): 112+−=xxy vaø ñöôøng thaúng 13:)(−−= xydMinh hoïa: f(x)=(2*x-1)/(x+1)f(x)=-3*x-1x(t)=-1 y(t)=tf(x)=2-20-15-10 -5 510 1520 25-20 -15 -10 -5510 15xy112:)(+−=xxyC13:)(−−=xyd b. Ñieàu kieän tieáp xuùc cuûa ñoà thò hai haø\\m soá Ñònh lyù (C1) tieáp xuùc vôùi (C1) heä coù nghieäm \'\'f(x) g(x)f(x) g(x)=⎧⎪⎨=⎪⎩ MOΔ)(1C)(2CyxAÙp duïng: Ví duï: Cho vaø 13:)(2−−=xxyP1 32:)(2− −+−=xxxyC. Chöùng minh raèng (P) vaø (C) tieáp xuùc nhau Minh hoïa: 58 f(x)=x^2-3*x-1f(x)=(-x^2+2*x-3)/(x-1)-20-15-10 -5 510 152025-15 -10 -551015xy)(C )(PBAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Cho haøm soá (1) 2(1)( )yx xmxm =− Xaùc ñònh sao cho ñoà thò haøm soá (1) ca ét truïc hoaønh taïi ñieåm phaân bieät. Baøi 2: Cho haøm soá (C) 3223yx =−−1 Goïi (d) laø ñöôøngthaúng ñi qua ñieåm M\\(0;-1) vaø coù heä soá goùc baèng k. Tìm ñeå ñöôøng thaúng (d) caét (C) taïi ba ñieåm phaân bieät. Baøi 3: Cho haøm soá (C) 233+−=xxy Goïi (d) laø ñöôøngthaúng ñi qua ñieåm A\\(3;20) vaø coù heä soá goùc baèng m. Tìm ñeå ñöô\\øng thaúng (d) caét (C) taïi ba ñieåm phaân bieät. Baøi Cho haøm soá (1) 421yx mx =− +− Xaùc ñònh sao cho ñoà thò haøm soá (1) ca ét truïc hoaønh taïi ñieåm phaân bieät. Baøi 5: Cho haøm soá 2242xxyx−+=− (1) Tìm ñeå ñöôøng thaúng (d): mx+2-2m caé\\t ñoà thò haøm soá (1) taïi hai ñieåm phaân bieät Baøi 6: Cho haøm soá 112+ −−=xxxy (1) Tìm ñeå ñöôøng thaúng (d): m(x-3)+1 ca\\ét ñoà thò haøm soá (1) taïi hai ñieåm phaân bieät Baøi 7: Cho haøm soá 2412xxyx++=+ Tìm caùc giaù trò cuûa ñeå ñöôøng tha\\úng (d):y=mx+2-m caét ñoà thò haøm soá taïi hai ñieåm phaân bieät thuoäc cuøng moät nhaùnh cuûa ñoà thò. Baøi 8: Cho haøm soá 21mx myx++=− (1) Tìm ñeå ñoà thò haøm soá (1) caét truï\\c hoaønh taò hai ñieåm phaân bieät vaø hai ñieåm ñoù coù\\ hoaønh ñoä döông Baøi 9: Cho haøm soá 211xmxyx+−=− (1) Ñònh ñeå ñöôøng thaúng y=m caét ñoà\\ thò haøm soá (1) taïi hai ñieåm phaân bieät A, sao cho OA OB⊥. Baøi 10: Tìm ñeå tieäm caän xieân cuûa haøm soá 211xmxyx+−=− caét caùc truïc toaï ñoä taïi hai ñieåm A,B sao cho dieän tích tam giaùc OAB baèng 8. Baøi 11: Cho haøm soá 231xyx+=+ Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) ñi qua ñieåm M(2;25) sao cho (d) caét ñoà thò (C) taïi hai ñieåm phaân A,B vaø laø trung ñieåm cuûa AB. Baøi 12: Cho haøm soá )1(2 332− −+−=xxxy (1) Tìm ñeå ñöôøng thaúng y=m caé\\t ñoà thò haøm soá (1) taïi hai ñieåm A,B sao ch\\o AB=1 Baøi 13: Cho haøm soá 2(1)()yxxmxm=− (1) Tìm ñeå ñoà thò haøm soá (1) tieáp xuù\\c vôùi truïc hoaønh. Xaùc ñònh toïa ñoä tie áp ñieåm trong moãi tröôøng hôïp tìm ñöôïc 59Baøi 14: Cho haøm soá 112−+−=xxxy. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua \\M(0;1) vaø tieáp xuùc vôùi ñoà thò haøm soá Baøi 15: Cho haøm soá 632−+−=xxxy (C) Tìm treân (C) taát caû caùc caëp ñieåm ñoái xöùng nhau qua ñieåm )1;21(I Baøi 16: Cho haøm soá 222−+−=xxxy (C) vaø hai ñöôøng thaúng 3:)(&:)(21+=+−=xydmxyd Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa ñeå (C)\\ caét (d1) taïi hai ñieåm phaân bieät A, ñoái xöùng\\ nhau qua (d2) Baøi 17: Cho haøm soá xxy 4+= (1) Chöùng minh raèng ñöôøng thaúng mxyd+=3:)( luoân caét (C) taïi hai ñieåm phaân bieät A,B. G\\oïi laø trung ñieåm cuûa ñoaïn th aúng AB, haõy tìm ñeå naèm treân ñöôø\\ng thaúng 32:)(+=Δxy 603.BAØI TOAÙN 3: TIEÁP TUYEÁN VÔÙI ÑÖÔØNG CONG a. Daïng 1: Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C):y f(x) taïi ñieåm 000M(x;y) (C)∈ (C): y=f(x) 0xx0yy0MΔ Phöông phaùp: Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) taïi M(x0;y0) coù daïng: 61 y0 x0 Trong ñoù x0 hoaønh ñoä tieáp ñieåm y0: tung ñoä tieáp ñieåm vaø y0=f(x0) heä soá goùc cu\\ûa tieáp tuyeán vaø ñöôïc tính bôûi coâ\\ng thöùc f\'(x0) AÙp duïng: Ví duï: Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò\\ haøm soá taïi ñieåm uoán cuûa noù 333+−=xxy `b. Daïng 2: Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ñoà\\ thò (C): y=f(x) bieát tieáp tuyeán coù heä soá goùc cho tröôùc Phöông phaùp: Ta coù theå tieán haønh theo caùc böôùc sau Böôùc 1: Goïi 00(; )()Mxy C∈ laø tieáp ñieåm cuûa tieáp tuyeán vôùi (C) Böôùc 2: Tìm x0 baèng caùch giaûi phöông trình \'0()fxk=, töø ñoù suy ra =? 