Nguyên hàm, tích phân ứng dụng

MỤC LỤC CHƯƠNG 1 Nguyên hàm - tích phân ứng dụng 1 9 Nguyên hàm 9 Dạng 1.1. Tính nguyên hàm bằng bảng nguyên hàm 10 Dạng 1.2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số 77 Dạng 1.3. Nguyên hàm từng phần 2 113 Tích phân 128 A Tóm tắt lý thuyết 128 B Dạng toán và bài tập 128 Dạng 2.1. Tích phân cơ bản và tính chất tính phân 128 Dạng 2.2. Tích phân hàm số phân thức hữu tỉ 145 Dạng 2.3. Tính chất của tích phân 150 Zb | f (x) | dx Dạng 2.4. Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 180 a Dạng 2.5. Tích phân từng phần 185 C Tóm tắt lý thuyết 217 D Dạng toán và bài tập 218 Dạng 2.1. 218 Dạng 2.2. 223 Dạng 2.3. Đổi biến biểu thức chứa ln, ex hoặc lượng giác trong dấu căn 232 Dạng 2.4. Đổi biến biểu thức chứa hàm ln không nằm trong căn 239 Zb f (ex ) ex dx. 249 f (sin x) cos x dx 252 Dạng 2.5. Tính I = a Zb Dạng 2.6. Tính a 1 2 MỤC LỤC Dạng 2.7. 261 Dạng 2.8. 268 Zb f (sin x ± cos x) dx 276
f sin2 x, cos2 x sin 2x dx 282 Dạng 2.9. I = a Zb Dạng 2.10. a Zb Dạng 2.11. I = f Ä√ ä a2 − x2 x2n dx 284 a Zβ Dạng 2.12. I = f ÄÄ√ x 2 + a2 äm ä x2n dx 287 α Zβ Dạng 2.13. Ç… f a±x a∓x α 3 Zβ å dx; (a + dx √ n bxn ) a + bxn ; α Ứng dụng tích phân A 294 299 Dạng toán và bài tập 299 Dạng 3.1. Diện tích hình phẳng và bài toán liên quan 299 Dạng 3.2. Tìm vận tốc, gia tốc, quãng đường trong vật lí 307 B Tóm tắt lý thuyết 313 C DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP 314 Dạng 3.1. Tính thể tích của vật thể 314 Dạng 3.2. Tính thể tích của vật thể tròn xoay 318 CHƯƠNG 1 NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG BÀI 1. NGUYÊN HÀM Định nghĩa 1 (Khái niệm nguyên hàm). Cho hàm số f (x) xác định trên tập K . 1 Hàm số F (x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f (x) trên K nếu F 0 (x) = f (x), ∀x ∈ K . 2 Nếu FZ(x) là một nguyên hàm của f (x) trên K thì họ nguyên hàm của hàm số f (x) trên K là f (x) dx = F (x) + C, với C là hằng số thuộc R. Tính chất 1. Nếu f (x) và g(x) là hai hàm số liên tục trên K và k 6= 0 thì ta luôn có Z Z Z 0 00 0 f (x) dx = f (x) + C, f (x) dx = f (x) + C, f 000 (x) dx = f 00 (x) + C, · · · 1 Z Z k · f (x) dx = k · 2 Z f (x) dx. Z [f (x) ± g(x)] dx = 3 Z f (x) dx ± g(x) dx. 4 F 0 (x) = f (x). Tính chất 2. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp (với C là hằng số tùy ý) Nguyên hàm Nguyên hàm mở rộng Z Z kdx = k · x + C 0dx = C 1 xα+1 2 x dx = + C,α 6= −1 α+1 Z 1 1 3 dx = − + C 2 x Z x x a 4 ax dx = +C ln a Z 5 ex dx = ex + C Z 1 6 dx = ln |x| + C Z x Z Z α Z Z Z Z Z cos x dx = sin x + C 7 Z Z sin x dx = − cos x + C 8 Z Z 1 9 dx = tan x + C 2 Z cos x 1 dx = − cot x + C 10 sin2 x Z 3 1 (ax + b)α+1 (ax + b) dx = · + C,α 6= −1 a α+1 dx 1 1 +C 2 = − . a ax + b (ax + b) 1 amx+n amx+n dx = · +C m ln a 1 eax+b dx = eax+b + C a 1 1 dx = . ln |ax + b| + C ax + b a 1 cos (ax + b) dx = · sin (ax + b) + C a 1 sin (ax + b) dx = − cos (ax + b) + C a 1 1 dx = tan (ax + b) + C cos2 (ax + b) a 1 1 dx = − cot (ax + b) + C 2 a sin (ax + b) α 4 CHƯƠNG 1. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG { DẠNG 1.1. Tính nguyên hàm bằng bảng nguyên hàm Phương pháp giải PP 1 Tích của đa thức hoặc lũy thừa − −−−−−−−→ khai triển. PP 2 Tích các hàm mũ − −−−−−−−→ khai triển theo công thức mũ. PP 3 Chứa căn − −−−−−−−→ chuyển về lũy thừa. PP 4 Tích lượng giác bậc một của sin và cosin − −−−−−−−→ Sử dụng công thức tích thành tổng. 1 [sin(a + b) + sin(a − b)] • sin a cos b = 2 1 [cos(a − b) − cos(a + b)] 2 1 • cos a cos b = [cos(a + b) + cos(a − b)] 2 5 Bậc chẵn của sin và cosin ⇒ Hạ bậc: sin2 x = • sin a sin b = 1 1 1 1 − cos 2a, cos2 x = + cos 2a. 2 2 2 2 Z P (x) dx, với P (x), Q(x) là các đa thức. Q(x) PP • Nếu bậc của tử số P (x) ≥ bậc của mẫu số Q(x)−−−−−−−−→ Chia đa thức. PP • Nếu bậc của tử số P (x) < bậc của mẫu số Q(x)−−−−−−−−→ Phân tích mẫu số Q(x) thành tích số, rồi sử dụng đồng nhất thức đưa về dạng tổng của các phân số (PP che). A Bx + C 1 = + 2 , với ∆ = b2 − 4ac. † 2 (x − m)(ax + bx + c) x − m ax + bx + c 1 A B C D † = + + + . 2 2 2 (x − a) (x − b) x − a (x − a) x − b (x − b)2 6 Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ I = Nhận xét. Nếu mẫu không phân tích được thành tích sẽ tìm hiểu ở phần đổi biến. 1. Bài tập áp dụng BÀI 1. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) (giả sử điều kiện được xác định), biết 1 1 f (x) = 3x2 + x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 x2 ĐS: x3 + +C 6 Lời giải. Z Å ã 1 x2 2 3 Ta có F (x) = 3x + x dx = x + + C.  3 6 2 f (x) = 2x3 − 5x2 − 4x + 7 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: 1 4 5 3 x − x − 2x2 + 7x + C 2 3 Lời giải. Z Ta có F (x) =
1 5 2x3 − 5x2 − 4x + 7 dx = x4 − x3 − 2x2 + 7x + C. 2 3  1. NGUYÊN HÀM 5 3 f (x) = 6x5 − 12x3 + x2 − 8 =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 ĐS: x6 − 3x4 + x3 − 8x + C 3 Lời giải. Z Ta có F (x) =
