Mặt cầu trong tọa độ OXYZ

CHỦ ĐỀ 2. PHƢƠNG TRÌNH MẶT CẦU A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1/ Định nghĩa: Cho điểm I cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R. 2/ Các dạng phƣơng trình mặt cầu : Kí hiệu: S  I ; R   S  I ; R   M / IM  R Dạng 1 : Phƣơng trình chính tắc Mặt cầu (S) có tâm I  a; b; c  , bán kính R  0 . I R A B Dạng 2 : Phƣơng trình tổng quát (S ) : x2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 (2)  Điều kiện để phương trình (2) là phương trình  S  :  x  a   y  b   z  c 2 2 2 mặt cầu:  R2 a 2  b2  c 2  d  0  (S) có tâm I  a; b; c  .  (S) có bán kính: R  a 2  b 2  c 2  d . 3/ Vị trí tƣơng đối giữa mặt cầu và mặt phẳng : Cho mặt cầu S  I ; R  và mặt phẳng  P  . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên  P   d  IH là khoảng cách từ I đến mặt phẳng  P  . Khi đó : + Nếu d  R : Mặt cầu và mặt + Nếu d  R : Mặt phẳng tiếp xúc + Nếu d  R : Mặt phẳng  P  phẳng không có điểm chung. mặt cầu. Lúc đó:  P  là mặt phẳng cắt mặt cầu theo thiết diện là đường tròn có tâm I' và bán tiếp diện của mặt cầu và H là tiếp điểm. kính r  R 2  IH 2 M1 R I I R M2 P H P H I d R r I' α Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm I thì mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn. 4/ Vị trí tƣơng đối giữa mặt cầu và đƣờng thẳng : Cho mặt cầu S  I ; R  và đường thẳng  . Gọi H là hình chiếu của I lên  . Khi đó : + IH  R :  không cắt mặt + IH  R :  tiếp xúc với mặt cầu. + IH  R :  cắt mặt cầu tại  là tiếp tuyến của (S) và H là tiếp hai điểm phân biệt. cầu. điểm.   H H I R Δ R R I H I B A * Lƣu ý: Trong trường hợp  cắt (S) tại 2 điểm A, B thì bán kính R của (S) được tính như sau: + Xác định: d  I ;    IH . + Lúc đó:  AB  R  IH 2  AH 2  IH 2     2  2 ĐƢỜNG TRÒN TRONG KHÔNG GIAN OXYZ * Đường tròn (C) trong không gian Oxyz, được xem là giao tuyến của (S) và mặt phẳng ( ) . S  :   : x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 Ax  By  Cz  D  0 I * Xác định tâm I’ và bán kính R’ của (C). + Tâm I '  d    . R I' Trong đó d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mp ( ) + Bán kính R '  R 2   II '  R 2  d  I ;    2 2 5/ Điều kiện tiếp xúc : Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R. + Đường thẳng  là tiếp tuyến của (S)  + Mặt phẳng   là tiếp diện của (S) d  I ;    R.  d  I ;     R. * Lƣu ý: Tìm tiếp điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  .  IM 0  ad  IM 0  d Sử dụng tính chất :    IM 0  n  IM 0     R' B. KỸ NĂNG CƠ BẢN Dạng 1: VIẾT PHƢƠNG TRÌNH MẶT CẦU Phương pháp: * Thuật toán 1: Bước 1: Xác định tâm I  a; b; c  . Bước 2: Xác định bán kính R của (S). Bước 3: Mặt cầu (S) có tâm I  a; b; c  và bán kính R . (S ) :  x  a   y  b   z  c 2 2 2  R2 * Thuật toán 2: Gọi phương trình (S ) : x2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 Phương trình (S) hoàn toàn xác định nếu biết được a, b, c, d . ( a2  b2  c2  d  0 ) Bài tập 1 : Viết phương trình mặt cầu (S), trong các trường hợp sau: a)  S  có tâm I  2; 2; 3 và bán kính R  3 . b)  S  có tâm I 1; 2;0  và (S) qua P  2; 2;1 . c)  S  có đường kính AB với A 1;3;1 , B  2;0;1 . Bài giải: a) Mặt cầu tâm I  2; 2; 3 và bán kính R  3 , có phương trình: (S):  x  2    y  2    z  3  9 2 2 2 b) Ta có: IP  1; 4;1  IP  3 2 . Mặt cầu tâm I 1; 2;0  và bán kính R  IP  3 2 , có phương trình: (S):  x  1   y  2   z 2  18 2 2 c) Ta có: AB   3; 3;0   AB  3 2 .  