00()yfx= Böôùc 3: Thay caùc yeáu toá tìm ñöôïc vaøo pt: y0 x0 ta seõ ñöôïc pttt caàn tìm. (C): y=f(x) 0xx0yy0MΔChuù yù Ñoái vôùi daïng ngöôøi ta coù theå cho heä soá\\ goùc döôùi daïng giaùn tieáp nhö tieáp tuyeán song song, tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi moät ñöôøng thaúng cho tröôùc (C): y=f(x) Δxyak/1−=Obaxy+=Δ:2 (C): y=f(x) xyak=baxy+=1Δ2Δ Khi ñoù ta caàn phaûi söû duïng caùc kieán thöùc sau: Ñònh lyù 1: Neáu ñöôøng thaúng coù phöông trình daïng y= ax+b thì heä soá \\goùc cuûa (ΔΔ) laø: kaΔ= 62 Ñònh lyù 2: Neáu ñöôøng thaúng () ñi qua hai ñieåm ΔBA( vaø B(x vôùi xAA BBAxy y≠ thì heä soá goùc cuûa laø BABAyykxxΔ−=− Ñònh lyù 3: Trong mp(Oxy) cho hai ñöôøng thaúng ()12 vaø )Δ. Khi ñoù: 12121212// .k 1ΔΔΔΔΔΔ⇔ =Δ⊥Δ =− AÙp duïng: Ví duï1: Cho ñöôøng cong (C):3211 232yx x=+−−43 Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán song song vôùi ñöôøng thaúng (d): 4x+2. Ví duï 2: Cho ñöôøng cong (C): 132++=xxy Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C bieát tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi ñöô\\øng thaúng xy3:)(−=Δ c. Daïng 3: Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C): y=f(\\x) bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm A(xA;yA) xAAAAyxxkyxxkyy+−=⇔−=−Δ)()(:O);(AAyxA)(:)(xfyC=Phöông phaùp: Ta coù theå tieán haønh theo caùc böôùc sau Böôùc 1: Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (Δ) qua vaø coù heä soá goùc laø bôûi coâ\\ng thöùc: )AAAy kx kx y−= ⇔= +A (*) Böôùc 2: Ñònh ñeå () tieáp xuùc vôùi (C). Ta coù: A\'f(x)=k(x-x tieáp xuùc (C) heä coù nghieäm (1)f( )Ayxk +⎧⎪Δ⇔ ⎨=⎪⎩ Böôùc 3: Giaûi heä (1) tìm k. Thay tìm ñöôïc vaøo\\ (*) ta seõ ñöôïc pttt caàn tìm. AÙp duïng: Ví duï1: Cho ñöôøng cong (C): 4323++=xxy Vieát phöông trình tieáp tuyeán vô\\ùi (C) bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm A(0;-1) Ví duï 2: Cho ñöôøng cong (C): 252xy x−=− Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm A(-2;0). BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (C) cuûa haøm soá Δxxxy323123+−= taïi ñieåm uoán vaø chöùng minh raèng laø tieáp tuyeán cuûa (C) coù heä soá goùc nh\\oû nhaát ΔBaøi 2: Cho ñöôøng cong (C): 212+ −+=xxxy Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi ñöôø\\ng thaúng 2:)(−=Δxy Baøi 3: Cho haøm soá 1632+++=xxxy (C) Tìm treân ñoà thò (C) caùc ñieåm maø tieáp tuyeán taïi ñoù vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng xyd31:)(= Baøi 4: Cho ñöôøng cong (C): 211xxyx++=+ Tìm caùc ñieåm treân (C) maø tieáp tuyeán vôùi (C) taïi ñoù vuoâng goùc vôùi tieäm caän xieân cuûa (C). Baøi 5: Cho haøm soá 112− −+=xxxy (C) Tìm caùc ñieåm treân ñoà thò (C) maø tieáp tuyeán taïi moãi ñieåm aáy vôùi ñoà\\ thò (C) vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc ñaïi\\, cöïc tieåu cuûa (C). Baøi 6: Cho haøm soá 3123123++=xmxy (Cm) Goïi laø ñieåm thuoäc (Cm) coù hoaønh ñoä baèng -1 Tìm ñeå tieáp tuyeán cuûa (Cm) taïi ñieåm song song vôùi ñöôøng thaúng 5x-y=0 Baøi 7: Cho ñöôøng cong (C): 2323+−=xxy Vieát phöông trình tieáp tuyeá vôùi (C) bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm M(2;-7) 63