1 6x5 − 12x3 + x2 − 8 dx = x6 − 3x4 + x3 − 8x + C. 3  4 f (x) = (x2 − 3x)(x + 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 1 ĐS: F (x) = x4 − x3 − x2 + C 4 3 2 Lời giải. Z Z 2 (x − 3x)(x + 1)dx = Ta có F (x) = 1 2 3 (x3 − 2x2 − 3x)dx = x4 − x3 − x2 + C. 4 3 2  5 f (x) = (x − 1)(x2 + 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 ĐS: F (x) = x4 − x3 + x2 − 2x + C 4 3 Lời giải. Z Z 2 (x − 1)(x + 2)dx = Ta có F (x) = 1 1 (x3 − x2 + 2x − 2)dx = x4 − x3 + x2 − 2x + C. 4 3  6 f (x) = x(x2 + 1)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 ĐS: F (x) = (x2 + 1)3 + C 6 Lời giải. Z Ta có F (x) = 2 Z 2 x(x + 1) dx = (x2 + 1)2 d(x2 + 1) 1 = (x2 + 1)3 + C. 2 6  7 f (x) = (3 − x)3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 ĐS: F (x) = − (3 − x)4 + C 4 Lời giải. Z Z 3 (3 − x) dx = − Ta có F (x) = 1 (3 − x)3 d(3 − x) = − (3 − x)4 + C. 4  8 f (x) = (2x + 1)5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: F (x) = 1 (2x + 1)6 + C 12 Lời giải. Z Ta có F (x) = 5 (2x + 1) dx = Z (2x + 1)5 d(2x + 1) 1 = (2x + 1)6 + C. 2 12  6 CHƯƠNG 1. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG 9 f (x) = (2x − 10)2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: F (x) = 1 (2x − 10)2019 + C 4038 Lời giải. Z 2018 (2x − 10) Ta có F (x) = 1 dx = 2 Z (2x − 10)2018 d(2x − 10) = 1 (2x − 10)2019 + C. 4038  10 f (x) = (3 − 4x)2019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: F (x) = − 1 (3 − 4x)2020 + C 8080 Lời giải. Z (3 − 4x) Ta có F (x) = 2019 1 dx = − 4 Z (3 − 4x)2019 d(3 − 4x) = − 1 (3 − 4x)2020 + C. 8080  11 f (x) = (2x2 − 1)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 ĐS: F (x) = x5 − x3 + x + C 5 3 Lời giải. Z 2 Z 2 (2x − 1) dx = Ta có F (x) =
4 4 4x4 − 4x2 + 1 dx = x5 − x3 + x + C. 5 3  12 f (x) = (x2 + 1)3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 ĐS: F (x) = x7 + x5 + x3 + x + C 7 5 Lời giải. Z Ta có F (x) = 2 Z 3 (x + 1) dx =
1 3 x6 + 3x4 + 3x2 + 1 dx = x7 + x5 + x3 + x + C. 7 5  BÀI 2. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện F (x◦ ) = k. 1 Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 4x3 − 4x + 5 thỏa mãn F (1) = 3 . . . . . . . . . . . . . . ĐS: F (x) = x4 − 2x2 + 5x − 1 Lời giải. Z Ta có F (x) = Z f (x)dx =
4x3 − 4x + 5 dx = x4 − 2x2 + 5x + C. Vì F (1) = 3 ⇔ 1 − 2 + 5 + C = 3 ⇔ C = −1. Suy ra F (x) = x4 − 2x2 + 5x − 1.  1. NGUYÊN HÀM 7 2 Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = −x3 + 3x2 − 2x thỏa mãn F (1) = 0 . . . . . . . . . . . ĐS: F (x) = − x4 1 + x3 − x2 + 4 4 Lời giải.
x4 −x3 + 3x2 − 2x dx = − + x3 − x2 + C. 4 1 x4 1 Vì F (1) = 0 nên C = . Suy ra F (x) = − + x3 − x2 + . 4 4 4 Z Ta có F (x) = Z f (x) dx =  3 Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 3x3 − 2x2 + 1 thỏa mãn F (−2) = 3 . . . . . . . . . . . . ĐS: F (x) = 37 3x4 2x3 − +x− 4 3 3 Lời giải.