1 3  Gọi I là trung điểm AB  I   ; ;1 .  2 2  AB 3 2  1 3   Mặt cầu tâm I   ; ;1 và bán kính R  , có phương trình: 2 2  2 2  2 2 1  3 9 2  (S):  x     y     z  1  . 2  2 2  Bài tập 2 : Viết phương trình mặt cầu (S) , trong các trường hợp sau: a) (S) qua A  3;1;0  , B  5;5;0  và tâm I thuộc trục Ox . b) (S) có tâm O và tiếp xúc mặt phẳng   : 16 x  15 y  12 z  75  0 . c) (S) có tâm I  1; 2; 0  và có một tiếp tuyến là đường thẳng  : x 1 y 1 z   . 1 1 3 Bài giải: a) Gọi I  a;0;0   Ox . Ta có : IA   3  a;1;0  , IB   5  a;5;0  . Do (S) đi qua A, B  IA  IB  3  a  2 1  5  a  2  25  4a  40  a  10  I 10;0;0  và IA  5 2 . Mặt cầu tâm I 10;0;0  và bán kính R  5 2 , có phương trình (S) :  x  10   y 2  z 2  50 2 b) Do (S) tiếp xúc với    d  O,     R  R  75  3. 25 Mặt cầu tâm O  0; 0; 0  và bán kính R  3 , có phương trình (S) : x2  y 2  z 2  9 c) Chọn A  1;1;0    IA   0; 1;0  . Đường thẳng  có một vectơ chỉ phương là u   1;1; 3  . Ta có:  IA, u    3;0; 1 . Do (S) tiếp xúc với   d  I ,    R  R   IA, u  10   .  u 11 10 10 2 2 , có phương trình (S) :  x  1   y  2   z 2  . 11 121 Bài tập 3 : Viết phương trình mặt cầu (S) biết : a) (S) qua bốn điểm A 1; 2; 4  , B 1; 3;1 , C  2; 2;3 , D 1;0; 4  . Mặt cầu tâm I  1; 2; 0  và bán kính R  b) (S) qua A  0;8;0  , B  4;6; 2  , C  0;12; 4  và có tâm I thuộc mặt phẳng (Oyz). Bài giải: a) Cách 1: Gọi I  x; y; z  là tâm mặt cầu (S) cần tìm.  IA2  IB 2  IA  IB  y  z  1  x  2  2    2 Theo giả thiết:  IA  IC   IA  IC   x  7 z  2   y  1 .  IA  ID  IA2  ID 2  y  4z  1 z  0     Do đó: I  2;1;0  và R  IA  26 . Vậy (S) :  x  2    y  1  z 2  26 . 2 2 Cách 2: Gọi phương trình mặt cầu (S) : x2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 ,  a 2  b 2  c 2  d  0  . Do A 1; 2; 4    S   2a  4b  8c  d  21 (1) Tương tự: B 1; 3;1   S   2a  6b  2c  d  11 (2) C  2; 2;3   S   4a  4b  6c  d  17 (3) D 1;0; 4    S   2a  8c  d  17 (4) Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta có a, b, c, d , suy ra phương trình mặt cầu (S) :  x  2    y  1 2 2  z 2  26 . b) Do tâm I của mặt cầu nằm trên mặt phẳng (Oyz)  I  0; b; c  .  IA2  IB 2 b  7  Ta có: IA  IB  IC   2 .  2  IA  IC c  5  Vậy I  0;7;5  và R  26 . Vậy (S): x 2   y  7    z  5   26. 2 2 x  t  Bài tập 4: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng  :  y  1 và (S) tiếp xúc với hai  z  t  mặt phẳng   : x  2 y  2 z  3  0 và    : x  2 y  2 z  7  0 . Bài giải: Gọi I  t ; 1; t    là tâm mặt cầu (S) cần tìm. Theo giả thiết: d  I ,     d  I ,      Suy ra: I  3; 1; 3 và R  d  I ,     1 t 3  5t 3 1  t  5  t   t  3. 1  t  t  5 2 4 2 2 2 . Vậy (S) :  x  3   y  1   z  3  . 3 9 Bài tập 5: Lập phương trình mặt cầu (S) qua 2 điểm A  2;6;0  , B  4;0;8  và có tâm thuộc d: x 1 y z  5 .   1 2 1 Bài giải: x  1 t  Ta có d :  y  2t . Gọi I 1  t ; 2t ; 5  t   d là tâm của mặt cầu (S) cần tìm.  z  5  t  Ta có: IA  1  t;6  2t;5  t  , IB   3  t; 2t;13  t  . Theo giả thiết, do (S) đi qua A, B  AI  BI  1  t    6  2t    5  t  2 2 2 3  t   2  4t 2  13  t   62  32t  178  20t  12t  116  t   2 29 3  32 58 44   I  ;  ;   và R  IA  2 233 . Vậy (S): 3 3   3 2 2 2 32   58   44    x     y     z    932 . 