Nón trụ vận dụng cao

VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Nón, trụ, cầu ChuyênNÓN-TRỤ đề 21 VẬN DỤNG CAO Câu 1. (HSG12 Ninh Bình 2018-2019) Một cơ sở sản xuất đồ gia dụng được đặt hàng làm các chiếc hộp kín hình trụ bằng nhôm để dựng rượu có thể tích là V  28 a 3  a  0  . Để tiết kiệm sản xuất và mang lại lợi nhuận cao nhất thì cơ sở sẽ sản xuất những chiếc hộp hình trụ có bán kính là R sao cho diện tích nhôm cần dùng là ít nhất. Tìm R . A. R  a 3 7 . B. R  2a 3 7 . C. R  2a 3 14 . D. R  a 3 14 . Lời giải Tác giả: Hương Giang ; Fb: Huong Giang Chọn D Gọi h là chiều cao hình trụ. 28a 3 Ta có thể tích khối trụ là: V  S .h  28 a   R .h  h  2 R 3 2 Diện tích toàn phần khối trụ là: Stp  2 R.h  2 R 2  2 R. 28a 3 56 a 3 2  2  R   2 R 2 2 R R Ta cần tìm R sao cho S tp min Xét hàm: f  R  56 a 3 56 a 3  2 R 2  f   R   4 R  R R2 f   R   0  4 R 3  56 a 3  0  4  R 3  14 a 3   0  R  a 3 14 . Lập bảng biến thiên ta có: Vậy S tp min khi và chỉ khi R  a 3 14 Câu 2. (HSG12 Tân Yên – Bắc Giang Năm 2019) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 5 . Tính thể tích V của khối nón nội tiếp tứ diện ABCD . 25 6 125 3 125 6 25 6 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 108 108 108 36 Lời giải Tác giả: Trần Thị Kim Thu ; Fb: Thu Tran Chọn C Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 577  VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Gọi O là tâm giác đều BCD và I là trung điểm của cạnh BC . Khối nón nội tiếp tứ diện đều ABCD có đường tròn đáy nội tiếp tam giác đều BCD và đỉnh là điểm A , khi đó khối nón này có bán kính đáy là r  OI  5 3 và chiều cao là h  OA  6 AD 2  OD 2  5 6 . Vậy thể tích của khối nón cần tìm 3 2 1 1  5 3  5 6 125 6 là V   r 2 h   .  .   . 3 3  6  3 108 Câu 3. (HSG12 tỉnh Bắc Ninh 2018 – 2019 ) Cho tứ diện ABCD có AB  6a ; CD  8a và các cạnh còn lại bằng a 74 . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . 100 2 a . A. S  96 a2 . B. S  100 a2 . C. S  25 a 2 . D. S  3 Lời giải Tác giả: Đỗ Tấn Lộc; Fb: Do Tan Loc Chọn B D N I A C M B Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD ta có: DCA  DBC  AN  BN Suy ra MN là trung trực của AB , tương tự MN là trung trực của DC Khi đó I  MN sao cho ID  IA Lại có AN  AD 2  DN 2  a 58  MN  AN 2  AM 2  7 a Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 578  VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Mặt khác IM  IN  R 2  AM 2  R 2  DN 2  R 2  9 a 2  R 2  16 a 2  7 a R5 Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là S  100 a2 . Câu 4. (HSG12 huyện Lương Tài Bắc Ninh năm 2019) Một người thợ muốn tạo một đồ vật hình trụ từ một khối gỗ hình hộp chữ nhật, có đáy là hình vuông và chiều cao bằng 1,25 m . Để tạo ra đồ vật đó người thợ vẽ hai đường tròn (C) và (C’) nội tiếp hai hình vuông của hai mặt đáy của khối gỗ hình hộp chữ nhật rồi dọc đi phần gỗ thừa theo các đường sinh của đồ vật hình trụ. Biết rằng, trong tam giác cong tạo bởi đường tròn (C) và hình vuông ngoại tiếp của (C) có một hình chữ nhật