3x4 2x3 3x3 − 2x2 + 1 dx = − + x + C. 4 3 37 3x4 2x3 37 Vì F (−2) = 3 nên C = − . Suy ra F (x) = − +x− . 3 4 3 3 Z Ta có F (x) = Z f (x) dx =  4 Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = −5x4 + 4x2 − 6 thỏa mãn F (3) = 1. Tính F (−3) ĐS: F (−3) = 451 Lời giải.
4x3 − 6x + C. −5x4 + 4x2 − 6 dx = −x5 + 3 4x3 − 6x + 226. Vì F (3) = 1 nên C = 226. Suy ra F (x) = −x5 + 3 Do đó F (−3) = 451. Z Ta có F (x) = Z f (x) dx =  5 Hàm số f (x) = x3 + 3x2 + 2 có một nguyên hàm F (x) thỏa F (2) = 14. Tính F (−2). . . . . . . . . . . . ĐS: F (−2) = −10 Lời giải.
x4 + x3 + 2x + C. x3 + 3x2 + 2 dx = 4 x4 Vì F (2) = 14 nên C = −2. Suy ra F (x) = + x3 + 2x − 2. 4 Do đó F (−2) = −10. Z Ta có F (x) = Z f (x) dx =  6 Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = (1 − x)9 thỏa 10F (2) = 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: F (x) = − (1 − x)10 +1 10 Lời giải.
(1 − x)10 (1 − x)9 dx = − + C. 10 (1 − x)10 Vì 10F (2) = 9 nên C = 1. Suy ra F (x) = − + 1. 10 Z Ta có F (x) = Z f (x) dx =  8 CHƯƠNG 1. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG Å ã Å ã 3 1 7 Hàm số f (x) = (2x + 1) có một nguyên hàm là F (x) thỏa F = 4. Tính F ........... 2 2 Å ã 3 ĐS: F = 34 2 3 Lời giải.
(2x + 1)4 + C. Ta có F (x) = f (x) dx = (2x + 1)3 dx = 8 Å ã 1 (2x + 1)4 Vì F = 4 nên C = 2. Suy ra F (x) = + 2. 2Å ã 8 3 Do đó F = 34. 2 Z Z  Å ã 2 1 = . Tính F (1) . . . . . . . . . . . 8 Hàm số f (x) = (1 − 2x) có một nguyên hàm là F (x) thỏa F − 2 3 Å ã 71 3 = ĐS: F 2 12 5 Lời giải.
(1 − 2x)6 Ta có F (x) = f (x) dx = (1 − 2x)5 dx = − + C. 12 Å ã 1 2 (1 − 2x)6 Vì F − = nên C = 6. Suy ra F (x) = − + 6. 2Å ã 3 12 71 3 = . Do đó F 2 12 Z Z  1 . Tính giá trị của biểu 3 thức P = log2 [3F (1) − 2F (2)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = (2x − 3)2 thỏa F (0) = ĐS: P = log2 [3F (1) − 2F (2)] = 2 Lời giải.