3  3  3   x 1 y 1 z Bài tập 6: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I  2;3; 1 và cắt đường thẳng  :   tại 1 4 1 hai điểm A, B với AB  16 . Bài giải: Chọn M  1;1;0    IM   3; 2;1 . Đường thẳng  có một vectơ chỉ phương là u  1; 4;1 .  IM , u    Ta có:  IM , u    2; 4;14   d  I ,    2 3. u 2 AB 2  2 19. Gọi R là bán kính mặt cầu (S). Theo giả thiết : R  d  I ,     4 Vậy (S):  x  2    y  3   z  1  76 . 2 2 2 Bài tập 7: Cho hai mặt phẳng  P  : 5 x  4 y  z  6  0,  Q  : 2 x  y  z  7  0 và đường thẳng x 1 y z 1   . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của (P) và  sao cho (Q) cắt (S) 7 3 2 theo một hình tròn có diện tích là 20 . Bài giải: (1)  x  1  7t  x  1  7t  y  3t (2)   Ta có  :  y  3t . Tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình:  (3)  z  1  2t  z  1  2t  5 x  4 y  z  6  0 (4) : Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: 5 1  7t   4  3t   1  2t   6  0  t  0  I 1;0;1 . Ta có : d  I ,  Q    5 6 . 3 Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến của (S) và mặt phẳng (Q). Ta có: 20   r 2  r  2 5. R là bán kính mặt cầu (S) cần tìm. Theo giả thiết: R   d  I ,  Q     r 2  2 330 110 2 2 . Vậy (S) :  x  1  y 2   z  1  . 3 3  x  t  Bài tập 8: Cho mặt phẳng ( P) : 2 x  y  2 z  2  0 và đường thẳng d :  y  2t  1 . z  t  2  Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d và I cách (P) một khoảng bằng 2 và (S) cắt (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3. Bài giải: Gọi I  t ; 2t  1; t  2   d : là tâm của mặt cầu (S) và R là bán kính của (S). Theo giả thiết : R  d  I ;  P    r 2  4  9  13 . 2  1 t  6 2t  2t  1  2t  4  2 Mặt khác: d  I ;  P    2   2  6t  5  6   4 1 4 t   11  6 2 2 2 1 1  2   13   1 2 13   * Với t  : Tâm I1   ;  ;  , suy ra  S1  :  x     y     z    13 . 6 6  3  6  6 3 6  2 2 2 11 2  1  11 2 1   11   : Tâm I 2  ;  ;  , suy ra  S2  :  x     y     z    13 . 6 6  3  6  6 3 6  x 1 y  1 z 1   Bài tập 9: Cho điểm I 1;0;3 và đường thẳng d : . Viết phương trình mặt cầu (S) tâm 2 1 2 I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho IAB vuông tại I. Bài giải : Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương u   2;1; 2  và P 1; 1;1  d . * Với t   Ta có: IP   0; 1; 2   u , IP    0; 4; 2  . Suy ra: d  I ; d   u , IP  20   .  u 3 Gọi R là bán kính của (S). Theo giả thiết, IAB vuông tại I 1 1 1 2 40  2  2  2  R  2 IH  2d  I , d   2 IH IA IB R 3 40 2 2 Vậy (S) :  x  1  y 2   z  3  . 9  Bài tập 10: (Khối A- 2011) Cho mặt cầu (S): x2  y 2  z 2  4x  4 y  4z  0 và điểm A  4; 4; 0  . Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều. Bài giải : (S) có tâm I  2; 2; 2  , bán kính R  2 3 . Nhận xét: điểm O và A cùng thuộc (S). Tam giác OAB đều, có bán kính đường tròn ngoại tiếp R /  Khoảng cách : d  I ;  P    R 2   R /   2 2 . 3 OA 4 2  . 3 3 Mặt phẳng (P) đi qua O có phương trình dạng : ax  by  cz  0  a 2  b 2  c 2  0  * Do (P) đi qua A, suy ra: 4a  4b  0  b  a . Lúc đó: d  I ;  P    2a  b  c  2c  2c  2 3 a b c 2a  c 2a  c c  a  2a 2  c 2  3c 2   . Theo (*), suy ra  P  : x  y  z  0 hoặc x  y  z  0. c  1 2 2 2 2 2 2 2 Chú ý: Kỹ năng xác định tâm và bán kính của đường tròn trong không gian. Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R. Mặt phẳng (P) cắt (S) theo một đường tròn (C). Bƣớc 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với mặt phẳng (P). Bƣớc 2: Tâm I’ của đường tròn (C) là giao điểm của d và mặt phẳng (P). Bƣớc 3: Gọi r là bán kính của (C): r  R 2   d  I ;  P    2 Bài tập 11: Chứng minh rằng: Mặt cầu (S ) : x2  y 2  z 2  2x  3  0 cắt mặt phẳng (P): x  2  0 theo giao tuyến là một đường tròn (C). Xác định tâm và bán kính của (C). Bài giải : * Mặt cầu (S) có tâm I 1;0;0  và bán kính R  2 . Ta có : d  I ,  P    1  2  R  mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là 1 đường tròn. (đ.p.c.m) * Đường thẳng d qua I 1;0;0  và vuông góc với (P) nên nhận nP  1; 0; 0  làm 1 vectơ chỉ phương, có x  1 t  phương trình d :  y  0 . z  0  x  1 t x  2 y  0   /   y  0  I /  2;0;0  . + Tọa độ tâm I đường tròn là nghiệm của hệ :  z  0  z  0  x  2  0 + Ta có: d  I ,  P    1 . Gọi r là bán kính của (C), ta có : r  R 2  d  I ,  P    3. 2 Dạng 2 : SỰ TƢƠNG GIAO VÀ SỰ TIẾP XÚC Phương pháp: * Các điều kiện tiếp xúc: + Đường thẳng  là tiếp tuyến của (S)  d  I ;    R. + Mặt phẳng ( ) là tiếp diện của (S)  d  I ;     R. * Lưu ý các dạng toán liên quan như tìm tiếp điểm, tương giao. x y 1 z  2  Bài tập 1: Cho đường thẳng    :  và và mặt cầu  S  : x2  y 2  z 2  2 x  4 z  1  0 . Số 2 1 1 điểm chung của    và  S  là : A. 0.B.1.C.2.D.3. Bài giải: Đường thẳng    đi qua M  0;1; 2  và có một vectơ chỉ phương là u   2;1;  1 Mặt cầu  S  có tâm I 1;0;  2  và bán kính R  2. u , MI  498   Ta có MI  1; 1; 4  và u, MI    5;7; 3  d  I ,     6 u Vì d  I ,    R nên    không cắt mặt cầu  S  . Lựa chọn đáp án A. Bài tập 2: Cho điểm I 1; 2;3 . Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy là: A.  x  1   y  2   z  3  10. B.  x  1   y  2   z  3  10. C.  x  1   y  2   z  3  10. D.  x  1   y  2   z  3  9. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Bài giải: Gọi M là hình chiếu của I 1; 2;3 lên Oy, ta có : M  0; 2; 0  . IM   1;0; 3  R  d  I , Oy   IM  10 là bán kính mặt cầu cần tìm. Phương trình mặt cầu là :  x  1   y  2   z  3  10. 2 2 2 Lựa chọn đáp án B. Bài tập 3: Cho điểm I 1; 2;3 và đường thẳng d có phương trình x 1 y  2 z  3 . Phương trình mặt   2 1 1 cầu tâm I, tiếp xúc với d là: A.  x  1   y  2    z  3  50. B.  x  1   y  2    z  3  5 2. C.  x  1   y  2    z  3  5 2. D.  x  1   y  2    z  3  50. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Bài giải: Đường thẳng  d  đi qua I  1; 2; 3 và có VTCP u   2;1;  1  d  A, d   u, AM    5 2 u Phương trình mặt cầu là :  x  1   y  2   z  3  50. 2 2 2 Lựa chọn đáp án D. Bài tập 4: Mặt cầu  S  tâm I 2; 3; 1 cắt đường thẳng d : x  11 y z  25   tại 2 điểm A, B sao cho 2 1 2 AB  16 có phương trình là: A.  x  2    y  3   z  1  17. B.  x  2    y  3   z  1  289. C.  x  2    y  3   z  1  289. D.  x  2    y  3   z  1  280. 2 2 2 Bài giải: Đường thẳng 2 2 d  2 2 2 2 2 2 2 đi qua M 11; 0; 25  và có vectơ chỉ phương u   2;1;  2  . I Gọi H là hình chiếu của I trên (d). Ta có: 2 u , MI   AB    IH  d  I , AB    15  R  IH 2     17 .  