kích thước 0,3cm  0, 6cm (như hình vẽ) và mỗi mét khối gỗ thành phẩm có giá 20 triệu đồng. Hỏi người thợ cần số tiền gần nhất với số tiền của phương án nào dưới đây để tạo được 10 đồ vật như vậy. A. 196000 đồng. B. 65000 đồng. C. 176000 đồng. D. 58000 đồng Tác giả: Nguyễn Đăng Trúc; Fb: Trúc Xinh Lời giải Chọn C y I a M(6;3) x O Xét hệ trục Oxy như hình vẽ, 1 đơn vị trên trục là 1 milimet. Vì hình chữ nhật có kích thước 0,3cm  0, 6cm nên nếu ta gọi M là giao điểm của hình chữ nhật và đường tròn (C) thì ta có toạ độ M(6; 3). Vì đường tròn (C) nội tiếp hình vuông nên nếu ta cạnh hình vuông có độ dài là a ( a  3 ) thì ta có được tâm của đường tròn (C) là I (a; a ) . Theo đề bài ta có: (C ) : (x  a) 2  ( y  a) 2  a 2 . Vì M thuộc (C) nên ta có (6  a)2  (3  a)2  a 2  a 2  18a  45  0  a  3 (loại) hoặc a  15 (nhận). Vậy (C) có bán kính R = 15 cm = 0,015 m. Ta có thể tích V của khối gỗ thành phẩm là khối trụ có R = 0,015 m và h = 1,25 m. V   R 2 h   .0, 0152.1, 25  9 32000 Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 579  VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Vậy số tiền cần dùng để tạo 10 đồ vật như vậy: 10.20.106. 9  176714 (đồng). 32000 Câu 5. (HSG12 huyện Lương Tài Bắc Ninh năm 2019) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Một hình cầu (S) tiếp xúc với ba đường thẳng lần lượt tại B , C và D . Tính thể tích V của hình cầu (S).  a3 3  a3 2 4 a 3 8 a 3 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 2 3 81 27 Lời giải Tác giả: Hoàng Thảo; Fb: Hoàng Thảo Chọn C Gọi I là tâm của mặt cầu (S). Hình cầu (S) tiếp xúc với ba đường thẳng AB, AC , AD lần lượt tại B , C và D nên  ABI   ACI   ADI  90  A, B, C , D, I  S  E ; R  với E là trung điểm AI và bán kính bằng bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là R  Ta có AI  2 R  a 6 . 4 a 6 a 2  IB  IA2  AB 2  2 2 3 4  a 2   a3 2 Thể tích của hình cầu (S) là V    .   3  2  3 Câu 6. (HSG12 huyện Lương Tài Bắc Ninh năm 2019) Cho hình lăng trụ đứng ABCD. A’B’C’D’ có đáy là hình thang cân với đáy nhỏ AB  15 , đáy lớn CD  28 và chiều cao lăng trụ là h  12 . Biết rằng có một hình cầu (S) tiếp xúc với tất cả các cạnh đáy của hình lăng trụ đã cho. Hãy tính diện tích của hình cầu (S). A. 608 . B. 560 . C. 1824 . D. 564 . Lời giải Tác giả: Hồng Hạnh; Fb: Cactuss Lee Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 580  VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Chọn D Ta có: AD  BC  IO  JO  AB  CD 43 CD  AB 13  , HC   2 2 2 2 BH 645  105 , OB  IO 2  IB 2  , OC  JC 2  OJ 2  301 2 2 OK  OI  JO  105 (bán kính đường tròn nội tiếp hình thang cân ABCD ) 2 R( S ) h  GK     OK 2  141 2 Vậy diện tích hình cầu ( S ) cần tìm: S  4 R(2S )  564 . Câu 7. (HSG12 huyện Lương Tài Bắc Ninh năm 2019) Cho khối nón có chiều cao bằng 8 và độ dài đường sinh bằng 10. Thể tích của khối nón đã cho là: A. 96 . B. 140 . C. 128 . D. 124 . Lời giải Tác giả: Cao Xuân Hùng; FB: Cao Hùng Chọn A S O A Theo giả thiết, ta có h  SO  8, l  SA  10 . SOA vuông tại O nên suy ra R  OA  SA2  SO 2  100  64  6 . Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 581  VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 1 1 Vậy thể tích khối nón là V   R 2 h   .36.8  96 . 3 3 Câu 8. (HSG12 huyện Lương Tài Bắc Ninh năm 2019) Cho hình nón đỉnh S đáy là hình tròn tâm O, SA, SB là hai đường sinh biết SO  3, khoảng cách từ O đến  SAB  là 1 và diện tích tam giác SAB là 27. Tính bán kính đáy của hình nón trên. 15 2 3 130 A. . B. . C. 4 4 Lời giải. 530 . 4 D. 674 . 4 Tác giả:Phạm Quân. Facebook: Phạm Khánh Huyền Chọn B d  O;  SAB    OH  1. Ta có 1 1 1 1 8 3 2 .      OM  2 2 2 2 OM SO OH OM 9 4 Suy ra: SM  SO 2  OM 2  9 2 . 4 Gọi AM  MB  x  AB  2 x . Vì S SAB  1 9 2 1 .2 x  27  x  6 2  MB SM . AB  27 suy ra . 2 2 4 r  OB  OM 2  MB 2  3 130 4 Câu 9. (HSG12 tỉnh Bắc Ninh 2018 – 2019 ) Cho hình trụ có bán kính đáy r . Gọi O và O  là tâm của hai đường tròn đáy với OO  2r . Một mặt cầu tiếp xúc với hai đáy của hình trụ tại O và O  . Gọi Vc V và Vr làn lượt là thể tích của khối cầu và khối trụ. Khi đó c bằng Vt 3 1 2 3 A. . B. . C. . D. . 3 5 4 2 Lời giải Tác giả: Trần Vinh; Fb: Vinh Trần . Chọn A Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 582  VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Ta có thể tích khối trụ là Vt   .r 2 .OO  2 r 3 (1) 1 Mặt cầu tiếp xúc với hai đáy của hình trụ nên mặt cầu có bán kình R  OO  r , suy ra thể tích 2 4 4 khối cầu là Vc   R 3   r 3 (2) 3 3 4 3 r Vc 3 2   . Từ (1) và (2) ta có 3 Vt 2 r 3 Câu 10. (HSG12 tỉnh Bắc Ninh 2018 – 2019 ) Thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác đều cạnh có độ dài 2a . Thể tích của khối nón là  a3 3  a3 3  a3 3  a3 3 A. . B. . C. . D. . 3 12 2 6 Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Hồng Nhung; Fb: Nguyễn Thị Hồng Nhung Chọn A h R Gọi chiều cao và bán kính đáy của hình nón lần lượt là h và R . Ta có h  3 .2a  a 3 và R  2  2a  2  h2   2a  2   a 3  2  a. 1  a3 3 Vậy thể tích của khối nón là V  . R 2 .h  . 3 3 Câu 11. (HSG11 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2018-2019) Một tấm vải hình chữ nhật được cuốn 100 vòng Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 583  VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 (theo chiều dài tấm vải) quanh một lõi hình trụ có bán kính đáy bằng 5cm sao cho mép vải luôn song song với trục của hình trụ. Biết rằng bề dày tấm vải là 0,3 cm. Tính chiều dài tấm vải đó. Lời giải Tác giả: Nguyễn Như Hưng; Fb: Nguyen Hung Chiều dài của vòng thứ 1 là 2 .5  cm  . Chiều dày của vòng thứ 2 là 2  5  0, 3  cm  . Chiều dày của vòng thứ 3 là 2  5  2.0, 3  cm  . …. Chiều dày của vòng thứ 100 là 2  5  99.0, 3  cm  . Suy ra chiều dài tấm vải là 99.100   2  5.100  0,3 1  2  3   99    2  500  0,3.   3970  cm  . 2   [email protected] [email protected] Câu 12. (HSG12 Thành Phố Đà Nẵng 2018-2019)Trong không gian cho tam giác ABC có   120. Gọi M là điểm thay đổi thuộc mặt cầu tâm B, bán kính R. Giá trị nhỏ AB  2 R, AC  R, CAB nhất của MA  2 MC là A. 4R . B. 6R . C. R 19 . D. 2R 7 . Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Mạnh ; Fb: Nguyễn Văn Mạnh Phản biện: Trần Thanh Sơn; Fb: Trần Thanh Sơn Chọn C C A M E F B Gọi E là giao điểm của AB với mặt cầu S  B; R  và F là trung điểm của EB ta có E là trung điểm của AB , BE  BM  R . 2   R 2   3R   2.R. 3R .cos120  19 R AFC có FC  AC  AF  2 AC . AF .cosCAB   2 4  2  2 2 2 2 Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 584  VŨ NGỌC THÀNH 0367884554  FC  TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 R 19 2 BFM Xét hai tam giác  ABM chung MA AB    2  MA  2MF  BF BM 1  BFM  BMA  FM MB     BM BA 2 Khi đó MA  2 MC  2  MF  MC   2 FC  2. và BMA có: R 19  MA  2 MC  R 19 2 Vì F nằm trong mặt cầu  S  và C nằm ngoài mặt cầu  S  nên dấu “=” xảy ra khi M là giao điểm của FC và  S  , do đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA  2 MC là R 19 . Câu 13. (HSG12 Tỉnh Nam Định 2018-2019) Cho hai mặt phẳng  P  ,  Q  song song với nhau cắt khối cầu tâm O , bán kính R tạo thành hai hình tròn cùng bán kính. Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm của một trong hai hình tròn, đáy trùng với hình tròn còn lại. Tính khoảng cách giữa  P  ,  Q  để diện tích xung quanh của hình nón là lớn nhất. A. R . B. R 2 . C. 2R 3 . 3 D. 2 R 3 . Lời giải S O A B H Chọn C Cắt hình nón bởi mặt phẳng qua trục, ta được thiết diện như hình trên. Khi đó, ta có OA  R . Đặt OH  x , ta có SH  2 x , AH  R 2  x 2 , SA  R 2  3 x 2 . Diện tích xung quanh của hình nón là S xq   AH  SA   R 2  x 2  R 2  3x 2 . Ta có R2  x2  R2  3x2  3 2R2 3 .  3R 2  3 x 2  R 2  3 x 2  3 3 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3R 2  3 x 2  R 2  3 x 2  x  R 3 . 3 Câu 14. (HSG12 tỉnh Hà Tĩnh năm 2018-2019) Một cái phễu có dạng hình nón chiều cao của phễu là Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 585  VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 3 7 h 2 ( hình H1 ). Ta bịt kín miệng phễu rồi lật ngược phễu lên ( hình H 2 ), gọi chiều cao của cột nước k trong phễu ở hình H 2 là k . Tính . h Lời giải h. Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của lượng nước trong phễu là h1  Cho hình chóp như hình vẽ bên. Đặt SO1  h1; SO  h; AO1  r1; CO  r . Ta có SO1 AO1 h r  t 1  1 t SO CO h r Gọi V1;V2 lần lượt là thể tích của khối nón tròn xoay khi quay SA; SC quanh trục SO1 Ta có 1  V1   r12 h1  2  V1  r1  h1 3 3 t    1 2  V r h V1   r h  3 Áp dụng kết quả trên ta có : 3 3 V1  h1   3 7  7 7 Thể tích phần chứa nước là       V1  V V h  2  8 8 1 Suy ra thể tích phần không chứa nước là V2  V . Chiều cao của phần phễu không chứa nước trong 8 3 V hk  1 h k 1 hình H 2 là h  k . Ta có 2      2  h  k   h  k  . Vậy  . h 2 V  h  8 2   60 , BC  a , SA   ABC  . Câu 15. (HSG12 Ninh Bình 2018-2019) Cho hình chóp S. ABC có BAC Gọi M , N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB , SC . Bán kính mặt cầu đi qua các điểm A, B, C, M , N bằng: A. 3a . 3 B. 2 3a . 3 C. a . Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ D. 2a .  Trang 586 