(2x − 3)3 (2x − 3)2 dx = + C. 6 29 (2x − 3)3 29 13 1 Vì F (0) = nên C = . Suy ra F (x) = + ⇒ F (1) = ; F (2) = 5. 3 6 6 6 3 Do đó P = log2 [3F (1) − 2F (2)] = 2. Z Ta có F (x) = Z f (x) dx =  1. NGUYÊN HÀM 9 10 Gọi F1 (x) là một nguyên hàm của hàm số f1 (x) = x(x + 2)2 thỏa F1 (0) = 1 và F2 (x) là một nguyên hàm của hàm số f2 (x) = x3 + 4x2 + 5 thỏa F2 (0) = −2. Tìm nghiệm của phương trình F1 (x) = F2 (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ™ ß 3 ĐS: 1; 2 Lời giải. Z Ta có F1 (x) = Z f1 (x) dx = 2 x(x + 2) dx = Z
x4 4x3 x3 + 4x2 + 4x dx = + + 2x2 + C. 4 3 x4 4x3 Vì F1 (0) = 1 nên C = 1. Suy ra F1 (x) = + + 2x2 + 1 (1). 4 3 Z Z 3 4
4x x + + 5x + C. Tương tự F2 (x) = f2 (x) dx = x3 + 4x2 + 5 dx = 4 3 x4 4x3 Vì F2 (0) = −2 nên C = −2. Suy ra F2 (x) = + + 5x − 2 (2). 4 3  x=1 Từ (1) và (2), ta có F1 (x) = F2 (x) ⇔ 2x2 + 1 = 5x − 2 ⇔ 2x2 − 5x + 3 = 0 ⇔  3 x= . 2  11 Gọi F1 (x) là một nguyên hàm của hàm số f1 (x) = (x + 1)(x + 2) thỏa F1 (0) = 0 và F2 (x) là một nguyên hàm của hàm số f2 (x) = x2 + x − 2 thỏa F2 (0) = 0. Biết phương trình F1 (x) = F2 (x) có hai nghiệm là x1 , x2 . Tính 2x1 + 2x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ĐS: 16 Lời giải. Z Z Z
x3 3x3 2 Ta có F1 (x) = f1 (x) dx = (x + 1)(x + 2) dx = x + 3x + 2 dx = + − 2x + C. 3 2 x3 3x3 + − 2x (1). Vì F1 (0) = 0 nên C = 0. Suy ra F1 (x) = 3 2 Z Z 3
x x2 Tương tự F2 (x) = f2 (x) dx = x2 + x2 − 2 dx = + − 2x + C. 3 2 x3 x2 Vì F2 (0) = 0 nên C = 0. Suy ra F2 (x) = + − 2x (2). 3 2 ñ x=0 3x2 x2 Từ (1) và (2), ta có F1 (x) = F2 (x) ⇔ + 2x = − 2x ⇔ x2 + 4x = 0 ⇔ 2 2 x = −4. 17  Khi đó 20 + 2−4 = . 16 BÀI 3. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) (giả sử điều kiện được xác định). 1 1 f (x) = x − 3x + ⇒ F (x) = x 2 Z f (x) dx =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: x3 3 2 − x + ln |x| + C 3 2 Lời giải. Z Å ã 1 x3 3 2 2 Ta có F (x) = x − 3x + dx = − x + ln |x| + C. x 3 2  10 CHƯƠNG 1. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG 1 2 f (x) = 3x + − 2 ⇒ F (x) = x 2 Z f (x) dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: x3 + ln |x| − 2x + C Lời giải. Z Å ã 1 2 Ta có F (x) = 3x + − 2 dx = x3 + ln |x| − 2x + C. x 1 2 3 f (x) = 3x − − 2 ⇒ F (x) = x x 2  Z f (x) dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: x3 − 2 ln |x| + 1 +C x Lời giải. Z Å ã 2 1 1 2 Ta có F (x) = 3x − − 2 dx = x3 − 2 ln |x| + + C. x x x  Z 2 x2 − 3x + 1 x − 3x + 1 ⇒ F (x) = dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 f (x) = x x = ............................................................................................. x2 ĐS: − 3x + ln |x| + C 2 Lời giải. Z 2 Z Å ã 1 x − 3x + 1 x2 x−3+ Ta có F (x) = dx = dx = − 3x + ln |x| + C.  x x 2 Z 2x4 − x2 − 3x 2x4 − x2 − 3x 5 f (x) = ⇒ F (x) = dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x2 x2 = ............................................................................................. 2x3 ĐS: − x − 3 ln |x| + C 3 Lời giải. Z Z Å ã 2x4 − x2 − 3x 3 2x3 2 Ta có F (x) = dx = 2x − 1 − dx = − x − 3 ln |x| + C.  x2 x 3 1 ................................................................................ 2x − 1 1 ĐS: ln |2x − 1| + C. 2 Lời giải. Z Z 1 1 d(2x − 1) 1 Ta có F (x) = dx = = ln |2x − 1| + C.  2x − 1 2 2x − 1 2 6 f (x) =