2  u Vậy  S  :  x  2    y  3   z  1  289. 2 Lựa chọn đáp án C. 2 2 R B A H d x5 y 7 z   và điểm I (4;1;6) . Đường thẳng d cắt mặt cầu  S  có 2 2 1 tâm I, tại hai điểm A, B sao cho AB  6 . Phương trình của mặt cầu  S  là: Bài tập 5: Cho đường thẳng d : A.  x  4    y  1   z  6   18. B.  x  4    y  1   z  6   18. C.  x  4    y  1   z  6   9. D.  x  4    y  1   z  6   16. 2 2 2 2 Bài giải : Đường thẳng d 2 2 2 2 2 2 2 2 đi qua M (5;7;0) và có vectơ chỉ phương u  (2; 2;1) . Gọi H là hình chiếu của I trên (d). Ta có : 2 u, MI   AB    2 IH  d  I , AB    3  R  IH     18  2  u I R 2 d B A Vậy  S  :  x  4    y  1   z  6   18. 2 2 H Lựa chọn đáp án A. x 1 y 1 z  2 . Phương trình mặt cầu  S  có tâm I   1 2 1 và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều là: 20 20 2 2 A.  x  1  y 2  z 2  . B.  x  1  y 2  z 2  . 3 3 16 5 2 2 C.  x  1  y 2  z 2  . D.  x  1  y 2  z 2  . 4 3 Bài giải: Đường thẳng    đi qua M  1;1;  2  và có vectơ chỉ Bài tập 8: Cho điểm I 1;0;0  và đường thẳng d : phương u  1;2;1 Ta có MI   0; 1;2  và u, MI    5; 2; 1 Gọi H là hình chiếu của I trên (d). Ta có : u , MI    IH  d  I , AB    5. u I R B A 3 2 IH 2 15 R  2 3 3 20 2 Vậy phương trình mặt cầu là:  x  1  y 2  z 2  . 3 Lựa chọn đáp án A. Xét tam giác IAB, có IH  R. d H Bài tập 9: Cho mặt cầu (S ) : x2  y 2  z 2  4x  2 y  6z  5  0 . Viết phương trình tiếp tuyến của mặt cầu (S) qua A  0;0;5  biết: a) Tiếp tuyến có một vectơ chỉ phương u  1; 2; 2  . b) Vuông góc với mặt phẳng (P) : 3x  2 y  2z  3  0. Bài giải: x  t  a) Đường thẳng d qua A  0;0;5  và có một vectơ chỉ phương u  1; 2; 2  , có phương trình d:  y  2t .  z  5  2t  b) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là nP   3; 2; 2  . Đường thẳng d qua A  0;0;5  và vuông góc với mặt phẳng (P) nên có một vectơ chỉ phương  x  3t  nP   3; 2; 2  , có phương trình d:  y  2t .  z  2t  5  Bài tập 10: Cho (S ) : x2  y 2  z 2  6x  6 y  2z  3  0 và hai đường thẳng 1 : 2 : x  1 y  1 z 1   ; 3 2 2 x y 1 z  2 . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với 1 và 2 đồng thời tiếp xúc với   2 2 1 (S). Bài giải: Mặt cầu (S) có tâm I  3;3; 1 , R  4 . Ta có: 1 có một vectơ chỉ phương là u1   3; 2; 2  . 2 có một vectơ chỉ phương là u2   2; 2;1 . Gọi n là một vectơ pháp của mặt phẳng (P). ( P) / / 1 n  u1   chọn n  u1 , u2    2; 1; 2  Do:  ( P ) / /  2  n  u2 Lúc đó, mặt phẳng (P) có dạng : 2 x  y  2 z  m  0 . Để mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S)  d  I ;( P)   R  5 m 3 4 m  7  5  m  12   .  m  17 Kết luận: Vậy tồn tại 2 mặt phẳng là : 2 x  y  2 z  7  0,  2 x  y  2 z  17  0 . Bài tập 11: Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  5  0 , biết tiếp diện: a) qua M 1;1;1 . b) song song với mặt phẳng (P) : x  2 y  2 z 1  0 . b) vuông góc với đường thẳng d : x  3 y 1 z  2   . 2 1 2 Bài giải: Mặt cầu (S) có tâm I  1; 2;3 , bán kính R  3 . a) Để ý rằng, M   S  . Tiếp diện tại M có một vectơ pháp tuyến là IM   2; 1; 2  , có phương trình :   : 2  x  1   y  1  2  z  1  0  2 x  y  2 z  1  0. b) Do mặt phẳng   / /  P  nên   có dạng : x  2 y  2z  m  0 . Do   tiếp xúc với (S)  d  I ,     R  m3 3  m  6  3  m3  9   .  m  12